高中概率統計教學若干問題探討

[摘要] 在信息技術和知識經濟時代，概率統計學從隨機的角度來審視世界，幫助人們在面對各種偶然情況或大量不規則數據時，作出更為正確合理的決策.在教學中，使學生掌握好概率統計的基本觀點、思想和方法，更好地解決自然環境、現實社會中的實際問題.

[關鍵詞] 概率教學 隨機思想 概率原理

一、概率統計的背景與教學

概率統計是研究大量隨機現象以揭示其統計規律性的一門科學，它體現了確定性數學到隨機性數學的轉變。由于概率統計的知識內容和研究對象本身有著豐富的實際背景，來源于人們所熟悉的現實社會和自然現象，這為學生認識和了解數學的來源與背景、感受數學的價值和作用、形成與提高解決實際問題的能力提供了一條有效的途徑。因此，在教學中，教師可選擇一些現實情景中有代表性的事例，通過相應的數據分析，解釋相關概念、原理的實際意義，運用相應的概率方法以解決相應的實際問題，使學生認識到概率統計思想方法在社會生活及各學科領域中有著廣泛的應用，從而提高其學習興趣。

二、概率統計教學思考

1.關于教材中的概率概念

概率統計是研究隨機現象統計規律的學科，因為中學生理解概率的定義還比較困難，所以應從學生熟悉的生活經驗引入概率定義，以描述為主，“對有關術語不要求進行嚴格表述”，通過實例豐富學生對概率統計的認識，領會其思想方法。

中學教材概率的定義大致有以下兩種:

第一個定義:在大量重復進行同一試驗時，事件A發生的頻率mn總是接近于某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事件A的概率，記作p(A)。

第二個定義:一次試驗連同可能出現的每一個結果稱為一個基本事件，如果一次試驗由n個基本事件組成，并且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是1n。如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率p(A)=mn。

2.對概率概念教學的想法

在歷史上，概率概念的形成有一個漫長的過程，針對高中學生的思維特點，鑒于學生在此之前沒有系統學過這方面的知識，結合學生在現實生活中對可能性大小描述的體會，建議在教學中補充第三種說法:即主觀式定義。

概率概念的教學，可從以下三個方面加以定義說明，即概率的古典式定義、頻率式定義和主觀式定義。古典定義也稱理論定義，是一種構造性的定義方式，它將一個事件的概率定義為利于該事件發生的所有結果的數目與所有等可能發生的結果的總數的比值，無需試驗就可以從理論上計算出的概率。頻率定義也稱經驗定義，它將概率定義為某一事件在無限次或接近無限次的重復試驗中發生的頻率所接近的常數，這是一種建立在實際試驗結果基礎之上的定義。主觀定義也稱直覺定義，它是對隨機現象可能性大小的一種個人的估計，是對客觀事物的一種主觀描述，隨著新信息的出現(如實際試驗后的結果)，將調整最初基于經驗或直覺之上的估計。上述三種定義都各有長處，古典定義簡單明了，在樣本空間每一結果都是等可能發生的條件下，可以預測概率;頻率定義不受每一結果都是等可能發生這一條件的限制，可用于那些不能從理論上解決的問題;主觀直覺是教學的一個很好的出發點，通過教學能夠將學生的自我經驗與概率理論聯系起來，培養學生良好的直覺。這三種方式既符合高中學生的認知特點，學生易于接受，又具有內在的統一性，即可以用大量的重復試驗加以驗證，并為以后的公理化定義的學習奠定良好的基礎。

下面從這三種定義的角度分析學生理解概率產生的錯誤觀念的原因及教學中應采取的措施。

(1)理論定義——產生等可能性偏見

認為任何隨機事件是等可能發生的，同時拋擲兩骰子，比較拋出一個5一個6和拋出兩個6的可能性的大小，在調查中，學生普遍認為它們可能性一樣大，而且后來這種錯誤在用古典概型公式計算概率時會經常出現，在教學中要特別注意強調要求學生真正找出等可能的基本事件。

(2)經驗的定義——產生預言結果的錯誤

有學生在使用“機會”、“可能性大小”、“概率”這些概念時，并不把它們與重復試驗聯系起來，而是將概率很大等同于一定會發生，概率很小等同于一定不會發生，50%概率等同于“不知道”或“不能決定”，認為概率是用來決定一個隨機事件是否發生，而不是用來度量此事發生的頻繁程度。這就要求老師在進入概率的計算之前要注意讓學生建立隨機思想。隨機性是概率中的一個基本觀念，它包括兩個方面:單一事件的不確定性和不可預見性，事件在經歷大數次重復試驗中表現出規律性。學生在現實生活經驗的基礎上，比較容易接受事件發生具有不確定性和不可預見性，但僅靠平時一些零散的生活經驗，學生往往難以理解不確定性背后會有規律可循，難以想象為何重復試驗有利于發現規律，且重復大數次比重復小數次獲得規律更可靠。在教學中老師要盡量闡明“必然寓于偶然之中”的道理，即頻率的穩定性，頻率趨于概率。而不能僅憑一次事件的結果判斷準確與否。

(3)主觀的定義——產生代表性的錯誤

一個人在兩個月內找到新工作的機會是多大?一家公司在項目投標時中標的可能性是多少?現實生活中有很多類似的機會問題是既不能用理論概率又不能用經驗概率來回答的。在這種情形下，人們往往根據己有的一些信息先給出一個主觀的或直覺的估計，然后再根據獲得的新信息進行調整。但是如果受到代表性一類錯誤概念的指引，那么主觀估計出的機會可能與實際差得很遠，如在一個有六個孩子的家庭中，學生絕大多數認為BGGBGB (B代表男孩，G代表女孩)這一出生順序發生的可能性比BBBBGB和BBBGGG要大，GGGGGG最小，在教學中要求學生對問題作理智分析，但只對學生進行概率概念的講解不足以讓他們克服代表性方法的強大影響，實驗的以活動為主的課堂環境對克服學生對代表性方法的依賴性更為有效。鼓勵學生在自己理解的基礎上，大膽想象、提出數學問題，讓其置身于現實問題情境之中，充分體驗數學就在我們身邊。

3.關于概率教學的重點

教學重點是展現概率統計的思想方法。

有的數學教育家指出，大部分數學書本知識學生在今后一生中都不會直接用到，要用的是合理的基本數學思想方法和分析解決問題的能力(這大概就是數學素質)。因此，我們應充分展現概率統計的思想及過程，“中學的概率統計應使學生真正感受到確定性和隨機性數學思維方法的本質區別。”

教材中概率內容放在排列、組合、二項式定理這一章的最后，似乎概率內容是排列組合內容的一個應用。概率的古典定義，提供了利用排列組合方法求概率的方法。但是，從思維方式上說，它與排列組合是有很大區別的。利用等可能情況的定義，利用排列組合求出的有限元素的有關問題的概率，可以探索一般概率問題的互斥、對立、獨立等公式，但不是概率問題的本質。概率內容的重點應該在三個方面:

1.建立隨機思想及概率的概念

2.建立互斥、對立、獨立、獨立重復試驗的概念

3.建立概率的加、乘原理

實際上，數學上的討論，排列組合內容前的加法原理、乘法原理，應用十分廣泛。比如:己知某地“今天下雨明天也下雨”的概率是p，“今天不下雨明天也不下雨”的概率是q，問“今天下雨，后天也下雨”的概率是多少?

這一問題不好用排列組合的方法去做，但可以討論如下:

“今天下雨明天也下雨”與“今天下雨明天不下雨”是兩個對立事件。“明天下雨后天繼續下雨”與“今天下雨明天也下雨”又是獨立事件，因此，所求概率應該是P=p#8226;p+(1一p)(1一q)

這中間用到了對立事件的概率。

又如，課本中用排列、組合的方法說明抽簽先后的概率相同問題，也可以另辟蹊徑。

又比如，5個人抽5張票中的一張獎券，怎樣說明第二個人與第一個人抽到獎券的概率相同?

甲抽的概率當然是15

甲抽的結果有兩種。一種是抽到獎券，概率是15;一種是抽不到獎券，概率是45。

乙抽的時候，有兩種互斥的情況:甲抽到獎券，乙抽不到;甲抽不到，乙抽到或抽不到。

因此，乙抽到獎券的概率P=15×0+45×14=15;

還可以研究丙，他抽到獎券的概率是P=15×0×0+45×14×0+45×34×13=15。

當然，也有不少問題用到了排列組合方法。但總的來說，概率問題的研究中常用到排列組合方法，但遠遠不是全部，重要的是隨機思想的建立。

參考文獻:

[1]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)[M].北京:北京師范大學出版社，2001.

[2]《國家高中數學課程標準》制定組.《國家高中數學課程標準》的框架設想[J].數學教育學報，2002，11(2).