向量解法與幾何解法相得益彰

摘 要： 向量與幾何是高中數學的重要內容。向量以“數形結合”的特點成為解決問題強有力的工具；反過來，對已知的幾何圖形進行分析，根據幾何特征，也可將向量關系進行轉化，使問題得到巧妙解決。

關鍵詞： 向量 幾何 數形結合 應用

向量與幾何是高中數學的重要內容，向量本身融“數形”為一體，具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，在平面、立體、解析幾何中都有著拓寬解題思路與方法的重要作用。不少中學幾何問題往往可用向量的適當形式表示，轉化并加以解決。通常學生在處理向量問題時多選擇數而忽略形。為了提高學生的綜合解題能力，幫助學生提供借助幾何圖形處理向量問題，逐步培養學生形成數形結合的思想。我通過列舉幾個例題，來說明這類題目的解法。

一、利用幾何性質解決平面向量

例1：如圖1，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD中點，AE的延長線與CD交于點F，若=，=，則=?搖?搖?搖?搖?搖。

解：應用平面幾何知識可知：E為OD中點時，有ED=BE，DC//AB，則=，=+=（+）+（+）=（+）+（-）=+。

注：本題應用了平行線段成比列定理尋找線段關系，從而找到向量的線性關系，解決了問題。

例2：如圖2，平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，M為AB的中點，P在DC上運動，則·的取值范圍?搖?搖?搖?搖?搖。

解：·=DM·AP·cosθ，即為的模與在上的射影的乘積。||=1，點A在上的射影是確定，動點P在上的射影位置變化引起在上的射影的變化，故動點P在點D處取最小值，在點C處取最大值。

注：數量積·的本質屬性即為兩個共線向量的數量積，亦可為帶有符號的兩個向量的模之積。

例3：O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足=+λ（+），λ∈［0，+∞），則點P的軌跡一定過△ABC的（ ?搖?搖）。

A.外心?搖?搖B.內心?搖?搖C.重心?搖?搖D.垂心

解：因為、分別是、同向的單位向量，所以由向量加法的平行四邊形法則知+是與∠BAC的角平分線（射線）同向的一個向量。又由-==λ（+），知點P的軌跡是∠BAC的角平分線，從而一定過△ABC的內心。

二、利用向量解決幾何問題

1.利用平面向量解決三點共線問題

例4：已知A（a，2），B（3，7），C（-2，-9a）三點在同一直線上，求實數的值。

解：=（3-a，5），=（-2-a，-9a-2）。

由//得（3-a）（-9-2a）=5（-2-a），即9a-20a+4=0，

解得a=2或a=。

2.利用平面向量解決求直線方程問題

例5：平面直角坐標系中O為坐標原點。已知兩點A（3，1），B（-1，3），若點C滿足=α+β，其中a，β∈R，且α+β=l，則點C的軌跡方程為x+2y-5=0。

注：利用向量的坐標表示。

例6：在三角形ABC中，A（4，1），B（7，5），C（4，7），求角A的內角平分線所在的直線方程。

解：=（3，4），其單位向量=（，），

=（-8，6），其單位向量=（-，），

所以角A的平分線的方向向量為+=（-，）。

∵A（4，1）在角A的平分線上，

∴角A的平分線方程為（x-4）+（y-1）=0，即7x+y-29=0。

3.利用向量解決立體幾何中探索性問題

例7：正四棱錐S-ABCD中，所有棱長都為2，P為SA的中點，如果點Q在棱SC上，那么直線BQ與PD能否垂直？請說明理由。

解：如圖3，連接AC，BD交于點O，以射線OA，OB，OS分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則A（，0，0），B（0，，0），C（-，0，0），P（，0，）。

設CQ=t，由定比分點公式有（t-，0，t），

于是=（，，），=（t-，，t），

要使⊥，只需·=0，而t∈［0，2］，

故·=t-3≠0，所以BQ與PD不可能垂直。