小波分析用于信號消噪處理淺析

摘 要: 本文作者通過對多尺度下小波變換系數(shù)及模極大值的分析發(fā)現(xiàn)，在實際工程中，有用信號通常表現(xiàn)為低頻部分或者是一些比較平穩(wěn)的信號，所以可以對已經(jīng)被噪聲污染的信號進行小波分解，對分解后的小波系數(shù)使用門限閾值處理，以達到消噪目的，仿真結(jié)果表明，這一方法有其有效性與可行性。

關(guān)鍵詞: 信號消噪處理 小波分析 小波系數(shù)閾值量化

1.引言

實際采集的信號中常常包含有噪聲，只有作消噪處理，才能有效地表現(xiàn)信號中的有用信息，常規(guī)的信號消噪處理可以采用傅立葉分析方法，但是傅立葉分析有著其自身的缺陷，即使是加窗傅立葉分析也因為其分辨率單一而使得其在很多的場合的應(yīng)用受到限制。我采用一種基于小波分析方法的降噪處理方法，可以使得消噪處理效果有很好的提高。

小波變換是一種把時間和頻率結(jié)合起來的時頻分析方法，D.L.Dohono在小波變換的基礎(chǔ)上提出了小波軟、硬閾值消噪法，此方法簡單有效，得到了廣泛的重視和研究。小波閾值去噪根據(jù)噪聲通常表現(xiàn)為高頻信號的特性，對小波分解的高頻系數(shù)進行門限閾值處理，達到去噪的目的。小波包分解是小波分析的進一步推廣，它對小波分析沒有細分的高頻進一步分解，因此可以將高頻噪聲和高頻信號區(qū)分開來，從而獲得更為理想的去噪效果。由于通常采用的硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性，以及軟閾值函數(shù)中估計小波系數(shù)與帶噪信號的小波系數(shù)之間存在著恒定的偏差的缺陷。

2.小波分析原理[1]

小波分析方法是一種窗口面積大小固定，但其形狀可改變，時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，正是這種特性，使小波變換具有對信號的自適應(yīng)性。

定義:設(shè)ψ(t)∈L(R)，其傅立葉變換為()，當(ω)滿足允許條件(完全重構(gòu)條件或恒等分辨條件)C=dω<∞(1.1)時，我們稱ψ(t)為一個基本小波或母小波[5]。將母函數(shù)ψ(t)經(jīng)伸縮和平移后得ψ(t)=ψ()a，b∈R;a≠0 (1.2)稱其為一個小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。對于任意的函數(shù)f(t)∈L(R)的連續(xù)小波變換為W(a，b)==|a|f(t)dt(1.3)。

其重構(gòu)公式(逆變換)為:

f(t)=?蘩?蘩W(a，b)ψ()dadb(1.4)。

基小波ψ(t)生成的小波ψ(t)在小波變換中對被分析的信號起著觀測窗的作用。

3.基于小波分析的信號消噪

3.1小波分析消噪原理

小波包分析是在小波分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，它們之間既相互聯(lián)系又有所區(qū)別。小波分析只將V(尺度空間)進行分解，而沒有對W(小波)空間進行分解。同時，由于信號小波分析的空間分辨率和頻譜分辨率受Heisenberg測不準原理的制約，使得高頻段的頻率分辨率變差，從而使小波分析的應(yīng)用受到一定限制。然而，小波包分析不僅對V空間進行分解，而且對W空間進行分解，從而實現(xiàn)更高頻段的頻率分解，是信號分析的一種更加精細的頻率分析方法。圖1(a)、(b)分別是對信號作4層小波分解和小波包分解的結(jié)構(gòu)示意圖。

把這一部分的ω保留下來(硬閾值方法)或者按某一個固定量向零收縮(軟閾值方法);當時|ω|<λ時，此時的ω主要是由噪聲引起的，予以舍棄。小波包系數(shù)經(jīng)閾值化處理后得到新的小波包系數(shù)，然后用進行小波包重構(gòu)，再根據(jù)重構(gòu)的小波包得到降噪后的信號。

3.2小波包信號降噪的步驟[1]

對信號進行降噪處理是小波包分析的一項最基本的功能。具體的操作步驟如下。

3.2.1信號小波包分解。選擇一個小波并確定所需分解的層次，然后對信號進行小波包分解。

3.2.2確定最優(yōu)小波包基。對于一個給定的熵標準，計算最優(yōu)樹(這一步不是必需的步驟，可根據(jù)不同的目的進行有選擇性的使用)。

3.2.3小波包分解系數(shù)的閾值量化。對于每一個小波包分解系數(shù)，選擇一個恰當?shù)拈撝挡ο禂?shù)進行閾值量化。

3.2.4信號的小波包重構(gòu)。根據(jù)最低層的低頻小波包分解系數(shù)(一般不做閾值化處理)和經(jīng)過閾值量化處理的高頻小波包系數(shù)，進行小波包重構(gòu)。

3.3小波分析消噪方法

實際工程采集的信號常含有白噪聲，而有用信號通常表現(xiàn)為低頻信號或者一些比較平穩(wěn)的信號，而噪聲通常表現(xiàn)為高頻噪聲，對含有噪聲的有用信號作小波分解。噪聲主要表現(xiàn)在各個尺度的信號中的高頻信號部分。

根據(jù)以上分析，有兩種方法可以達到消噪目的[7]。

一種是把小波分解結(jié)構(gòu)中高頻系數(shù)全部變?yōu)?，即把各個尺度的高頻分量全部濾掉，然后在對信號進行重構(gòu)，這種方法比較簡單，重構(gòu)后的信號比較平滑，但容易丟失原來信號中的有用成分。

另一種是門限消噪處理辦法[4]，對信號小波分解中的高頻系數(shù)用門限值來處理，即大于門限閾值的部分保留，低于門限閾值的部分的系數(shù)變?yōu)?，這符合噪聲在高頻部分均勻密集的特點，對其他各尺度的高頻系數(shù)改變門限閾值，隨著分解層數(shù)的增多，門限值可按2倍減小[8]，然后對信號進行重構(gòu)即可達到消噪的目的，這種門限閾值消噪處理方法往往符合實際要求。

閾值的選擇分硬閾值和軟閾值兩種處理方式。軟閾值處理即把信號的絕對值與閾值進行比較，當數(shù)據(jù)的絕對值小于或等于閾值時，令其為零，大于閾值的數(shù)據(jù)點則向零收縮，變?yōu)樵擖c值與閾值之差;對于硬閾值處理，是把信號的絕對值與閾值進行比較，小于或等于閾值的點變?yōu)榱悖笥陂撝档狞c不變。

硬閾值法:=W，|W|≥λ0，|W|<λ。

軟閾值法:=sgn(W)(|W|-λ)，|W|≥λ0，|W|<λ。

硬閾值方法中，在W=λ處是不連續(xù)的，這就給重構(gòu)信號帶來振蕩;而軟閾值方法計算出的，雖然整體連續(xù)性好，但是與含噪信號的小波系數(shù)之間存在恒定的偏差，重構(gòu)信號顯得過于光滑，精度有所下降。

從圖2、3中可以看出，用小波進行信號消噪可以很好地保存信號的尖峰和突變部分，而用傅立葉分析進行濾波時，由于信號集中在低頻部分，噪聲分布在高頻部分，因此用低通濾波器進行濾波。但是，它不能將有用信號的高頻部分跟噪聲的高頻部分有效區(qū)分。因此，若低通濾波器太窄，則將一部分有用信號當作噪聲而濾掉了，若低通濾波器太寬，在濾波后信號中仍存在大量的噪聲。采用的小波是db1小波，分解層數(shù)為4層，閾值λ采用變尺度的σ(2logN)/log(j+i)，其中j為分解尺度，N為信號長度，噪聲方差σ總是不可知的，降噪處理時可以取σ=median(|ω|)/0.6745[9]。從上圖的實驗仿真結(jié)果可以看出小波分析對非平穩(wěn)信號消噪有著傅立葉分析不可比擬的優(yōu)點。

4.結(jié)語

本文分析了待處理信號的特征，指出小波分析用于信號消噪可以擺脫傅立葉分析所帶來的局限性，通過使用軟閾值進行小波系數(shù)閾值量化，然后進行消噪處理，該方法能有效消除信號中的干擾。

參考文獻:

[1]飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心.小波分析理論與MATLAB7實現(xiàn)[M].電子工業(yè)出版社，2005.

[2]Donoho D L，Johnstone I M.Ideal Spatial Adaptation Via Wavelet shrinkage[J].Biometrika，1994，81，(12):425-455.

[3]Donoho D L.De-noising by Soft-thresholding[J].IEEE Trans on IT，1995，41，(3):613-627.

[4]Donoho D L，Johnstone I M.Adapting to Unknown Smoothness Via Wavelet Shrinkage[J].Journal of American Stat Assoc，1995，12，(90):1200-1224.

[5]葉裕雷，戴文戰(zhàn).一種基于新閾值函數(shù)的小波信號去噪方法[J].計算機應(yīng)用，2006，(7).

[6]周偉.MATLAB小波分析高級技術(shù)[M].西安電子科技大學出版社.

[7]張維強，宋國鄉(xiāng).基于一種新的閾值函數(shù)的小波域信號去噪.西安電子科技大學學報[J].自然科學版，2004，(4).

[8]謝杰成，張大力，徐文力.小波圖像去噪綜述[J].中國圖像圖形學報，2002，7，(3):209-217.