如何培養學生嚴謹的數學思維習慣

嚴謹的思維習慣是良好思維素質的特征。在教學中培養學生嚴謹的思維習慣是數學教師責無旁貸的，也是數學教學中一個重要課題。如何培養學生嚴謹的數學思維習慣呢?我現就這個問題作如下幾方面的探討。

一、提高語言表達能力，克服含混模棱的思維習慣。

很多學生在表達概念時，往往不注意數學概念的嚴密性，因而造成語言表達的錯誤。例如:“延長直線AB”、“平角是一條直線”的錯誤所在，揭示“在同一直線上的三點”和“不在任何一直線上的三點”的區別;分析圓周角的定義時，“頂點在圓上”、“兩邊都和圓相交”這兩個條件缺一不可。教師在課堂上發現學生這些語言表達的錯誤，就應該及時糾正。

學生敘述定理、法則、公式時，往往不注意定理、法則、公式的完整性，所以教師在要求學生敘述定理、法則、公式時，不能隨意增加和減少字。例如“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等”中的“同圓或等圓”的前提不能丟。

學生表述數量、位置、邏輯關系時，往往不注意語言表達的準確性。因而教師應要求學生在表述數量、位置、邏輯關系時，必須做到語言敘述準確、貼切。例如，“a和b的平方和”、“a與b平方的和”表示的意義完全不同，兩者不能混淆。

在培養學生嚴謹的思維的過程中，教師應做學生的楷模，只有教師準確地表達，才能對學生起到潛移默化的作用。因此，教師平時上課時要注意課堂教學語言的錘煉，做學生的表率。

二、準確運用概念，克服粗疏的思維習慣。

數學概念是構建數學理論大廈的基石，是導出數學定理和數學法則的邏輯基礎，是提高解題能力的前提，是數學學科的靈魂和精髓。數學的概念是從大量的事實抽象得到的，學生在運用概念時，往往不能全面、準確地把握住概念中的實質，而是只注意到概念中某一條件，忽視了隱含在概念中的另一部分的本質屬性，從而釀造成解題的錯誤。教師在課堂上應注意并及時剖析糾正。例如，很多學生忽視了字母a的取值范圍，認為a=。但正確的解法是當a>0時，a=才成立。當a<0時，a=不成立。

同時，數學來源于生活，又服務于生活。學生在日常生活中，對很多數學現象和問題都普遍存在著自己的觀念，其中有些觀念是正確的，是學生數學知識拓寬和發展的基礎，是一種豐富的資源。這方面教師要給予肯定、隨時收集、適時推廣。而有些觀念則是不全面、不完整的，有的甚至是完全同數學觀念相違背的。因此，在數學教學過程中，教師應及時發現學生的錯誤概念，并對這些錯誤概念進行分析，找出出錯的原因，以便采用適當的措施進行對錯誤概念的轉變，從而使學生克服粗疏的思維習慣。

三、深刻理解定理、法則、公式，克服生搬硬套的思維習慣。

數學定理、法則公式各自都有自己的作用范圍，絕不能生搬硬套。在教學中，教師發現學生有濫用定理、法則、公式的現象，就應及時指出，并予以糾正，從而培養學生靈活準確地運用定理、法則、公式的嚴謹的思維習慣。

例如:若關于x的方程ax+2(a-3)x+(a-2)=0，至少有一個整數解，且a為整數，求a的值。

學生解答:由題設得方程組

a≠0 ①△=[-2(a-3)]-4a(a-2)=0 ②

由②得:a=。

∴當a=時，方程至少有一個整數解。

這個同學就濫用了一元二次方程的求根公式。事實上，上題沒有提出方程的次數，也沒有提出方程的根的個數，應該考慮兩種情況，不能照搬照套一元二次方程的解法。

正確的解法:

解:當(1)當a=0時，已知方程為-6x-2=0，得x=-無實數。

(2)a≠0時，要使方程至少有一個整數解，它的判別式△=4(a-3)-4a(a-2)=4(9-4a)必須為完全平方數，從而9-4a必須為完全平方數。

設9-4a=n(n為正奇數，且n≠3)，則a=。

代入原方程得:x==-1+，

所以x=-1+，x=-1+。

若x為整數時，由n為正奇數知，只能n=1，a=2。

若x為整數時，n只能為1，5，7。

當n=5或7時，a=-4a或-10。

綜上所述，a的值為2，-4，-10。

四、認真細致審題，克服單一的思維習慣。

探究問題，不能只考慮一種結果，應全面深入地分析，想想有沒有其他結果，從而達到培養學生嚴謹的數學思維習慣。

例:相交的兩圓的公共弦長為6，兩圓的半徑為3與5，求兩圓的圓心距是多少?

錯解:如圖(1)

兩圓相交，公共弦長為6有兩種情況，如(1)(2)兩種情況。

對于(1)，已討論。

對于(2)，OO=+=4-3=1。

故兩圓的圓心距為7或1。

總之，中學數學教師應在平時的教學實踐和日常生活中，善于抓住各種時機，利用各種方式，持之以恒地注意培養學生嚴謹的數學思維習慣，從而提高學生的數學素養和綜合解題能力，促進學生的全面發展。