不畏“浮云”遮望眼

解數(shù)學(xué)題關(guān)鍵在開頭的解題思路，正所謂“萬事開頭難”．倘若試題還布下“疑兵”，前路“浮云”蔽目，如何迅速捕捉解題思路，邁出正確的第一步呢？下面以幾道例題與練習(xí)進(jìn)行探討．

一、等價(jià)變形云開日出

例1．（2011年汕頭市理科測試）已知方程x2+x+=，其中、、是非零向量，且、不共線，則該方程（）

A． 至多有一個(gè)解B． 至少有一個(gè)解

C． 至多有兩個(gè)解D． 可能有無數(shù)個(gè)解

【分析】該方程貌似關(guān)于x的一元二次方程，若你把x當(dāng)成主元，想用來判別該方程的解的情況，顯然心存疑慮！需知實(shí)系數(shù)一元二次方程才可用判別法，而這里的系數(shù)卻為向量．開局“浮云”蔽眼！觀察方程x2+x+=等價(jià)變形后可得：=（-x2）+（-x），應(yīng)從平面向量的基本定理尋求正確結(jié)論．

【解答】根據(jù)平面向量的基本定理：存在唯一的實(shí)數(shù)m、n，有=m+n，則m=-x2，n=-x，滿足此式的x至多有一個(gè)解（這個(gè)解為x=-n），選 A．

【評(píng)注】堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)配合等價(jià)變形以幫助求解數(shù)學(xué)題時(shí)開好局．縱然浮云蔽日，也能撥云見日．

練習(xí)． 設(shè)函數(shù)y=（a＞0）的值域?yàn)椋郏保矗荩瑒t實(shí)數(shù)a=，b=．

【答案】a=4，b=3．提示：已知函數(shù)的值域，可考慮轉(zhuǎn)化為方程后用判別式法，進(jìn)而求出a、b的值.避免用求導(dǎo)分析單調(diào)性與最值來求解，不然“浮云”迷漫前路，要想看見日出，卻非易事．

二、數(shù)形結(jié)合冰消云散

例2． 設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=lgx-a，x≠a0，x=a則關(guān)于x的方程f 2（x）+bf（x）+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是（）

A． b＜0且c＞0B． b＞0且c＜0

C． b＜0且c=0D． b≥0且c=0

【分析】關(guān)于x的方程f 2（x）+bf（x）+c=0首先是以f（x）為未知數(shù)的一元二次方程，在給定一個(gè)f（x）的值的同時(shí)看對(duì)應(yīng)的x的值的個(gè)數(shù)．若要x有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，顯然其充要條件是f（x）需有一個(gè)正數(shù)解與一個(gè)解為零，這樣可得出相應(yīng)的結(jié)論．當(dāng)你眼前f（x）這片“浮云”消失后，眼前豁然開朗．

【解答】f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，與x軸的交點(diǎn)為O、E、F．依題意得：f（x）需有一個(gè)正數(shù)解與一個(gè)解為零．當(dāng)f（x）=m為正數(shù)解時(shí)，f（x）與y=m相交于Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四個(gè)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)即為其中的4個(gè)解；而f（x）=０時(shí)，f（x）與y=0相交于O、E、F共3個(gè)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)即為另外3個(gè)解．這樣，關(guān)于x的方程f 2（x）+bf（x）+c=0就有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解．由根與系數(shù)的關(guān)系知，其充要條件是： b<0且c=0．選 C ．

【評(píng)注】本題要知道x有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，先要看透方程f 2（x）+bf（x）+c=0中的f（x），不為“浮云”f（x）所迷！應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，為開好局做準(zhǔn)備．

練習(xí) ① 在直角坐標(biāo)系中，曲線Ｃ１的參數(shù)方程為x=cos，y=sin［０，］，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系；曲線Ｃ2在極坐標(biāo)系中的方程為=．若曲線Ｃ１與Ｃ2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是．

【答案】［１，）． 提示：先把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程都轉(zhuǎn)化成同一直角坐標(biāo)系下的普通方程，畫出曲線Ｃ１與Ｃ2的圖像即得正確答案．

練習(xí) ② max｛a，b，c｝表示a、b、c三個(gè)數(shù)中的最大值，則f（x）=max｛3x，2x+1，3-4x2｝在區(qū)間［０，２］上的最大值Ｍ和最小值Ｎ分別是（）

A． M=9，N=-13

B． M=5，N=-13

C． M=9，N=2

D． M=5，N=1

【答案】C． 提示：充分理解max｛a，b，c｝的定義，借助數(shù)形結(jié)合自然冰消云散．

三、代換構(gòu)造風(fēng)卷殘?jiān)?/p>

例3． 已知a，b，c均為正數(shù)，求證：

++≥（a+b+c）.

【分析】本題若用放縮法來證：

左邊=++≥（a+b）+（b+c）+（c+a）=（a+b+c）＜（a+b+c），這樣就縮得過多．若想兩邊平方尋求出路，恐怕前路漫漫，“浮云”深處舉步維艱．

【解答】觀察所要證的不等式左邊被開方式的結(jié)構(gòu)，可嘗試余弦定理．如圖．

構(gòu)造△ABC，OA=a，OB=b，OC=c，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，則 ＡＢ＝，ＡC＝，CB=.

在△ABC中，由正弦定理可知：=＝，故=，

即AB=#8226;=#8226;≥（a+b）.（這里用到了三角公式中的和化積公式sin+sin=2sincos）

同理： AC（a+c），BC（b+c），所以ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ（a+b+c），即++（a+b+c）.

【評(píng)注】本題抓住被開方數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)考慮余弦定理，其特點(diǎn)正好兩邊夾角為120°，因而選用構(gòu)造法開局．

練習(xí)． 求函數(shù)y=+的最值．

【答案】函數(shù)的最小值為0，最大值為8．

提示：該函數(shù)結(jié)構(gòu)繁復(fù)，不易下手．可通過三角換元使函數(shù)簡化，一招風(fēng)卷殘?jiān)疲?/p>

原函數(shù)的定義域?yàn)椋海郏保埃龋?，1］．

令x=sin（［-，0）∪（0，]），則y=+=+=4#8226;=4#8226;=2（1+tan）2，∵［－，０）∪（０，］，∴［－，０）∪（０，］，故tan［－1，０）∪（０，1］，∴y［0，2）∪（2，8］．

四、循新規(guī)云去晴山出

例4．（湛江市2011年高三測試一）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，當(dāng)b＞0時(shí)，定義運(yùn)算a*b=logab+ab，a（０，1)∪（１，＋∞）b2+ab-2a，a（－∞，０］∪｛１｝，則滿足方程２*x=（－２）*x的實(shí)數(shù)x所在的區(qū)間為（）

A. （０，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）

【分析】本題需理解新的定義，對(duì)方程２*x=（－２）*x的轉(zhuǎn)化要守定義，循新規(guī)．

【解答】由定義可得：２*x=log2x+2x，（-2）*x=x2-2x+4，故原方程即為：log2x+2x=x2-2x+4，即log2x+2x-（x2-2x+4）=0（x＞0）．

令f（x）=log2x+2x-（x2-2x+4）（x＞0）．由f（1）=-1＜0，f（2）=1＞0，根據(jù)零點(diǎn)判定定理可知：實(shí)數(shù)x所在的區(qū)間為（1，2)，故選答案 B．

【評(píng)注】本題不被新運(yùn)算所迷惑，循新規(guī)，云去晴山出！

練習(xí)．（2010年江門一模文科）任意a、bR，定義運(yùn)算ab=a#8226; b，ab≤0-，ab＞0則f（x）=x*ex的（）

A． 最小值為-eB． 最小值為-

C． 最大值為-D． 最大值為e

【答案】B．提示：f（x）=-，x＞0xex，x≤0由經(jīng)過求導(dǎo)分析單調(diào)性可求出兩段函數(shù)中的最小值均為-．

五、浮云散，明月照人來

例5．（2010年江門一模文科）如圖，圓的兩條弦AC、BD相交于P，弧AB、BC、CD、DA的度數(shù)分別為60°、105°、90°、105°，則 =．

【分析】本題所給出的弧AB、BC、CD、DA的度數(shù)60°、105°、90°、105°這些已知條件都要用嗎？其實(shí)可拋棄兩個(gè)105°，僅需弧AB、CD的度數(shù)60°與90°兩個(gè)角就可以解決．若再加上這兩個(gè)105°，則變?yōu)楦厥獾那闆r而已．

【解答】設(shè)圓的半徑為Ｒ，連接AB、DC，由已知條件可知：AB=R，CD=R．根據(jù)△ABP∽△DCP即得：＝＝，故＝．

【評(píng)注】本題可改為:如圖，圓的兩條弦AC、BD相交于P，弧AB、CD的度數(shù)分別為60°、90°，則 =．簡化條件，拂開“浮云”．

練習(xí)．如圖ＡＢＣＤ，是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與BC為直徑的⊙F交于點(diǎn)E，求線段BE的長．

【答案】EB=a．提示：連接DF、CE相交于G，則DF⊥CE，由△DCF∽△CEB可得：=，故EB=a．兩圓的圓心由于處于不起眼的邊角地帶，故更需抓住它們，才能吹盡“浮云”，現(xiàn)出解題思路，用其性質(zhì)解決問題．

六、不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層

例6．（湛江市2011年理科測試一）如圖，在一個(gè)正方體ＡＢＣＤ－Ａ′B′C′D′內(nèi)放入兩個(gè)半徑不相等的球O′、O，這兩個(gè)球相外切，且球O′、與正方體共頂點(diǎn)Ａ′的三個(gè)面相切，球O與正方體共頂點(diǎn)C的三個(gè)面相切，則兩球在正方體的面ＡＡ′D′D上的正投影是（）

【分析】本題的關(guān)鍵在正方體的對(duì)角線Ａ′C必經(jīng)過兩球的球心O′、O．由于Ａ′C⊥平面C′BD，設(shè)過兩球切點(diǎn)且與兩球相切的平面為，則平面C′BD∥，易知平面C′BD在正方體的面ＡＡ′D′D上的正投影為ＡD′D，故可以推測上球被下球遮擋．

【解答】由于球O′、O與正方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，它們在正方體的面ＡＡ′D′D上的正投影必與相鄰兩邊相切，故先淘汰答案C、D．又因?yàn)檎襟w的對(duì)角線Ａ′C必經(jīng)過兩球的球心O′、O，設(shè)過兩球切點(diǎn)且與兩球相切的平面為，因Ａ′C⊥平面C′BD，Ａ′C⊥，則平面C′BD∥，因平面C′BD在正方體的面ＡＡ′D′D上的正投影為ＡD′D，故可推測上球被下球遮擋．答案應(yīng)選B（若平面⊥ＡＡ′D′D面，則可考慮答案A）．

【評(píng)注】本題淘汰答案C、D不難，而進(jìn)一步確定正確答案還需進(jìn)行相應(yīng)的推理．進(jìn)行空間想象時(shí)，需注重基礎(chǔ)理論知識(shí)的應(yīng)用，這樣，才能跨越空間、距離進(jìn)行抽象思維，不為“浮云”遮望眼！若問“浮云”都是什么？能否這樣回答：“浮云”就是當(dāng)你掌握的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能不牢時(shí)的數(shù)學(xué)“虛癥”，就是當(dāng)你思考深度不足、分析不夠時(shí)所產(chǎn)生的“疑慮”．這時(shí)前路“浮云”蔽目，前腳無處立足，如何避虛就實(shí)開好局呢？一句話：不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層！

練習(xí)①一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)DEF分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，已知正三棱柱的底面邊長AB=2，則該三角形的斜邊EF=．

【答案】EＦ＝２．提示：取EF的中點(diǎn)P，連接DP，作EG//AB，EH//BC，DK//AC，連接KP，GH，如圖，可證ＤＰ⊥平面ＢＣC′Ｂ′，而ＤＰ＝，故EＦ＝２．架設(shè)“天橋”，跨過“浮云”，天塹變通途！

練習(xí)②（2010年廣雅12月理科月考）已知滿足sin+2cos≤2sin-3cos≤1則函數(shù)f（）=2sin+3cos的最大值為()

A． B． C．D．

【答案】A． 提示：f（）=（sin+2cos）+（sin-3cos）≤，易錯(cuò)選C．原因在sin+2cos≤2，sin-3cos≤1中兩個(gè)不等式不能同時(shí)取等號(hào)，“浮云”蔽目，如何開局？可否用線性規(guī)劃求出最值？

令x=sin，y=cos，則

x+2y≤2，x-3y≤1，x2+y2=1，x≤1，y≤1，z=2x+3y，

直線l０∶y=-x應(yīng)向上平移至可行域中的單位圓上的A點(diǎn)時(shí)，Z才會(huì)有最大值．這時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)由x+2y=2，x2+y2=1確定，即x=，y=，代入z=2x+3y，得zmax=．若想開局好，還需站得高，看得遠(yuǎn)！

“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”．宋代詩人王安石道出了求解數(shù)學(xué)題開局之奧妙，即樹立了正確的觀點(diǎn)，掌握了正確的方法，認(rèn)識(shí)達(dá)到了一定的高度，就能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，就不會(huì)被事物的表象所迷惑！

所以，如何造就你對(duì)數(shù)學(xué)感悟的千尋之塔，首先要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能，并能靈活運(yùn)用；其次還需不斷提高能力（即空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)）．這樣，縱然“浮云”遮望眼，也能撥云見日出！

（作者單位：江門市新會(huì)華僑中學(xué)）

責(zé)任編校徐國堅(jiān)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文