高中數學教學中數列與函數知識的綜合運用

數列和函數作為高中數學知識章節的重要組成部分，在高中數學學科教學體系中具有十分重要的地位和作用。教師做好兩個方面知識體系的教學，對有效提高學生的學習能力、學習品質和知識結構等方面具有重要的作用。數學學科知識是一個復雜的有機聯系體，各章節知識之間有著密切的關系，這在高考試卷的問題中有著明顯的體現。隨著高考改革方案的深入實施，高考數學學科試卷更加注重學生知識體系之間的有機聯系，每一個問題往往包含著許多方面的內容。我根據自己的教學實踐，談談在高中數學教學中等差、等比、數列知識與函數知識進行綜合運用方面的一些體會，僅供同仁參考。

一、等差數列與函數的綜合運用

我在對等差數列知識的研究中發現，由等差數列的通項公式a=a+(n-1)×d，可得a=dn+(a-d)。如果p=d，q=a-d，那么a=pn+q，其中p，q都為常數，當p≠0時，a是關于n的一次函數，即(n，a)在一次函數y=px+q的圖像上。因此，在進行等差數列解題時，可以有效運用這一內在關系，進行兩者之間問題知識的解答。

案例:已知二次函數f(x)=x+2(10-3n)x+9n-61n+100(n∈N)。(1)設函數y=f(x)的圖像的頂點的橫坐標構成數列{a}，求證數列{a}為等差數列;(2)設函數y=F(x)的圖像的頂點到y軸的距離構成數列g0gggggg，求數列g0gggggg的通項公式，并求g0gggggg中第幾項最小，其值是多少?

教師可引導學生進行分析發現，此題考察的是等差數列與函數知識的綜合運用。因此在解題時，可以把握數列與函數定義域的聯系和區別。同時二次函數的圖像是拋物線，其頂點的橫坐標為x=-b/2a，由此可以寫出關于n的函數表達式。

其解題過程為:

證明:(1)函數f(x)=x+2(10-3n)x+9n-61n+100(n∈N)，∴頂點的橫坐標為x=-b/2a=3n-10，∴數列{a}的通項為a=3n-10(n≥2，n∈N)，∵a-a=(3n-10)-[3(n-1)-10]=3，∴數列{a}是等差數列。

解:(2)函數f(x)=x+2(10-3n)x+9n-61n+100，頂點的橫坐標為x=3n-10，則頂點到y軸的距離為13n-101，即數列g0gggggg的通項公式為d=13n-101。令3n-10≥0，n≥10/3(n∈N)， ∴n≥4。故通項公式為d=10-3n(1≤n≤3)和3n-10(n≥4)。設數列g0gggggg中第n項最小，則d≤d，和d≤d， ∴求得51≤18n≤69， ∴3≤n≤3，故當n=3時，即數列g0gggggg的第三項最小，d=10-3×3=1。

二、等比數列與函數的綜合運用

等比數列用函數的眼光看待，就可以將等比數列改寫成a=×q的形式，通過分析，就可以看出，等比數列{a}的圖像時函數y=×q的圖像上的一群孤立的點。所以在教學中，教師可以采用這種聯系，進行問題的解答。

案例:已知函數f(x)=ab的圖像上的點A(4，)和B(5，1)。(1)求函數F(x)的解析式;(2)設a=logf(n)，n是正整數，S是數列{a}的前n項和，解關于n的不等式aS≤0。

教師要引導學生抓住函數與數列之間的內在關聯點，分析出它們之間的深刻聯系，進行問題的有效解答。學生在觀察、思考、分析后，進行解答過程如下。

解:(1)∵f(x)=ab的圖像上的點A(4，)和B(5，1)，∴得出b=4，a=，∴f(x)=。

(2)由題意可得到:

a=logf(n)=log=2n-10，∴a-a=2n-10-2(n-1)+10，

∴{a}為等差數列。∴S=a+×n=(n-9)n，∴aS=(2n-10)×(n-9)n=2(n-5)×(n-9)n≤0，∴5≤n≤9，故n=5.6.7.8.9。

三、等差、等比數列與函數的綜合運用

等差數列、等比數列，都可以看作是特殊的函數，因此我們在解決問題時，可以運用前移和聯系的數學思想，把解決函數問題的思想融入到數列中方程、不等式等知識解決數列中的有關問題，這種形式的解題方式形式新穎、思維創新、結構巧妙，是現在高考中的熱點命題形式之一。

如在數列章節知識復習時，教師可以設置這一問題。

已知數列{a}是等差數列，且a=50，d=-0.6，(1)從第幾項開始有a<0;(2)求此數列的前n項和最大值。

對于這一問題，教師在進行習題分析時，要深刻認識到，第一小題實際上是接一個不等式，但要注意n∈N。對于第二小題，實際上是研究S隨n的變化規律，由于等差數列中的S是關于n的二次函數，因此在學生解答問題時，教師可以引導學生采用用二次函數的方法進行最值的求解，或可以采用由a的變化來進行推測S的變化。教師進行示范解答過程如下:

解:(1)∵a=50，d=-0.6，∴a=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6。令-0.6n+50.6≤0，∴n≥84.3。由n∈N，故當n≥85時，a<0，∴從第85項開始有a<0。

(2)∵d=-0.6<0，a=50>0，由(1)知a>0，a<0，∴SS>…>S，∴此數列的前n項和的最大值為S=2108.4。

誠然，在高中數學教學過程中，數列知識與函數之間的綜合運用知識只是其中的一部分，數列和函數還與方程、不等式、向量等方面知識有著密切的聯系，在這些問題的講解中，能夠對學生數學思想的有效培養起著重要的提升作用。我在此只是借助數列與函數之間綜合運用這一問題的冰山一角進行實踐探討，以引起廣大同仁的共鳴。