2011年高考函數\\導數命題預測

函數，貫穿中學數學的一條主線，在中學數學中有著非凡的地位.高考重視它是正常的，也是應該的.又加上函數具有抽象性、靈活性、應用性.僅這三大“性”，就可以設計出無窮多道既有“華麗外表”又具“豐富內涵”的好題.看看2010年全國各地19套理科試題，在解答中沒有函數的只有廣東與上海.這從另一個側面又告訴我們，2011年在這一知識塊上，可能會有“大動作”.因此，在接近高考的關鍵時刻，我提醒你：一定要將函數的復習提到日程上來.下面是對2011年高考函數、導數的命題進行預測，你一定要認真地讀一讀，相信它對你一定有幫助.

預測1．結合導數的幾何意義考查基礎知識的熟練性

基礎知識的掌握與基本技能的培養是中學數學教學的中心環節，也是中學數學教學的重要任務.因此，對基礎知識與基本技能的考查，也理所當然的成為焦點.結合導數的幾何意義考查基礎知識的熟練性正是考查基礎知識與基本技能的體現.此題為中檔偏上試題，試卷排列第三或第四，難度系數在左、右，是廣大考生普遍得分之題.

樣題1 已知函數f（x）=ｅx+ax，g(x)=ｅxlnx.

（I）設曲線y=f（x)在點（１， f（1））處的切線為l，若l與圓（x－１）２＋y２＝相切，求a的值；

（II）當a＝－１時，是否存在實數x０∈［l，ｅ］，使曲線C：y=g(x)-f(x)在點x=x0處的切線與y軸垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由.

解析 （I）由f ′(x)=ｅx+a，因此，過點（１，f（1））的切線方程為y－（ｅ＋a）＝（ｅ＋a）（x－１），即（ｅ＋a）x－y＝０.

又＝a＝－ｅ+1或a＝－ｅ－1.

（II）依題意，曲線C的方程為y＝ｅxlnx－ｅx+x.令Ｍ(x)＝ｅxlnx－ｅx+x，則Ｍ ′(x)＝+ｅxlnx－ｅx+1＝ｅx（+lnx－1）+1.

設h(x)=+lnx－1，則h ′(x)=-+=.

當x0∈［l，ｅ］時，h ′(x)≥0，此時h(x)為增函數，因此h(x)在區間［l，ｅ］上的最小值為h(1)=0即+lnx-1≥0；

當x0∈［l，ｅ］時，ｅx0 >0，+lnx0-1≥0，所以Ｍ ′(x0)=ｅx0 （+lnx0-1）+1>0.

曲線y=ｅx+ax-ｅxlnx在點x=x0處的切線與y軸垂直等價于方程Ｍ ′(x0)=0有實數解.由于Ｍ ′(x0)>0，方程Ｍ ′(x0)=0無實數解.

故不存在實數x0∈［l，ｅ］，使曲線C：y=g(x)-f(x)在點x=x0處的切線與y軸垂直.

點評 本題屬于中檔偏上型試題.第一問百分之八十的考生是可以得分的.第二問的思路不難，其實就是判斷方程Ｍ ′(x0)=0有沒有實數根，只是在判斷的過程中有一定的靈活性，這方面正和廣東近年的高考試題相接近“藏剛于柔之中”.

預測2． 結合實際問題，考查應用函數與導數綜合應用能力

實際應用題是近年高考命題的熱點，2010年廣東理科的分數高達34分.究其原因是應用題可以較好的考查考生分析問題與解決問題的能力、考查考生數學知識的應用能力.建立在函數應用的基礎上，設計綜合性試題，將函數、導數、不等式融為一體，在求解方法上，既可以利用導數，也可以通過不等式，此類問題值得我們高度關注.

樣題2 據環保部門測定，某處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數為k（k＞０）．現已知相距18km的A，B，兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為a，b，它們連線上任意一點C處的污染指數y等于兩化工廠對該處的污染指數之和．設AC=x（km）．

（1）試將y表示為x的函數；

（2）若a=1，且x=6時，y取得最小值，試求b的值．

解析 （1）由題意可知，點C受A污染源的污染指數為，點C受B污染源的污染指數為，其中k為比例系數，且k>0．

那么，點C處的污染指數為y=+（０

（2）因為a=1，所以y=+，那么y′=k[+]，令y′=0，得x=.

由于x∈（０，）時，y′<0，此時，函數遞減；x∈（，18）時，y′>0，此時，函數遞增；顯然，當x=時，y取得最小值.

結合題意可知=6b=8，經驗證符合題意．

所以，污染源B的污染強度b的值為8．

點評 本題的第一問難度不大，建立在條件的基礎上，容易寫出函數的解析式.第二問是導數的簡單應用，只要注重常規步驟，一般都能較好地完成求解.此題屬于中檔題，大多數考生在此題中可以得到較為理想的分數.

預測3． 結合“三個二次”考查基本初等函數的性質及應用

一元二次方程、一元二次不等式與二次函數簡稱“三個二次”，它們互相聯系、互相滲透組成了一個特殊的“知識板塊”，這個“知識板塊”的內容異常豐富，技能、技巧變化多端.因此，它成了高考命題的難點、熱點.

樣題3 規定：max(a，b，c)與min(a，b，c)分別表示a，b，c中的最大數與最小數，若正系數二次函數 f（x）=ax2+bx+c的圖像與x軸有公共點

試證：（1）max(a，b，c)≥f（1）；（2）min(a，b，c）≤f（1）.

證明 由題意知a，b，c>0，f（1）=a+b+c，△=b2-4ac≥0.

（1）若b≥f（1），結論顯然成立；下面證b

為書寫方便，記f（1）=a+b+c=d.由b2-4ac≥0.可知ac≤d，所以a2+d2≥a2+ac=a(a+c)>ad，即(a-d)(a-d)>0，解得ad.若ad，c>d.

因此，必有a>f（1）或b>f（1）或c>f（1），于是max(a，b，c)≥f（1）.

（2）若a≤f（1），結論顯然成立；下面證明a>f（1）時，結論也成立：

因為b+c=d-acd，所以c+

因此，必有a≤f（1）或c

點評 本題是一道典型的關于“三個二次”方面的創新題，證明過程中貫穿著分類與整合思想，且推理中涉及到的邏輯知識非常多.正確理解新定義max(a，b，c)與min(a，b，c)非常關鍵，而且多次利用了邏輯中的“p或q”為真（如，x或y>或z>，于是max(x，y，z)≥）.顯然，對于訓練證明技巧，發展邏輯推理的思維能力，掌握證明的思路都很有幫助.

預測4． 結合最值或范圍考查導數的應用與技巧

函數的最值與變量的變化范圍是函數與導數的基礎內容，也是導數在函數中應用的重要內容.近年圍繞這方面的高考命題實在太多了.僅2010年全國38套試卷中有二十多套都存在著借助導數，考查函數的最值與變量的變化范圍的試題.這個“頻率”足以讓我們對這一內容刮目相看.

樣題4 已知函數f（x）=x2+a｜lnx-1｜，g(x)=x｜x-a｜+2-2ln2，a>0.

（Ⅰ）當a＝１時，求函數f（x）在區間［l，ｅ］上的最大值；

（Ⅱ）若f（x）≥a，x∈[1，＋∞）恒成立，求a的取值范圍；

（Ⅲ）對任意x1∈[1，＋∞），總存在惟一的x2∈[2，＋∞），使得f（x1）=g(x2)成立， 求a的取值范圍.

解析 （Ⅰ）當a=1，x∈[1，ｅ]時f （x）=x2-lnx+1，f ′（x）=2x-≥f ′（1）=1，所以f（x）在[1，ｅ]遞增，所以f（x）max=f（ｅ）=ｅ2.

（Ⅱ）①當x≥ｅ時，f（x）=x2+alnx-a，∵a>0，f ′（x）>0恒成立， ∴ f（x）在[ｅ，+∞）上增函數，故當x＝ｅ時，ymin=f（ｅ）=ｅ2.

②當1≤x<ｅ時，f（x）=x2-alnx+a，f ′（x）=2x-=

（x＋）（x－），

（i）當≤１，即０＜a≤２時， f（x）在區間[1，ｅ）上為增函數，當x＝１時，ymin=１＋a，且此時f（１）＜f（ｅ）＝ｅ2；

(ii)當１＜＜ｅ即２＜a＜２ｅ2時， f（x）在區間[1，）上為減函數，在（，ｅ］上為增函數，故當x＝時，ymin=－ln，且此時f（）＜f（ｅ）＝ｅ2；

(iii)當≥ｅ，即a ≥２ｅ2時，f（x）在區間[1，e]上為減函數，故當x＝ｅ時，ymin=f（ｅ）=ｅ2.

綜上所述，函數y＝f（x）的最小值為ymin=

1+a，02ｅ2ｅ2所以當1+a≥a時，得0

綜上，所求a的取值范圍是0

（Ⅲ） ①當0

②當1<≤2時，g(x)在[2，＋∞）先減后增，由g(2)=2a-2-2ln2<-ln，得+ln-2-2ln2<0， 設h（t）=t+tlnt-2-2ln2（t=），h′（t）=2+lnt>0（1

所以h（t）單調遞增且h（2）=0，所以h（t）<0恒成立，得2

③當2<<ｅ2時，f（x）在[2，]遞增，在[，a]遞減，在[a，＋∞）遞增，所以由g()<-ln，

得-+ln+2-2ln2<0，設m（t）=t2-3t+tln+2-2ln2，

則m′（t）=2t-2+lnt>0（t∈（2，ｅ2）），所以遞增m（t），且m（2）=0，所以m（t）>0恒成立，無解；

④ 當a>2ｅ2時，f（x）在[2，]遞增，在[，a]遞減，在[a，＋∞）遞增，所以由g()<ｅ得-ｅ2+2-2ln2<0無解.

綜上，所求a的取值范圍是a∈[-ln2，4）.

點評 本題有難度，也有梯度.第一問百分之八十五的考生都應該會做；第二問其實是函數的最值，但求解時，要注意分類討論思想的應用；第三問是方程問題，求解時，完全通過函數的觀點、數形結合的觀點進行，其中，分類討論思想依然是思路的引領者.

預測5． 結合新定義考查創新意識與應用新知識的能力

以函數的主干知識為依托，命制新背景、新定義、新運算、新性質等的創新題型，考查考生創新能力與創新意識.由于函數本身具有抽象性與靈活性，又加上創新問題還存在著捕捉信息與處理信息的能力.因此，函數創新題有一定的難度，很多考生望而生畏.

樣題5 設f（x）是定義在[0，1]上的函數，若存在x*∈（０，１），使f（x）在[0，x*]上單調遞增，在[x*，1]上單調遞減，則稱f（x）為[0，1]上的單峰函數，x*為峰點，包含峰點的區間為含峰區間．

對任意的[0，1]上的單峰函數f（x），下面研究縮短其含峰區間長度的方法．

(Ⅰ)證明：對任意的x1，x2∈（０，１），x1

(Ⅱ)對給定的r（０

(Ⅲ)選取x1，x2∈（０，１），x1

解析 （I）當f（x1）≥f（x2）時，假設x*（0，x2），則x1f（x1），這與f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x*∈（０，x2），即（０，x2）是含峰區間.同理可證：當f（x1）≤f（x2）時，（x1，1）是含峰區間.

（II）當f（x1）≥f（x2）時，含峰區間的長度為l1=x2；當f（x1）≤f（x2）時，含峰區間的長度為l2=1-x1；由題意得x2≤0.5+r，1-x1≤0.5+r，于是1+x2-x1≤1+2r，即x2-x1≤2r.又x2-x1≥2r所以x2-x1=2r，那么x1=0.5-r， x2=0.5+r.

顯然，存在x1，x2使得所確定的含峰區間的長度不大于0.5+r.

（III）對先選擇的x1，x2，x1

在第一次確定的含峰區間為（０，x2）的情況下，x3的取值應滿足x3+x1=x2，x2=1-x1，x3=1-2x1，當x1>x3時，含峰區間的長度為x1；由條件x1-x3≥0.02，得x1≥0.34因此，為了將含峰區間的長度縮短到0.34，只要取x1=0.34 ，x2=0.66，x3=0.32.

點評 本題設計的是一道研究性實驗題，我們知道新課標教材，對考生的研究性學習提到了很重要的位置.考生的探究能力、實踐能力、獵取新知識的能力及應用能力已引起教育界的廣泛關注.但如何設計試題來考查這些能力，也確實讓命題專家費了不少心思.此題也許會讓他們眼前一亮，“眾里尋你千百度”，真是太好啦！讓我們再仔細欣賞一下本題的設計，首先給出了“單峰”函數及“含峰區間”的定義，然后從研究縮短“含峰區間”的方法入手，到探求“含峰區間”的長度，最后求區間變化過程中的各個量的值.層層深入、步步升高，對高層次理性思維、創新意識進行了綜合考查，起到了很好的選拔功能.

預測6． 函數、導數、不等式聯合設計壓軸題

首先，函數、導數、不等式是“天生”的密友，它們長期“合作”產生過很多非常優秀的試題，給很多參加過高考的人都留下深刻的印象.其次，函數的抽象性、不等式的靈活性，也是產生難題的“樂土”；第三，從三者占教材的內容上也可以看出命一道解答題是必然的.此題最合理的結構是三問，這樣可以保證不同基礎的同學面對此題都有事可做.類似題如：

樣題6 已知函數，f（x）=x-1-alnx（a∈R）．

(1)若曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，求實數a的值；

(2)求證：f（x）≥0恒成立的充要條件是a=1；

(3)若a<0，且對任意x1，x2∈（0，1]都有｜ f（x1）-f（x2）｜≤4｜-｜，求實數a的取值范圍．

解析 （1）因為f ′（x）=1-，所以f ′（x1）=1-a，得曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率k=1-a為.由已知在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0，從而1-a=3a=-2.

（2）充分性：

當a=1時，f（x）=1-lnx，f ′（x）=1-=.所以，當x>1時，f ′（x）>0所以函數f（x）在（1，＋∞）上是增函數;當0

必要性：由f ′（x）=1-=，其中a>0.

（i）當a≤0時，f ′（x）>0恒成立，所以函數f（x）在（0，+∞）上是增函數.

而f（1）=0，所以當x∈（0，1）時，f（x）<0與f ′（x）≥0恒成立矛盾，

所以a≤0不滿足題意.

（ii）當a>0時，因為，當x>a時， f（x）>0，所以函數f（x）在（a，＋∞）上是增函數；

當0

因為f（1）=0，所以當a≠1時，f（a）

綜上，f（x）≥0恒成立的充要條件是a=1.

（3）由（2）可知，當a<0時，函數f（x）在（0，1]上是增函數，又函數f（x）=在（0，1]上是減函數，不妨設0

所以｜ f（x1）-f（x2）｜≤4｜-｜等價于f（x2）-f（x1）≤4(-)，即f（x2）-≤f（x1）+.

設h（x）=f（x）-=x-1-alnx-，則f（x2）-≤f（x1）+等價于h（x）在（0，1）上是減函數.

因為h′（x）=1--=，所以x2-ax-4≤0在x∈（0，1]時恒成立，即a≥x-在x∈（0，1]時恒成立，即a不小于y=x-在區間（0，1]內的最大值.而函數y=x-在區間（0，1]是增函數，所以函數y=x-的最大值為-3.

所以a≥-3，又a<0，故實數a的取值范圍為[-3，0）.

點評 本題頗具特色，起點低、聯系廣、跨度大.第一問可以用“很簡單”來形容，第二問將充要條件加入進來，實際上是證明一個原命題與逆命題都成立的命題，但必須說清什么是充分條件、什么是必要條件.第三問過程并不復雜，但寫出這些過程，并非易事，首先要對原不等式進行變形，然后引入函數，最后結合最值產生結論，是一個“短小精悍”的絕妙試題，想拿下它，沒有雄厚的數學基本功是肯定不行的.

函數，中學數學的重要內容.在這片“廣闊天地”中誕生了無數道好題，它讓無數高考先輩們興奮，也讓無數高考先輩們無奈，你呢？函數，不同于其它章節，也不同于其它的知識點或知識塊.也許它將是你人生發生變化的關鍵內容，希望看過這篇文章之后能帶給你好運.

（作者單位：中山市第一中學）

責任編校徐國堅

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文