談談勾股定理的逆定理的證明

勾股定理及其逆定理是初中數學中的兩個最重要定理，對這兩個定理的證明，教材要求學生能夠理解并掌握.勾股定理(國外稱畢達哥拉斯定理)的證法眾多，在E.S.Loomis的《畢達哥拉斯命題》第二版(1940年)中，搜集了這個定理的證明方法多達370種，并且仍有新的證法不斷產生.然而勾股定理的逆定理的證法則要少得多，一些數學書刊中介紹勾股定理的逆定理證法的文章也較少見，從中國期刊全文數據庫搜索題名為“勾股定理的逆定理”，結果顯示只有6篇文章涉及勾股定理的逆定理的證明.據筆者所知大部分初中數學教師對勾股定理的逆定理的證明思考的相當有限，以至他們所掌握的證明方法也就局限于教材和教參中所介紹的證法．

筆者曾對勾股定理的證法進行多方位探索，發表過多篇文章介紹勾股定理的各種證法(見文［1］—［3］)，但發現在勾股定理的眾多證法中只有極少數證法經過“改造”可以用于證明它的逆定理.以下是筆者對勾股定理的逆定理證明方法的思考和整理，希望此舉能拋磚引玉，引起廣大數學教師的研究興趣并有更多更好的證法問世．

1現行教材中的證法

在不同版本的現行教材中， 勾股定理的逆定理證明在教材中的安排也不一樣，如浙教版安排在八年級下冊，北師大版安排在九年級上冊.但證法都相同，即先構造出一個適合某些條件的直角三角形，然后證明所構造出的直角三角形與原三角形全等，而且這種證法在歷次教材改革中都被保留了下來，堪稱“經典證法”．

勾股定理的逆定理 如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．

已知: 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c， 且a2+b2=c2．

求證: △ABC是直角三角形．

證明 如圖1，作Rt△A′B′C′，使∠C′=Rt∠，B′C′=a，A′C′=b，記A′B′為c′，則 a2+b2=c′2.

因為a2+b2=c2， 所以c2=c′2.

又因為c′＞0， c＞0，所以c′=c.

又因為BC=a=B′C′， AC=b=A′C′，

所以△ABC≌△A′B′C′(SSS)，

所以∠C=∠C′=Rt∠，即△ABC是直角三角形．

評析 在現行浙教版教材中， 勾股定理及其逆定理安排在八年級上冊第2章“特殊三角形”第5節“直角三角形”中進行教學，對于逆定理教材上有一個說明:“本冊涉及一些結論的詳細說明過程需要用到更多的數學知識，我們將在以后介紹”.但八年級下冊第5章第7節所給出的證法(即上述證法)，并沒有用到“更多的數學知識”，因為早在七年級下冊第1章第5節就已給出三角形全等的判定條件.為了減輕學生的學習負擔或考慮學生的可接受性，先給出勾股定理的逆定理的結論以后再給出它的證明也未嘗不可，但并非因其證明“需要用到更多的數學知識”，事實上也有些版本的教材(如人教版)，在給出勾股定理的逆定理的結論的同時給出了它的證明，要不要在給出勾股定理的逆定理的結論的同時給出它的證明，如果先給出結論，那么在什么時候給出它的證明，這仍然是一個值得探討的問題．

2 教材中證法的改進

在上述經典證法中所構造的△A′B′C′與原三角形△ABC分別是兩個三角形，我們也可以將這兩個三角形“合二為一”，即在原三角形△ABC上直接構造出一個直角三角形，并由此得到了更簡單的證法．

證明 如圖2，過點B作BD⊥BC，并截取BD=AC=b，

連結CD.在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=a2+b2，

又因為AB=c=a2+b2，所以AB=CD，所以四邊形ABDC是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)，所以AC∥BD，所以∠ACB=∠CBD=Rt∠， 即△ABC是直角三角形．

評析 在現行浙教版教材中，勾股定理的逆定理的證明安排在八年級下冊第5章“平行四邊形”第7節“逆命題和逆定理”中，而教材上所給出的證法(即經典證法)與本章主題“平行四邊形”毫無聯系，在此建議教材編寫者是否可以考慮將上述改進證法代替經典證法，其好處有以下三點：(1)改進證法比經典證法更簡單、更有吸引力；(2)有利于鞏固本章所學的平行四邊形的判定和性質，使之學有所用；(3)與八年級上冊第2章第5節中對勾股定理的逆定理的說明：“本冊涉及一些結論的詳細說明過程需要用到更多的數學知識，我們將在以后介紹”相呼應.但作為教師應該知道這個改進證法并適時介紹給學生，我相信一定會有較好的教學效果．

3 利用后面的知識進行證明

勾股定理的最簡單證法是利用相似三角形的知識來證明(見浙教版老教材第五冊A第136頁)，利用相似三角形的知識來證明勾股定理的方法還有很多(見文［3］)，這些證明方法中的某些證法經過適當“改造”也可以用于證明它的逆定理，這里僅給出三種較為簡單的證法．

證法1 如圖3，因為a2+b2=c2，所以b2＜c2，于是b2c

又因為∠CAD=∠BAC， 所以△ACD∽△ABC，所以∠ACD=∠B.同理可證△BCD∽△BAC， 所以∠BCD=∠A.

所以∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠A， 又因為∠ACB+∠B+∠A=180°， 所以∠ACB=90°，即△ABC是直角三角形．

證法2 如圖4，延長AB到D使BD=a，在AB上截取BE=a，連結CD、CE.則

∠DCE=90°，AE=c-a，AD=c+a. 又因為a2+b2=c2，所以bc-a=c+ab，即ACAE=ADAC．

又因為∠CAE=∠DAC，所以△ACE∽△ADC，所以∠ACE=∠D.又因為BC=BE=a， 所以∠BCE=∠BEC.又因為∠D+∠BEC=90°， 所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=∠D+∠BEC=90°. 即△ABC是直角三角形．

證法3 如圖5，過點C作直線MN∥AB，并在直線MN上截取CD=a2c，CE=b2c．

則DE=CD+CE=a2c+b2c=a2+b2c=c2c=c，即AB∥DE且AB=DE，所以四邊形ABDE是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)，所以BD∥AE， 所以∠AEC+∠BDC=180°.又因為CEAC=b2cb=bc=ACAB，∠ACE=∠BAC，

所以△ACE∽△BAC， 所以∠AEC=∠BCA.同理可證∠BDC=∠ACB.

所以2∠BCA=∠AEC+∠BDC=180°，即∠BCA=90°.所以△ABC是直角三角形．

4 利用課外知識進行證明

勾股定理的逆定理除了上述構造全等三角形或相似三角形的證法以外，還可以利用相交弦定理、角平分線的性質定理等來證明，由于這些知識在新教材中已不作要求，故這些證法不宜向學生介紹，僅供教師參考．

證法1 如圖6，以點A為圓心，AB=c為半徑作⊙A，與直線AC分別相交于點D、E，BC的延長線與⊙A相交于點F.則CD=c+b，CE=c-b，所以CD#8226;CE=(c+b)(c-b)=c2-b2=a2．

由相交弦定理得CF=CD#8226;CEBC=a2a=a，即直徑DE平分弦BF(非直徑)，由垂徑定理的推論得DE⊥BF， 即∠ACB=90°.所以△ABC是直角三角形．

圖6圖7證法2如圖7，作∠ABC的平分線BD交AC于點D，截取BE=BC=a，連結DE.則

△BDC≌△BDE(SAS)， 所以CD=DE， ∠BED=∠C．

由角平分線的性質定理可求得

CD=DE=abc+a，AD=bcc+a．

所以ADAE=bcc+ac-a=bcc2-a2=bcb2=cb，

即 ADAE=ABAC．

又因為∠DAE=∠BAC，所以△ADE∽△ABC，所以∠AED=∠C．

所以 2∠C=∠BED+∠AED=180°， 即∠C=90°.所以△ABC是直角三角形．

參考文獻

［1］ 曹嘉興.巧用圖形變換 妙證勾股定理［J］.中學數學教學參考(下半月)，2007，7.

［2］ 曹嘉興.也談勾股定理的再生證明［J］.中學數學教學參考(下半月)，2008，9.

［3］ 曹嘉興.巧構相似圖形 妙證勾股定理［J］.中學數學(下半月)，2010，1.

［4］ 蔡宗熹.千古第一定理─勾股定理［M］.北京:高等教育出版社，2009.

作者簡介 曹嘉興，男，浙江開化人，1968年8月生，中學高級教師，主要從事數學教育和初等數學研究，在本刊及其他刊物發表論文30余篇．