A． （-∞，-1） B. （-∞，-1] C. （3，+∞） D. [3，+∞）
6． 已知函數g(x)=2x，且有g(a)g(b)=2，若a>0且b>0，則ab的最大值為（）
A． B．C. 2D． 4
7. 設和是兩個不重合的平面，給出下列命題：
①若內兩條相交直線分別平行于內的兩條直線 ，則//；
②若外一條直線l與內一條直線平行，則l//；
③設∩=l，若內有一條直線垂直于l，⊥；
④直線l⊥的充要條件是l與內的兩條直線垂直．
上面的命題中，真命題的序號是（）
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④
8． 定義一種運算S=ab，運算原理如下框圖所示，則式子cos45°sin15°+sin45°cos15°的值為 （ ）
9． 已知雙曲線-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x有一個公共的焦點F，且兩曲線的一個交點為P，若PF=5，則雙曲線的漸近線方程為（）
A． x±y=0 B． x±y=0
C． x±2y=0D． 2x±y=0
10． 已知凸函數的性質定理：“若函數f（x）在區間Ｄ上是凸函數，則對于區間Ｄ內的任意x1，x2，…，xn，有：[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f（）”．若函數y=sinx在區間(0，)上是凸函數，則在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（）
A． B．C．D．
第二部分非選擇題(共100分)
二、填空題：(本大題共6小題，其中11-14題為必做題. 15、16題為選做題，任選一題完成．每小題5分，共30分，將正確答案填在答卷相應的位置上）
（一）必做題：9-13題是必做題，每道試題考生都必須作答．
11． 已知向量=(1，2)，=(x，-4)若//，則#8226;等于.
12． 若△ABC的對邊分別為a、b、c且a=1，∠B=45°，=2，則b= .
13． 若(x-a)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，且a5=56，則a0+a1+a2+…+a8=．
14． 已知正實數x，y滿足xy=1，則(+y)(+x)的最小值為.
（二）選做題：第14、15題是選做題，考生只選做一題，兩題全答的，只計算第14題的得分．
15．（坐標系與參數方程選做題）已知直線的極坐標方程為sin(+)=，則點A(2，)到這條直線的距離為.
16．（幾何證明選講選做題）如圖：已知PA是圓O的切線，切點為A，PA=2. AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB=1，則圓O的半徑R= .
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分12分）
已知=(1，sinx-1)，=（sinx+sinxcosx，sinx），f（x）=#8226;.(x∈R)
求：（1）函數f（x）的最大值和最小正周期；
（2）函數f（x）的單調遞增區間．
18．（本小題12分）如圖3，已知在側棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AC⊥BC，點D是A1B1中點.
(1)求證：平面AC1D⊥平面A1ABB1;
(2)若AC1與平面A1ABB1所成角的正弦值為，求二面角D-AC1-A1的余弦值.
19．（本小題12分）
A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗．每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效．若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組．設每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為．
(Ⅰ)求一個試驗組為甲類組的概率；
(Ⅱ) 觀察3個試驗組，用表示這3個試驗組中甲類組的個數，求的分布列和數學期望．
20．（本小題滿分12分）
已知定點E(-1，0)，F(1，0)，動點A滿足AE=4，線段AF的垂直平分線交AE于點M．
（1）求點M的軌跡C1的方程；
（2）拋物線C2：y2=4x與C1在第一象限交于點P，直線PF交拋物線于另一個點Q，求拋物線的POQ弧上的點R到直線PQ的距離的最大值．
21．（本題滿分13分）
設數列{an}是首項為a1(a1>0)，公差為2的等差數列，其前n項和為Sn，且，，成等差數列.
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）記bn=的前n項和為Tn，求Tn.
22．（本題滿分14分）
已知三次函數f （x）=ax3+bx2+cx(a，b，c∈R).
（Ⅰ）若函數f （x）過點(-1，2)且在點(1，f （1）)
處的切線方程為y+2=0，求函數f （x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若對于區間[-3，2]上任意兩個自變量的值x1，x2都有f （x1）-f （x2）≤t，求實數的最小值；
（Ⅲ）當-1≤x≤1時，f ′（x）≤1，試求a的最大值，并求a取得最大值時f （x）的表達式.
2011年高考廣東數學（理科）仿真試題
參考答案
一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
二、 填空題（每小題5分，共25分，15、16題為選做題）
11. -10;12. 5;13. 28;14. 4;15. ;16. .
三、解答題
17．（本小題滿分12分）
解：（1）f（x）=#8226;=sinx+sinxcosx+sin2x-sinx
…………2分
=sin(2x-)+， …………4分
∴x=k+(k∈Z)時，f（x）取得最大值，…………6分
最小正周期為. …………8分
（2）當2k-≤2x-≤2k+，k∈Z…10分
即k-≤x≤k+，k∈Z時函數為增函數， …………11分
∴原函數的遞增區間是[k-，k+](k∈Z).…………12分
18. （1）據題意A1C1=B1C1，且D為A1B1中點，∴ C1D⊥A1B1，又BB1⊥面A1B1C1， C1D 面A1B1C1，∴ BB1⊥C1D， ∴ C1D⊥面A1ABB1. …………2分
又C1D 面AC1D，
∴面AC1D⊥平面A1ABB1．……………4分
（2）由（1）知C1D⊥面A1ABB1，
∴∠ C1AD為AC1與平面A1ABB1所成的角．…6分
設AC=CB=1，AA1=x，則AC1=，C1D=，sin∠ C1AD===，∴x=2.…………8分
又因為AC、CB、CC1兩兩互相垂直，所以可建立如圖所示的坐標系：
取面A1C1A的法向量為==(0，1，0)，設面ADC1的法向量為=(x，y，z)，又C1(0，0，2)，A(1，0，0)，D(，，2)，
∴=(1，0，-2)，=(，，0)，#8226;=0， ∴x-2z=0．
#8226;=0 ，∴x+y=0 ， 取z=1，則x=2，y=-2， ∴=(2，-2，1)．
cos〈，〉=＝＝－.………11分
又D在面A1AC1上的射影為A1C1的中點，故二面角D-AC1-A1為銳角，設為 ，所以cos= .…………………12分
19.(1)設Ai表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小鼠有i只” ， i=0，1，2，
Bi表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小鼠有i只” ， i=0，1，2， …………………2分
依題意有: P(A1)=2×× =，P(A2)=×=.
P（B0）=×=，P(B1)=2××=，……4分
所求概率為: P=P(B0#8226;A1)+P(B0#8226;A2)+P(B1#8226;A2)
=×+×+×=．………………6分
(Ⅱ)ξ的可能值為0，1，2，3且ξ~B(3，).
P(ξ=0)=()3=，
P(ξ=1)=C31××()2=，
P(ξ=2)=C32×()2×=，
P(ξ=3)=()3=．…………………10分
ξ的分布列為:
數學期望: Eξ=3×=.……………………12分
20. （1）依題意有ME+MF＝ME+MA＝AE＝4>EF＝2，
∴點M的軌跡是以E，F為焦點的橢圓．……3分
∵2a=4，2c=2，∴a=2，b=，
故所求點M的軌跡方程是+=1.………6分
（2）聯立方程y2=4x，+=13x2+16x-12=0，
解得x=或x=-6（舍去）．
將x=代入拋物線方程得y=，
∴點P的坐標為P(，)．……………8分
∴ kPF=-2，于是可得PQ所在直線的方程為：2x+y-2=0．………………………………9分
設PQ的平行線方程為：2x+y+t=0，
由y2=4x，2x+y+t=024x2+4(-t)x+t2=0．
令△=16(t-1)2-96t2=0t=．………11分
∵R到PQ的最大距離即為直線2x+y+=0與PQ之間的距離，故所求為d==． ………………………………13分
21．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵S1=a1，S2=a1+a2=2a1+2， ………2分
由，，成等差數列得，2=+，即2=+，
解得a1=1，故an=2n-1．…………………4分
（Ⅱ）bn===(2n-1)()n，……………5分
法1：Tn=1×()1+3×()2+5×()3+…+(2n-1)×()n……………………………… ①
①×，得Tn=1×()2+3×()3+5×()4+…+(2n-3)×()n+(2n-1)×()n+1………………………………②
①-②，得Tn=+2×()2+2×()3+…+2×()n-(2n-1)×()n+1=2×--(2n-1)×()n+1=--，………………………………10分
∴Tn=3--=3-．………………12分
法2：bn===n#8226;-，
設Fn=，記f（x）=(kxk-1)，則f（x）=(xk)′=(xk)′=()′=，∴Fn=4-(n+2)()n-1，…………………………10分
故Ｔn=Fn-=4-(n+2)#8226;-1+=3-．……………………12分
22．（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵函數f（x）過點(-1，2)，∴f（-1）=-a+b-c=2，………………………………①
又 f（x）=3ax2+2bx+c，函數 f（x）在點(1， f（1）)處的切線方程為y+2=0，
∴ f （1）=-2， f （1）=0， ∴a+b+c=-2，3a+2b+c=0. ………………②
由①和②解得a=1，b=0，c=-3，故 f（x）=x3-3x．……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）f ′（x）=3x2-3，令f ′（x）=0，解得x=±1，
∵ f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴在區間[-3，2]上fmax（x）=2，fmin（x）=-18，
∴對于區間[-3，2]上任意兩個自變量的值x1，x2，f（x1）-f（x2）≤20，
∴t≥20，從而t的最小值為20．……………8分
（Ⅲ）∵ f ′（x）＝3ax2+2bx+c，則f ′（0）=c，f ′（-1）=3a-2b+cf ′（1）=3a+2b+c，，可得6a=f ′（-1）+f ′（1）-2f ′（0）．
∵當-1≤x≤1時，f ′（x）≤1，∴f ′（-1）≤1，f ′（0）≤1，f ′（1）≤1，
∴6a=f ′（-1）+f ′（1）-2f ′（0）≤f ′（-1）+f ′（1）+2f ′（0）≤4，
∴a≤，故a的最大值為．
當a=時，f ′（0）=c=1，f ′（-1）=2-2b+c=1，f ′（1）=2+2b+c=1，解得b=0，c=-1，
∴a取得最大值時f（x）=x3-x． ……………14分
（作者單位：劉會金：光明新區教育科學研究管理中心；陳興旺：光明新區高級中學）
責任編校徐國堅
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文
