如何利用化歸轉化思想進行解題

化歸轉化思想是指運用某種手段或方法把待解決的較為生疏或較為復雜的問題轉化歸結為熟悉的規范性的問題來解決的思想方法.化歸轉化思想是考生解決難題時常用的手段，也是高考數學中思想方法的重要內容.在解題實踐中，大部分試題的條件與目標的聯系不明顯，能否根據問題的特點和解題中出現的具體情況“隨機應變”，調整思路，轉換策略，是我們能否順利解題的一個關鍵因素，也是思維靈活性的一個重要體現，強化解題過程中的應變能力，有利于提高解決數學問題的思維能力和技能、技巧.因此，在平時的學習中，當同學們遇到困難時，要不停地問自己：“我能把這個問題轉化嗎？轉化為自己熟悉的問題？更一般的問題？更簡單的問題？”在轉化的過程中，就能很自然地提高自己的解題能力.下面舉例說明.

一、化定點（定值）問題為函數恒成立問題

在解析幾何中，定點（定值）問題是一個難點，常常會使考生陷入困境.如果能把定點（定值）問題轉化為函數的恒成立問題，那么問題的解決就會有了一個好的方向.

例1． 已知動圓過定點（，0），且與直線x=-相切，其中p＞0.

（I）求動圓圓心C的軌跡方程；

（II）設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為和，當，變化且+=時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標.

[分析與解]本題的難點是第二問，二條直線的傾斜角是二個銳角，且不是特殊角.利用這二個角的和是定值，可以得到一個方程，因此，要解決第二問，只有從這個方程來入手.解法如下：

（I）如圖，設M為動圓圓心，（，0）為記為F，過點M作直線x=-的垂線，垂足為N，由題意知：

｜MF｜=｜MN｜，即動點M到定點F與定直線x=-的距離相等.由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，其中F（，0）為焦點，x=-為準線，所以軌跡方程為y2=2px（p＞0）；

（II）如圖，設A（x1，y1），B（x2，y2），由題意得x1≠x2且x1，x2≠0，所以直線AB的斜率存在，設其方程為y=kx+b，顯然x1=，x2=，將y=kx+b與y2=2px（p＞0）聯立消去x，得ky2-2py+2pb=0，由韋達定理知y1+y2=，y1#8226;y2=…①

由+=，得tan=1==.將①式代入上式整理化簡可得：1=.此時，直線AB的方程可表示為y=kx+2p+2pk即k（x+2p）-（y-2p）=0，把該式看成為一個關于k的一次函數恒等于0，令x+2p=0，y-2p=0x=-2p，y=2p，所以AB直線恒過定點（-2p，2p），故當=時直線AB恒過定點（-2p，2p）.

[反思]這是一道難度較大的的試題，得到最后的直線方程含有多個變量，我們把直線的斜率看成主變量，從而把問題轉化為一次函數恒成立問題.在證明直線經過一個定點時，往往這個點落在坐標軸上，而本題沒有這個特殊性，這是使很多同學在考試中陷入困境的一個原因.在證明直線經過一個定點時，我們也常常先取特殊值，把定點先求出來，而本題也不行，這是使很多同學在考試中陷入困境的另一個原因.從本題可以看出，掌握一般的解題方法，把恒過定點的問題轉化為一次函數的恒成立問題，就達到了化難為易的效果.

二、合理利用幾何性質對問題進行轉化

在解題過程中，我們常常會遇到一些比較復雜的計算問題，如果我們能合理地利用一些幾何性質，往往能夠使計算量大為減少.

例2． 如圖，已知A（4，0）、B（0，4），從點P（2，0）射出的光線經直線AB反向后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到P點，則光線所經過的路程是（）

A． ２B． ６ C． 3D ． 2

[分析與解]直接假設在直線AB上的點C的坐標，再利用反射的性質求出在OB上的點D的坐標，最后利用二點的距離公式，把距離之和表示出來.這個思路理論上可行，但是計算能力要求很高.因此，直接求解顯然太耗時間，我們得把問題進行轉化.事實上，我們作出點P點關于直線AB的對稱點Q，點P關于直線OB的對稱點H，由對稱性，就可以把線段進行轉化，再利用二點之間線段最短的原理可知H，D，C，Q四點共線時，線段QH的長度即為所求.要求出|QH|，只需求出Q、H的坐標即可.而H點顯而易見，故只需求出點Q的坐標即可.

由上分析可知，設點Q（a，b），依題意有：

=1，+=4a=4，b=2.而顯然H（-2，0），故｜QH｜=

2，選A.

[反思]這是一道較難的選擇題，不會轉化的同學即使做出來了，也會用去太多的時間.當遇到求幾條線段之和的最值時，一定要考慮幾何性質的利用.通過對線段的轉化，把一個較為復雜的問題轉化為求一個已知點關于定直線的對稱點的簡單問題.可見轉化是多么的重要！

三、巧妙地利用數形結合，把復雜的變量求法轉化為簡潔的圖像問題

在求數學的通項公式時，往往條件會比較多，讓我們找不到解題的方向.如果把數列中的變量視為平面直角坐標系中的橫（縱）坐標，那么就可以把問題轉化為另一個問題來處理.

例3． 設等差數列｛an｝的首項a1及公差d都為整數，前n項和為Sn.若a1≥6，a11≥0，S14≤77，求所有可能的數列｛an｝的通項公式.

[分析與解]是一道條件比較多的數列題，顯然，解方程是不能把首項和公差求出來的，條件給出了三個不等式，而且還有整數的條件，由此想到能否轉化為線性規劃的整點問題來處理.

由S14≤77，a11≥0，a1≥6，得 ２a1＋１３d≤１１，a1＋１０d≥0，a1≥6.

把上式看成是關于a1，d兩個變量的關系式中的一個可行域，只須求可行域內的整點即可.在可行域中可以看出－≤d≤-.又d∈Z，故d＝－１，代入２a1＋１３d≤１１，a1＋１０d≥0，得１０≤a1≤１２.又a1∈Z，故a1＝１０，１１，１２.所以，所有可能的數列｛an｝的通項公式是an＝１1-n，an＝１２-n，an＝１３-n.

[反思]本題把一道數列題的問題轉化為一個線性規劃問題，而這樣的線性規劃問題是常見的整點問題.相對而言，解不等式組是比較困難的，而且很容易犯錯，所以，只要同學們準確地作出可行域，問題就迎刃而解了.

四、曲線與方程的等價轉化

在高三復習中，常常會有對曲線的性質進行描述的語句，因此，我們需要對這些語句進行等價轉化，把問題轉化為簡單的方程問題來處理.

例4． 已知二次函數y=g（x）的導函數的圖像與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得極小值m．設f（x）=.若曲線y=f（x）上的點Ｐ到點Q（０，２）的距離的最小值為2，求m的值.

【分析與解】本題對二次函數y=g（x）進行了多方面的描述，因此需要對這些條件用代數式來表示出來.曲線的最值也需要進行轉化，轉化為我們熟悉的最值問題來解決.

依題可設g（x）=a（x+1）2+m（a≠0），則g′（x）=2a（x+1）=2ax+2a.

又g′（x）的圖像與直線y=2x平行，∴2a＝2，a＝１.∵g（x）＝（x+1）2+m＝x2＋2x＋m＋1，∴f（x）=＝ x＋＋2.

設P（x0，y0），則｜PQ｜2=x20+（y0-2）2=x20+（x0+）2=2x20++2（m+1）≥2｜m+1｜+2（m+1）.

當且僅當2x20=時，｜PQ｜2取得最小值，即｜PQ｜取得最小值2.

當m+1＞0時，（2+2）（m+1）=4m=2-3;

當m+1＜0時，（2-2）（m+1）=4m=-3-2.

[反思]本題的困難之處就是在于最值問題的轉化，當我們把這個最值是如何得到的問題解決時，解題思路一目了然.因此，高三在復習導數與最值方面時，特別要注意條件的轉化，借助函數與方程來解決問題.

五、利用曲線的幾何性質來進行轉化

圓錐曲線問題是高三復習的難點，一旦出現在大題中，很多同學會望而生畏，原因很簡單，就是未知數多，計算量大，而且思路難找到.有時我們可以思考一下曲線的幾何性質，進行轉化一下，可能問題就變得簡單了.

例5． 已知拋物線L：x2=2py和點M（2，2），若拋物線L上圓錐存在不同兩點A、B滿足+=0．

（1）求實數p的取值范圍；

（2）當p=2時，拋物線L上是否存在異于A、B的點C，使得經過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線，若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由．

[分析與解]（第一問略）這是一道難度相當大的試題，第一，知識點繁多，包括了圓，拋物線，向量，直線等內容；第二，未知數太多，計算量大；第三，思路不清晰，不知從何處下手.先看假設的點的坐標，有三個點A，B，C，再看條件，圓與拋物線有相同的切線，可以得到二個信息，一個是切線的斜率可以用導數來表示，二是弦切角等于圓周角，而圓周角的正切值可以用點的坐標來表示.

假設存在這樣的點C滿足題意，依題意，可設A（2x1，x21），B（2x2，x22），C（2x3，x23），記圓在點C處的弦切角是，切線為直線l，從而有∠CBA=，∴KCA=，KBA=，KBC=，Kl=x3.

又+=0，故有：=2，=2.

由tan∠CBA=tan可得：=，把上式代入可得：=.

把=2，=2代入，化簡整理可得：x23+（x1-2）x3+2x1-8=0x3=-2，x3=4-x1.顯然，x3=4-x1x2=x3，故舍去.所以x3=-2.當點C的坐標是（-4，4）時，滿足題意.

[反思]這是一道高考模擬題的壓軸題，極少的同學能把它做對.但是，一道如此復雜的題利用圓的幾何性質和斜率公式竟然能使計算量大大減少，是一件很不可思議的事情.如果利用三點共圓及拋物線的性質進行去計算，那么計算量會讓很多同學望而卻步，實在復雜！如果同學們有興趣，不妨一試.

從上述幾例可以看出，轉換化歸思想就是要把復雜的困難的問題轉化為常規的熟悉的的問題來處理，最重要的就是讓問題得到簡單處理，讓計算量大為減少.同學們如果在平時的復習中，養成了一題多思的習慣，思維能力就會有很大的提高，在解題中能快捷地轉化為自己熟悉的題型來處理.

（作者單位：汕尾市華南師大附中汕尾學校）

責任編校 徐國堅

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