貝葉斯下的市場風險資產損失計量

摘要：目前VaR模型是國際上通行的綜合衡量和管理風險的計量技術，但當分布是非正態分布或是不連續的時候VaR就沒有穩定性。在應用VaR以及CVaR的基本原理，利用具有尖峰后尾特征的對數正態分布并結合貝葉斯風險，對參數通過先驗分布和后驗分布進行修正得到市場風險資產CVaR以及VaR的計算公式，對其進行比較分析，將其與pareto分布下的市場風險VaR值進行比較。研究表明：對數正態分布下市場風險資產的損失率比損失率呈pareto分布的風險損失顯現出更好的擬合特征，能夠描述市場風險資產的隨機性最大損失，以及CvaR計量下的市場風險資產損失比VaR計量下的有更好的尾部特征，更加符合風險的充分性。

關鍵詞:VaR;CVaR; 對數正態分布;貝葉斯估計; 市場風險;先驗分布;后驗分布

中圖分類號：F723 文獻標識碼：A

Bayesian Loss Measurement of Assets under Market Risk

WANG Han-bin， FAN Li-na， YANG Xin

(School of Economics and Management， Taiyuan University of Technology， Taiyuan030024，China)

Abstract：Recently， VAR model is the popular calculation method on measuring and managing risk in the whole world. But VaR is unstable when the distribution is non-normal or discontinuous. In this paper， based on the theory of VaR and CVaR principles， meanwhile making a good use of the Log-normal distribution′s peak tail characteristics with Bayesian methods to calculate the amendment parameters through the posterior distribution and the a priori distribution theory， then we can get the formula of the VaR and CvaR′s calculating method. Then we compare VaR and CvaR based on their characteristic .The results of examination show that VAR under the lognormal distribution has a better risk characteristic than VAR under pareto distribution， has a better description on the random market risk， and the market risk ，based on CVaR， which is extremly suitable to describe the sufficiency of the risk， has a better tail characteristic and sufficiency of the risk than VaR.

Key words:VaR; CvaR; Log-normal distribution; Bayesian; Market Risk; prior distribution; posterior distribution

隨著社會經濟的全球化迅猛發展，技術的進步以及觀念的更新，人們在從事各種活動過程中所面臨的可能會影響到結果的各種不確定性事件的發生率也在逐日增加，從巴林銀行，安然公司的倒閉到現如今的雷曼，美林等大型金融企業的倒臺，導致各行各業都將注意力集中到市場風險計量和管理上。目前基于市場價值測量法的風險價值方法（Value At Risk），被稱為風險管理的VaR革命，已經成為各國金融市場風險計量中的主流方法。研究VaR 以及VCaR的代表性文獻有：茆詩松等給出的BVaR以及BCVaR等的概念以及性質和特點等的理論性研究［7］ ；penza和bansal系統給出了基于市場風險的風險價值計量方法的定義、原理和方法［1］；劉小茂，田立對于VaR 和VCaR進行了簡要的對比研究［3］等等，這些研究都是在假設收益分布是服從正態分布的情況下給出了VaR和VCaR的計算公式，但近年來國內外的研究者通過數據檢驗以及各種實證研究發現在很多極端的情況下尾部的高風險（如巨額損失）發生的概率要高于標準正態分布下風險的概率，且這些事件的發生很可能會導致公司破產，也即是說市場風險存在尖峰后尾的特征，同時發現當收益分布是非正態分布或不連續的時候，VaR就缺少穩定性；當計量中涉及的數據量比較大的時候，VaR的計算就變得比較困難；當收益分布的維數比較高的時候，VaR對于風險的計量就變得基本不可行，目前只有錢藝平等在市場風險資產損失服從Pareto分布下對資產損失進行了VaR計量，同時對市場風險的尖峰后尾通過Pareto分布進行了描述并且給出了VaR的具體模型；對于CvaR與VaR的比較研究已經比較成熟，且條件風險價值［9］（CVaR）已經被學術界公認為是比VaR更合理有效的現代風險管理方法。本文運用VaR以及CVaR的計算原理，利用具有尖峰后尾特征的對數正態分布，同時通過貝葉斯方法對對數正態分布下資產損失的各個參數估計進行修正，使之更能反映資產損失市場風險的實際情況，并給出修正后CVaR以及VaR計量的具體模型。這些研究對于資產損失的市場風險計量和管理具有重要的理論和指導意義。

一、VaR與CVaR的原理

（一）風險計量的三個基本要素

1.置信區間。置信區間的選擇主要是依賴于對VaR驗證的需要，內部風險資本需求，監管要求以及在各個機構之間進行比較的需要，一般都是在99%的置信度下計算VaR，摩根集團是在95%的置信度下計算VaR。

2.資產收益率的分布。應用VaR時，最重要的是R分布的假設，不同的資產收益率的假設分布，即使在相同的置信水平下也對應著不同的VaR值。

3.資產持有期的長度。資產持有期是計算VaR的時間范圍，顯然資產的持有期越長資產組合收益率的波動性就越大。而具體的持有期長度需要考慮資產的交易性，管理者的風險偏好，公司的資本狀況，風險文化等因素［5］。

（二）VaR與CVaR基本原理

VaR的直觀解釋就是“處于風險中的價值”，它是在一定的置信水平下，由于利率，匯率等市場風險要素發生的變化，使得某一資產組合或金融資產在未來特定的一段時間內面臨的最大可能損失［6］，即：P(ΔPVaR)=1-α（1）

其中Δp為資產在持有期內的損失，α為置信水平，VaR置信水平α下的風險價值。

由VaR的定義，設w0為持有期初資產組合的價值，由于計算的是特定持有期的損失，為了使得VaR大于0，假設R為持有期內的資產損失率，當R的概率密度函數f(x)服從正態分布時，滿足方差——協方差法的假設，則在給定的置信水平α下的資產組合的VaR就可以表示為：

對于VaR來說當損失分布是非正態分布或不連續的時候，VaR沒有穩定性；當數據量比較大的時候，VaR的計算就變得比較困難；當分布的維數比較高的時候，VaR對于風險的計量及變得不可行，針對VaR的這些不足學者們提出了CVaR這一概念。CVaR是指在一定的置信水平下，損失超過VaR的尾部事件的期望值，也就是在某段時間，一定置信水平下，資產的市場風險損失超過VaR計量值時的平均損失。它反映了損失超過VaR閾值時可能遭受的平均損失大小。具體可以表示為［10］：

當且僅當相互獨立時①式等號成立。

由①式可以推出無論資產損失率分布是否呈現正態分布，CVaR都是具有有一致性的風險度量，且其具有次可加性，能夠滿足在分布呈高維下VaR處理不足的情況，同時能夠簡單明了的說明對于任意幾個單項投資X，Y，Z…來說，其投資組合X+Y+Z+…+…的風險損失明顯小于單項投資損失之和，這就和經典分散投資理論相吻合。

由②式可以推斷出CVaR具有凸性，它可以簡單有效的計量當數據量很大時的風險損失情況從而彌補了在計量數據量較大時VaR計量帶來的不足。此外，當損失分布呈正態分布時容易證明其CVaR，VaR以及均值—方差理論在計量風險損失方面具有相同的最優解。

從以上的說明中可以看出在計量風險損失方面CVaR比VaR具有更好的適用性。

（三）VaR與CVaR的數學關聯性

通過計算兩者之間的算術表達等式可以進一步的說明VaR與CVaR之間的關系。

二、貝葉斯方法在損失分布中的應用

現在我們一般應用的風險管理模型，常常采用計算機模擬的方法去擬合損失分布，常存在比較嚴重的失真現象，即擬合的分布與實際的情況之間總是會存在或多或少的差異，比如以前我們對于市場風險的資產損失分布是假設其服從正態分布的，但隨著各種較大風險的發生通過研究逐漸發現其分布實際是具有后尾特征的（其發生風險的概率要遠遠大于正態分布假設下認定的概率）。因此為了提高準確性，我們就要利用各種有用的信息來提高精度。

本文先利用歷史數據對各個參數進行正態擬合，得到正態分布下各個參數的修正值，并且以此作為各個參數的先驗分布，然后通過歷史樣本數據對其各個參數再進行貝葉斯修正，得到各參數的后驗分布，進而就能得到各參數比較精確的估計值［7-8］。

三、對數正態分布的引入及其具體應用

（一）對數正態分布的引入

對于由市場風險引起的風險損失R，已有學術著作運用貝塔函數擬合方法和蒙特卡洛模擬方法對商業銀行的損失分布進行研究，得到損失分布的尾部特征是具有厚尾現象的，同時近年來國內外的研究者通過數據檢驗和實證研究發現高風險（小概率事件）發生的概率要高于標準正態分布下風險的發生概率，嚴重情況下有可能導致導致公司破產，由此不難推出由市場風險引起的損失分布也具有尖峰后尾現象。我們知道對數正態分布是具有尖峰后尾現象的，因此本文通過假設市場風險的損失分布是服從對數正態分布，利用貝葉斯方法充分利用已知的先驗信息然后利用抽樣獲得的信息推斷出相關參數的后驗分布，這樣就能充分利用各種有用的信息來提高擬合精度，從而得到更加符合實際的結果。

四、實例應用

本文通過一個具體的實例來說明如何利用已知的歷史數據來用文章中所闡述的方法得到VaR以及CVaR(所引用的數據來自于人大統計與精算學報的2009年第5期中80頁中所用到的數據［5］)。

五、結論與展望

目前很多國家都在積極的使用各種方法對市場風險進行計量，其中VaR已經成為了主流的計量方法，但近幾年來隨著研究的進一步深入，學者們極力推薦在市場風險計量方面比VaR更加有效的CVaR。由于中國的金融市場還處在變革和繼續發展以及完善的階段，中國金融監管部門力推金融機構采用VaR模型來規避金融市場風險，VaR模型是國際上通用的衡量市場風險的工具，對于各個國家的風險管理有著重大的借鑒和現實意義。

本文通過對對數正態分布的兩個參數進行貝葉斯修正后，利用其厚尾特征對資產損失的市場風險損失率進行了詳細的描述，并相應的得出了市場風險資產VaR和CVaR的估計值，以及在損失率呈對數正態分布情況下VaR和以及CVaR它們與置信水平之間的關系，同時通過分析知對數正態分布對于資產損失的市場風險計量比pareto分布在市場風險的度量上具有更好的擬合性，在風險計量方面CVaR比VaR在風險方面有更好的充分性，適用性以及實用性。但無論是那一種計量方法都只是在一定置信度內對市場風險的最大損失或尾部事件發生的平均可能性進行評估，忽視了置信度外的超額損失，另外利用貝葉斯方法修正得到的參數值也只是使得其更加接近于實際，并不能達到完全一致，因此準確預測資產的市場風險，還有待于進一步的探討。

參考文獻：

［1］ Morgan J P.Risk metrics:technical document［M］．New York:J P Morgan，Inc，1997:105-148.

［2］ Jorion P.Value at risk:The new benchmark for measuring financial risk［M］．New York:The McGraw-Hill Companies，Inc，1997:97-106.

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［5］ 錢藝平，林祥.市場風險資產損失服從Pareto分布的VaR計量［J］．統計與精算，2009（10）：77-81.

［6］ 謝佳利，夏師，揚善朝.VAR在基金風險評價中的應用［J］．統計與決策，2009（1）：133-134.

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［8］ 譚德俊.基于貝葉斯方法的信用風險損失分布研究［J］．統計與精算2009，1:69-71.

［9］ 謝瀟衡，何幼樺.一類金融時間序列VaR和CvaR的非參數計算［J］．上海大學學報，2007（6）：720-726.

［10］劉俊山.基于風險測度理論的VaR與CvaR的比較研究［J］．數量經濟技術經濟研究，2007（3）：125-131.

（責任編輯：陳樹明）