把握概念本質,上好數學概念課

一、課堂疑惑

我在講高中數學的第九章《直線、平面、簡單幾何體》第二大節的第二課“異面直線及其夾角”時，努力使自己投入角色之中，把前一天精心設計的教案搬到課堂上，精心設計教學目標:(1)展示概念背景，讓學生理解異面直線的定義，創設求知情境，從平面到空間的一個自然過渡;(2)培養思維的敏捷性，提取有效信息，進行“由此思彼”的聯想;(3)精確表述概念，培養思維的準確性(準確給出異面直線的定義和異面直線的夾角的定義);(4)運用新概念，會找出異面直線的夾角，并求兩條異面直線的夾角。我通過實例引入教學內容，通過動畫演示，設置不同層次的疑問，使學生的注意力被深深地吸引了。學生經過思考、討論，引例中所出現的問題大家也都能明確其意義。學生能很快地找到幾何圖形中的異面直線。接著我又用類比的方法介紹異面直線的夾角夾角問題的解法思路:利用平移的方法把空間角轉化為平面角，并介紹了常用的幾種平行轉換方法及其思想，最后還通過分組分層練習加以鞏固。課堂上一切都顯得很流暢，心里不知不覺地有一種成功的喜悅，下課鈴響了，原想邁著輕松的腳步走出教室，令我吃驚的事情發生了，一向成績較好的幾個學生把我包圍了，一個學生問道:“老師，這節課我感覺怪怪的，我會跟著您的思路來做題，也知道如何去找出異面直線的夾角，但對于這個夾角總搞不清到底是怎么一回事，你能不能再把它講清楚一些呢?”旁邊的學生也七嘴八舌地議論著，我當時就好像被一盆冷水迎面潑來一樣，為什么成績好的學生會不知其所以然呢?我想了想，就找一位學生回答什么是異面直線的夾角，“不同在任何一個平面的兩條直線，叫異面直線。在空間任找一個點通過該點分別作這兩條異面直線的平行線，那么這兩條直線所交成的銳角(或直角)就是異面直線的夾角。”我笑著肯定他的答案。可是他板起臉，說:“我是照課本的定義背下來的，對其中的意思也不太明白。”簡直是不可思議，一個思維能力較好的學生竟如此坦白地說他背概念，我完全不敢相信眼前的這一切是真的。回到辦公室，腦海里不斷響起學生的問題:“異面直線到底是怎樣一回事?異面直線的夾角是怎樣一回事?”這個問題由“異面”這兩個字已經很說明問題了，學生為什么在認知上還有這么大的問題。我被這個問題困擾了，應該如何從中學生現有的對立體圖形的認知水平出發講清楚這個概念呢?數學概念應當怎樣講解?這個問題引起我深深的思考。通過深入的學習探討和課堂上的實踐經驗，我有以下認識。

二、啟示

概念在教學中起著非常重要的作用，尤其是數學概念，它是數學大廈的奠基石，是數學學科系統的精髓和靈魂，它反映了數學對象的本質屬性。沒有清晰的概念，后果就像一座沒有合格框架結構的摩天大廈一樣，早晚會因為經不住考驗而倒塌。要是學生對概念的理解只停留在死記硬背、機械模仿的階段，那是一件非常可悲的事情，因為它完全脫離現代的素質教育，違背教學改革的理念。這樣的教學往往置學生于被動地位，使思維呈現依賴趨勢，這不利于創新型人才的培養。“學習最好的途徑是自己去發現”。學生如能在教師創設的情景中像數學家那樣去“想數學”，“經歷”一遍發現、創新的過程，那么在獲得概念的同時還能培養創造精神。概念教學在整個數學教學中起著舉足輕重的作用，我們應重視在數學概念教學中培養學生的創造性思維。引入是概念教學的第一步，也是形成概念的基礎。在引入概念時，教師要鼓勵學生猜想，即讓學生依據已有的材料和知識作出符合一定經驗與事實的推測性想象，讓學生經歷數學家發現新概念的最初階段。牛頓曾說:“沒有大膽的猜想，就作不出偉大的發現。”教師們在日常教學中應如何進行概念課教學，就顯得至關重要了。下面我結合一些案例，談談我在概念課教學中的獲得幾點啟示。

數學概念教學的一般要求是:使學生了解概念的產生，掌握概念的內涵和外延，熟悉其表達方式，了解有關概念之間的區別與聯系，并能正確靈活運用概念，達到理解、鞏固、系統、會用的目的(引自“教學與管理”)。所以在日常的教學中，教師不能圖省事直接把概念拋給學生，只強調會背、會用概念。我們應當重視概念的形成過程，把容易混淆的概念加以對比。

(一)抓住概念的本質。

從學生的提問中，我冷靜下來，認真地反思整個教學過程，發現自己基本上重視了展現概念的形成過程，通過實物和課件演示，讓學生從感性的認識上升為理性的認識。不過，我并沒有緊緊地抓住概念的內涵。“異面直線”這一概念，關鍵在于“異面”二字上，是指“不同在任何一個平面上”，不能簡單地說成“不在同一個平面內的兩條直線”。而“異面直線的夾角”關鍵在于“角”字上，它是看不到的，但是由等角原理可知通過平行轉換出來的角大小就是異面直線夾角的大小，著力點在角的大小。我通過實際例子培養了學生的數學建模能力，也順利地得出了異面直線的概念，又通過問題使學生知道空間角需要轉換為平面角，但就是沒有很好地把握住異面直線的夾角是研究平移所構成的這個平面角的大小這一關鍵之處，使學生在認知上發生偏差，知識的重心偏移。

(二)設置情景，讓學生親自去區別容易混淆的概念。

“對于容易混淆的概念，要引導學生用對比的方法，弄清它們的區別與聯系”。傳統的教學是“以教師為中心，以課堂為中心，以課本為中心”。例如:對于分類計數原理與分步計數原理的區別，或許有的教師會舉出一系列的題目，讓學生去通過做題來判別哪些題用分類計數原理實數，哪些用分步計數原理，并且對于基礎差的學生要求他們熟記概念。而我在處理這一教學內容的時候，讓學生先通過做游戲。例如，讓學生思考討論:老師要從開封到北京去學習，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有3班，汽車有2班，那么一天中，乘這些交通工具從開封到北京共有多少不同的走法?若老師臨時有事，先要去鄭州，然后由鄭州去北京，從開封到鄭州有4班火車，從鄭州到北京火車有6班、汽車有5班。那么老師會有多少種走法?最后讓學生分別舉例說明。如果學生能正確地舉出分類計數原理與分步計數原理的例子，那么說明他對概念的理解不再停留于概念的描述，而是能靈活運用概念，知識水平顯然高出一個檔次。所以我在教學中，會經常給時間讓學生自己去編題、去舉例。例如:講數形結合思想在解不等關系的應用時，我和學生互動共同得到解方程:=2x-4的傳統做法:平方法去根號。然后引導學生由數形結合的觀點探討等號的左右兩邊所表示的函數模型的圖形，由數形結合的方法解題的快捷性。再變式練習，解不等式:≥2x-4，由學生探討基本思路和解題的過程。由此讓學生自編題(1)≥|x|，(2)≥;(3)≥x-2x，等等，事實表明，效果相當不錯。

(三)寓開放性、應用性于數學概念教學中。

有的教師或許認為概念課教學有點類似于語文科教學，照本宣科。事實上概念教學主要是要完成概念的形成和概念的同化這兩個環節，不能簡單地處理為“看懂—背誦—理解—運用”的模式。新知識的概念是學生初次接觸或較難理解的，所以在教學時，教師應先列舉大量具體的例子，從學生實際經驗的肯定例證中，歸納出這一類事物的特征，并與已有的概念加以區別和聯系，形成對這一特性的一種陳述性的定義，這就是形成一種概念的過程。在進行數學概念教學時，最能有效促進學生創新能力的是對實例的歸納及辨析。通過對實例的歸納和辨析對新問題的特性形成陳述性的理解，繼而與原有的知識結構相互聯系，完成概念形成的兩個步驟。事實表明，學生喜愛理論結合實踐的教學模式。畢竟現在青少年的生活背景與以往的相比，不可相提并論。他們不僅追求概念的形成，而且喜歡找到生活的原形。這樣對于激發他們的學習動機，調動其學習積極性，深刻地、靈活地運用概念，起著非常重要的作用。針對此現狀，在日常教學中，我努力地寓開放性、應用性于概念課教學中。例如:在講授“柱體、椎體”這個概念的時候，一些老師會畫一個柱體、椎體，然后介紹它的定義和其構成部分。我則在前一天給學生布置搜集柱體、椎體的一些例子，上課時小組展示自己的實物或圖片，而我就從這些常見的實物和圖形，引導他們觀察身邊的事物是否有這些圖形。接著學生很快就發現教室里面到處可以找出柱體、椎體的生活原形。如:粉筆盒、文具盒、漏斗等。從而讓學生親身地感受到柱體、椎體應用的廣泛性，大腦先有了形象的記憶。然后學生由實物自己探索柱體、椎體的組成部分，再結合老師給出的柱體、椎體的圖形總結出它們的簡單性質。課堂上，學生自主探索，學習知識，一方面活躍了課堂氣氛，另一方面做到了知識的活學活用。

總的來說，掌握好概念是學好數學的基礎和關鍵，每個教師都要重視概念課教學，綜合運用各種教學方法和教學手段，優化課堂，力求使學生能正確地理解數學概念。

參考文獻:

[1]張奠宙.數學方法論稿.

[2]魯獻蓉.概念學習及其教學的過程與條件.

[3]丁爾升.中學數學課程導論.