逆向思維有助于解決數學問題

逆向思維是另類的思維方式，我們如果受某種習慣勢力或心理定勢的影響，往往按某種思維定勢辦事，當這種習慣性思路和實踐不能帶來預期的成果時，我們就應嘗試其它途徑，而不應該只顧搬用過去不成功的或不夠理想的做法，即摒棄習慣。運用逆向思維來解決數學上的問題時，不僅可以成功解決問題，而且有助于大腦思維的發展。運用逆向思維解決數學問題常體現在以下兩個方面。

一、證明數學命題

這主要是指用間接法來證明數學命題。數學證明有直接證明和間接證明兩種，反證法（又稱為歸謬法）是間接證法的一種常用形式。在證明一個命題時，我們若發現無法直接證明或很難直接證明時，就應想到用反證法去證明。這就體現了逆向思維的特點。而常常是這樣的思考，會將一些問題看得透徹，最終獲得成功。于是，反證法又被譽為是“數學家最精良的一種武器”。

那怎樣的命題常用反證法來證明呢？一般來說，具有以下特點的命題常用反證法來證明。

1.否定式命題。

例1.已知m、n為奇數，證明方程x+mx+n＝0沒有有理根。

證明：由于m、n為奇數，因此設m＝2k+1，n＝2t+1（k，t都為整數），

于是方程變為x+（2k+1）x+（2t+1）＝0，

要證此方程無有理根，

只要證得判別式△不能在有理數范圍內開方就行了。

其中判別式△＝（2k+1）4（2t+1），顯然△是一個整數，

∴△不能是一個既約分數的平方。

下面只須證明△也不是任何整數（包括偶數和奇數）的平方。

（運用反證法）

（1）假設△是某一個偶數的平方，設△＝（2p）（p∈Z），

即（2k+1）4（2t+1）＝（2p）

∴4k+4k-8t-3＝4p

即k+k-2t-p＝3/4

由于左邊為整數，而右邊是分數，于是產生矛盾。

（2）假設△是某一個奇數的平方，設△=（2p+1）（p∈Z），

即（2k+1）4（2t+1）＝2（p+1）

∴（2k+1）（2p+1）＝4（2t+1）

即（k-p+1）（k-p）=2t+1

由于等式左邊是偶數，而右邊是奇數，于是產生矛盾。

綜上可知，△不是任何整數的平方。

于是此方程沒有有理根。

∴此命題得證。

2.結論的反面較之結論本身更簡單、更具體、更易證的命題。

例2.證明：如果21是質數，那么p也是質數。

證明：假設p不是質數，p=kt（k、t都是整數，且都不等于1和0），

21＝21＝（2）1

＝（21）［（2）+（2）+…+1］

由于后兩個因數是整數，其中任何一個都不等于1，也不等于0。

∴21一定不是質數，于是產生矛盾，

∴原命題成立。

對于用反證法來證明時，要注意若結論的反面有多種情況時，要將各種情形窮舉出來，一一駁倒后才能肯定原命題成立。這種反證法有時被稱為窮舉歸謬法。

例3.已知：在△ABC中，BE、CF分別是∠B、∠C的平分線，且BE＝CF。求證：AB＝AC。

證明：如下圖1。如果AB≠AC，那么就有AB＞AC或AB＜AC，作平行四邊形BEGF。

（ⅰ）假定AB＞AC，那么有∠ACB＞∠ABC

∴∠BCF＞∠CBE

∵BF＝EG，BF＞CE

∴EG＞CE

連接CG，∠ECG＞∠EGC

但由于FC＝FG，∠EGC＜∠ECG

∴∠FCE＜∠FGE＝∠FBE

則有∠ACB＜∠ABC（自相矛盾）

由此，AB＞AC是不對的。

（ⅱ）仿此，可以證明AB＜AC也是不對的。

∴AB＝AC

利用反證法證明實際上是通過揭示這個命題的相反的判斷的錯誤來證明這個命題的，即是用證明題中命題的逆否命題正確，再因原命題與其逆否命題等價，所以得出原命題正確。

二、解決其它數學問題

主要是指間接解法。這常常在排列、組合、概率等問題中有廣泛的應用。

即是：若要求得適合題設條件的數。不是去考慮如何直接得到它，而是先去研究那些不合題意（即不適合題中條件）的數，計算出這些數后，從總的數中（即符合題意和不符合題意的都算），拋去這些不合題意的數，就得到符合題意的種數。

例4．5男5女共10個同學排成一排。其中5名男生不排在一起，問有多少種排法？

析：若直接分類則較為復雜，可用間接法。從10個人的排列總數中，減去5名男生排在一起的排法數，得5名男生不排在一起的排法數為：

AAA＝3542400

例5.從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有多少種？

析：此題正面分析情形較多，若逆向思考，是轉化為總體中除去3個面兩兩相鄰的情形。

解：6個面中任意取3個，共有C個，其中3個面兩兩相鄰對應于正方體的頂點個數，有8個。故所有不同的選法有C8=20-8=12個。

例6.已知某種高炮在它控制的區域內擊中敵機的概率為0.2。要使敵機一旦進入這個區域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？

解：同樣用間接法可簡單得到：

1-（1-0.2）＞0.9

得到n＞10.3

∵n∈N

∴n＝11

∴至少需要布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機。

例7.設整數k不能被5整除，問xx+k能不能寫成兩個次數較低的整系數多項式的乘積？

證明：假設xx+k能寫成兩個次數較低的整系數多項式的乘積，

則xx+k＝（x+a）（x+bx+cx+dx+e）

或xx+k＝（x+ax+b）（x+cx+dx+e）

若為前者，則-a為xx+k＝0的根，即（-a）+a+k＝0，

所以，這與題設矛盾。

若為后者，比較系數知a+c＝0，ac+b+d＝0，ad+bc+e＝0，ae+bd＝-1，be＝k。

由前三個等式知c＝-a，d＝ab，e＝2ab-a，

代入第四個等式得3ab+1＝a+b，代入第五個等式，

得k＝2abab

＝2a（3ab+1-a）-ab

＝5ab+2（a-a）

而a≡a（mod5），所以5∣k，這也與題設矛盾。

因此結論成立。

總之，運用逆向思維來解決數學中的各種問題是非常有效的一種思考方式。它常常能使復雜問題的解答變得簡便。

參考文獻：

［1］譚光宙，丁家泰，趙素蘭.中學數學解題方法.北京師范大學出版社.

［2］十三校協編組編.中學數學教材教法.高等教育出版社.

［3］陳傳理，張同君主編.競賽數學教程.高等教育出版社.

［4］劉遠圖，黃建生，范振惠編譯.怎樣解數學題.地質出版社.