在數學課堂教學中培養創新能力

江澤民同志曾經提出:“創新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力，沒有創新的民族是難以自立于世界民族之林的。面對世界科學技術發展的挑戰，我們必須把增強民族創新能力提到關系民族存亡的高度來認識。”可見，培養學生的創新能力日益成為現代教育教學的主旋律。數學是一切自然科學中的“皇后”，具有抽象性、嚴密性、應用廣泛性等特點，而在新課程改革中，數學教學改革的一個重要目標就是培養學生創新能力。培養能力的基礎在教育，而教育的關鍵則在課堂教學中。中學數學教師如何在數學課堂教學中培養學生的創新能力呢?下面我談談在課堂教學中培養創新能力的幾點嘗試。

一、重視猜想思維的培養

愛因斯坦曾經說過:“想象力比知識更重要。因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉。”沒有想象，就沒有這個世界;沒有大膽的猜想，也就做不出偉大的發現。在數學的解題過程中，教師可以鼓勵學生大膽地想象，合理地猜想，對題目進行廣泛地拓展和引申，從而培養學生的創新思維，循序漸進地提高學生的解題水平。

1.猜想題目的結果。

例:已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC(或它們的延長線)于點M、N。當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時(如圖1)，易證BM+DN=MN。

(1)當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時(如圖2)，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數量關系?寫出猜想，并加以證明;

(2)當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數量關系?請直接寫出你的猜想。

在猜想時要注意不能漫無目的，一定要結合條件和圖形進行合理猜想，比如第(2)問的圖形中MN就不是最長的線段，所以結論不可能還是(1)的結論，但(2)的結論肯定與(1)類似，所以猜測出結論應該是DN-BM=MN。

2.猜測解題方向。

例:(1)如圖，正方形ABCD中，E為AB上一點，F為BC上一點，BE=BF，連結CE，G為CE上一點，BG⊥CE。

求證:∠DGF=∠ABC;

(2)若將(1)中的正方形改為菱形，試問(1)的結論是否成立，若成立，請寫出證明過程;若不成立，試問將條件怎樣變化，才能使結論成立?

在證(2)時，學生用原條件證不出結論，所以需要改變條件。原條件除了四邊形ABCD的形狀外，還余下兩個:一個是關于線段的，即BE=BF;一個是關于角的，即BG⊥CE。現在四邊形由正方形變成了菱形，四邊形的角度發生了改變，由此猜想隨之改變的也應該是關于角度的，即把BG⊥CE這個條件改變，再由(1)中“BG⊥CE”實際上是∠BGC=∠ABC=90°，猜想(2)中應把BG⊥CE改為∠BGC=∠ABC。

3.猜想解題的方法

例:如圖1，已知點D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M為EC的中點。

(1)求證:△BMD為等腰三角形。

思路點撥:考慮M為EC的中點，可以延長DM交BC于點N，構造△CMN≌△EMD，于是ED=CN=DA，即可以證明△BND也是等腰直角三角形，且BM是等腰三角形底邊的中線就可以了。

(2)將△ADE繞點A再逆時針旋轉90°時(如圖2)，△BMD為等腰直角三角形的結論是否仍成立?若成立，請證明;若不成立，請說明理由。

第(1)問根據“思路點撥”，一般同學都能完成證明過程，但完成第(2)問時出現困難。其實這兩個問題除了把△ADE進行旋轉外，其他的條件都沒有發生改變，所以猜想證明的思路與第(1)問應該類似。第一問把BM看成是等腰△BDN底邊的中線，所以猜想在第(2)問中也應把BM構造成一個等腰三角形底邊的中線。首先構造等腰△BDN，連結BD，過C點作CF⊥BC交DM的延長線于點N，連結BN即能證明△BDN為等腰三角形。

二、重視逆向思維的培養

逆向思維是數學思維的一種方法，屬于發散性思維，在教學中，定義、充要條件、公式的逆用，證明題中的分析法等都是進行逆向思維活動。學生一般習慣于順向思維，逆向思維能力顯得很薄弱，直接影響著認識問題、解決問題的能力。因此，教師在數學教學中應當重視逆向思維能力的培養，從而提高學生的創新能力，可以有意識、有目的地加強學生逆向思維能力的訓練，培養學生靈活運用數學知識，開拓解題思路，提高解題能力。

為了訓練學生的逆向思維，我在教學中有意識地編排順、逆雙向配對的練習題供學生訓練。

以上練習題，由于順、逆雙向對比明顯，可以幫助學生深刻地理解兩者的區別。學生通過練習，逐步養成運用逆向思維的習慣，提高逆向思維的能力和解題的靈活性，進而形成良好的思維品質。

又如，在教學“余角”和“補角”的概念時，我要求學生從兩個方面去理解:如果∠1+∠2=180°，那么∠1和∠2互為補角;如果∠1和∠2互為補角，那么∠1+∠2=180°。如此，才能讓學生把握“互為補角”的實質:(1)∠1和∠2互為補角，表示∠1是∠2的補角，同時，∠2也是∠1的補角;(2)互為補角的定義規定的是“兩個角”，而不是一個角或者是兩個角以上的角。因此，諸如“∠1是補角”、“若∠1+∠2+∠3=180°，則∠1、∠2、∠3互為補角”等說法都是錯誤的;(3)“互為補角”是兩個角之間的數量關系，它與兩個角的位置無關。

總之，在論證或解數學題時，從問題的對立面考慮，這都屬于逆向思維，可以設想公式的逆用，在逆推中解決問題;可應用歸謬法或淘汰法，在反證中達到目的，等等。這也是學生需要掌握的學習方法和思維方式，進而培養創新的能力。

三、重視問題思維的培養

“問題是數學的心臟”，數學思維的展開、數學能力的培養、數學精神的弘揚無不圍繞著問題的解決而展開、深化。古人云“學起于思，思起于疑”，所以產生學習的原因是問題，引起學生積極思維的是問題，培養發展學生認知能力和創新思維的動力是問題。在“問題情境”中，問題是核心，沒有問題就沒有思維活動。因此，在數學教學中，教師要把問題作為主線貫穿于整個課堂教學之中。問題要具有開放性、適度性，難度過小容易使學生產生思維惰性，但難度過大容易導致思維卡殼，學生的思維活動不能深入進行而流于形式。

如:已知，如圖，點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN都是等邊三角形。

求證:AN=BM。

在學生輕松解決這道題之后，我提出以下問題:

(1)原題條件不變，CM與AN交于點D，CN與BM交于點E，AN、BM交于點G，連接DE，你還能得到哪些結論?至少三個，你能證明嗎?

(2)把原題條件削弱為:CA=CM，CB=CN，∠ACM=∠BCN，你還能證明AN=BM嗎?如何證明?若三點A，B，C不在同一條直線上，其他條件不變，還能證明AN=BM嗎?為什么?

(3)把原題中的“等邊三角形”減弱為“以AC、BC為底邊的頂角相等的等腰三角形”，結論還成立嗎?請說明理由。

選擇的問題要注重開放性、新穎性、邏輯性，解決問題中要注重趣味性、活動性、延伸性，只有這樣，學生才能形成問題意識，保持長久的探究熱情，培養良好的解決問題的能力，激發學生探求的欲望，學生在觀察、分析的過程中主動地去探索和發現。當問題迎刃而解的時候，學生思維的興奮點就達到了高潮。

總之，上面各種思維的培養，是相互貫通、相互滲透的。教師在數學課堂上，可以因地因時地根據教材的內容啟發、誘導學生學習，激發學生的創新意識，培養學生的創新思維，并在此基礎上迸發出創造性的思想火花。