矩陣分析實現試卷均衡分配的隨機回避原則

摘要:試卷與評委間的映射涉及到一個隨機回避原則，即某校的評委不能評閱本單位的試卷，且試卷的分配又要求隨機性，以保證分配的公平性。通過設計一個簡單算法實現該功能，提出隨機回避矩陣的概念，對試卷的均衡分配作初步的討論。

關鍵詞:回避原則;隨機序列;隨機回避矩陣

中圖分類號:TP

文獻標識碼:A

文章編號:1672-3198(2010)13-0332-01

隨機回避是評判體系中一個重要的原則，通常作為一個剛性約束條件。在這個剛性約束條件的基礎上，建立相關的指標體系對已滿足隨機性原則、回避原則的映射進行篩選，從而實現試卷的均衡分配。隨機回避原則的實現是一個不容忽視的問題。現已知在大學生數學建模競賽A題的評卷工作中，M個評委(M個評委來自不同的學校)要完成N份試卷的評分，競賽試卷來自K個學校，第j個學校有競賽試卷份，為節省人力，每份試卷只須由其中P( P< M

(1)每份試卷由P位不同的評委評閱的選定方案是隨機的，記為條件a。

(2)由回避原則，每個評委只能評閱非本單位的試卷，記為條件b。

1 隨機回避矩陣的提出

試卷與評委間的一一對應關系可以利用一個二維的數組來表示。隨機回避矩陣是一個滿足隨機性原則和回避原則的0-1矩陣B，在此問題中行序號代表評委號，列序號代表試卷號。B(i，j)=1表示第i個評委評閱第j份試卷。計算機科學發展到今天，在生活中的應用越來越廣泛。計算機強大的計算能力在處理隨機問題和統計問題上具有不可替代的優越。同樣隨機回避矩陣的生成容易通過編程來實現，下面以某份試卷j的評委選定為例，闡述算法的基本思路:

(1)產生一個1—M的隨機整數序列randperm(M);

(2)從第一步生成的由M個數組成的隨機整數序列中依次選擇P個與該試卷不沖突的評委號，可生成一個與這P個評委號對應含M個元素的0-1行向量(在P個評委號對應的位置賦值1，其余位置賦值0);

(3)按以上步驟可以生成1份試卷滿足條件a和b的評委選定方案。

在上述算法中，回避原則表現在:P個評委號是與該試卷所在單位必須是不沖突的。而隨機性表現在:第二步先設定一種選擇機制，選擇機制并不唯一，也可以是由M個數組成的隨機整數序列中從尾到頭依次選擇P個與該試卷不沖突的評委號，前提是這種選擇機制不影響評委號生成的隨機性，可以證明第二步提出的選擇機制能夠滿足隨機性原則。

2 隨機回避矩陣的生成

上面討論了某份試卷j的評委選定，由于共有N份試卷，需要生成N個這樣的行向量形成矩陣?，F做如下處理:按任意設定的學校順序給該學校的試卷和評委相應編號定位，產生一個矩陣BN×M;若學校有一個評委參與試卷評分，設前i-1個學校總共有試卷sum1(i)份，第i個學校的試卷數量為l(i)份，前i+1個學校(包括第i+1個學校)試卷總量為sum2(i)份。此評委的不可及范圍為第sum1(i)+1到第sum2(i)+1號間的l(i)試卷。該不可及范圍正是反映評委號與試卷所在單位號不沖突的條件。像這樣的隨機回避矩陣可以生成任意個(可以是相同的)，通過建立試卷均衡分配條件的指標，從中篩選出符合條件的矩陣，制定出合理的試卷均衡分配方案。

值此，隨機回避矩陣已建立。通常試卷的均衡分配要求包含兩個方面:

(1)量的均衡:各評委工作量即評閱的試卷數量應均衡(即基本一致);

(2)均衡分散:任意兩份試卷評閱中，出現相同評委越少越好;同一個學校試卷不要集中在一個評委手中，即同一單位的試卷在評委中的分布應盡量均衡。建立試卷均衡分配條件的指標體系后，即可從大量的隨機回避矩陣中篩選出滿足要求的方案。

3 結語

許多離散問題的分析需用到0-1矩陣。0-1矩陣形式簡單，表現力強，可拓展性好，便于處理，應用廣泛。隨機回避矩陣的提出利用了0-1矩陣表現力強等優點，隨機回避矩陣作為試卷均衡分配的基礎工作，其簡單的風格便于深層次的討論，不失為一種優秀的處理手段。

MATLAB自身的函數庫中就包含隨機序列生成的randperm( )函數，基于MATLAB這一平臺處理隨機序列和矩陣方面的優勢受到廣大科學計算用戶的青睞。用MATLAB語言編程生成隨機回避矩陣使得工作效率得到顯著提高。隨機回避原則是試卷均衡分配的一個基本原則，隨機回避矩陣則較好地解決了隨機回避問題。

參考文獻

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[3]陳東彥，李冬梅，王樹忠等.數學建模教程[M].北京:科學出版社，2007.