借成語中的智慧為數(shù)學(xué)思想“畫龍點(diǎn)睛”(上)

很多成語與典故中的智慧，與數(shù)學(xué)解題策略有著相同的靈犀，發(fā)現(xiàn)與撿拾兩者具同構(gòu)特征的智慧，讓我們進(jìn)入品味數(shù)學(xué)與鑒賞智慧的境界；尤其在數(shù)學(xué)解題一籌莫展之際，可鑿壁借光漢文化的智慧，來開啟數(shù)學(xué)解題思路.

1 反客為主

問題1 已知方程mx2-1+1=2x+1存在x≥10的根，試求m的范圍，并說明存在另一個根且指出它的范圍．

圖1探究 因m操控方程的解，顯見m為主，x為客，但“主”怎樣待“客”，難顯!不如以客選主：m+x2-1=2x-2m=-(x+1)2m≤-(10+1)2m≤-121時(shí).見圖1，拋物線關(guān)于x=-1對稱，另一個根存在且不超過-11．

2 以牛代馬

問題2 如圖2，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于單位圓⊙O.AO、CO、BO分別于三角形的三邊交于E、F、G三點(diǎn)，試求1AE+1BG+1CF的值．

圖2探究 基于△ABC的一般性，難以挖掘利用相似三角形來展開數(shù)式的幾何意義，采用以“線”代“面”，便是柳暗花明：

1︰CF=CO︰CF=S△BOC︰S△BFC=S△AOC︰S△AFC1︰CF=S凹四邊形AOBC︰S△ABC1︰CF=(S△ABC-S△AOB)︰S△ABC．(1)

同理可得：

1︰BG=(S△ABC-S△AOC)︰S△ABC，(2)

1︰AE=(S△ABC-S△BOC)︰S△ABC．(3)

(1)+(2)+(3)1AE+1BG+1CF=2.

3 上屋抽梯

問題3 已知△ABC邊CB=a，AC=b，∠ACB=45°，求角平分線CD長．

探究 采用坐標(biāo)度量線段長，見圖3，將△ABC置入直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，邊AC與x軸重合.為得點(diǎn)D的坐標(biāo)，采用造梯上屋之術(shù)：建立輔助等腰直角△CEG，取CE=2，過點(diǎn)F作FH⊥CB，H為垂足，得GF=2FH=2FEFE=12+1EG=2(2-1)，所以F(2，2(2-1))，得直線CD的解析式：y=（2-1）x(1)；又由A(b，0)、B(22a，22a)，直線AB的方程：(2b-a)y+ax=ab(2).聯(lián)立(1)、(2)方程，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)：xD=（2+2）ab2（a+b），yD=2ab2（a+b）.所以CD=x=x2D+y2D=2+2ab2（a+b）.

4 投石問路

問題4 如圖4，已知OC是Rt△ABC的角平分線，∠ACB為直角，AC=3，BC=4.過點(diǎn)O的直線EF分別與BC邊和CA的延長線交于點(diǎn)E、F，求1EC+1FC的值．

探究 當(dāng)EF繞著點(diǎn)O做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交點(diǎn)E上移，當(dāng)上移至點(diǎn)E0位置時(shí)，有OE0∥AC，另一端交點(diǎn)F順著CA射線滑向無窮遠(yuǎn)處，假想交點(diǎn)為F∞，這時(shí)CE→CE0，CF→CF∞=+∞.從題意知1EC+1FC值與繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)無關(guān)，應(yīng)有1EC+1FC=1E0C+1F∞C=1E0C+0(1).借此發(fā)現(xiàn)解題思路：△OEE0∽△FEC且OE0=CE0(EC-OE0)︰EC=OE0︰FC(1).另由△E0OB∽△ABC或S△AOC+S△BOC=S△ABC可求得OE0=127，于是1EC+1FC=712．

5 聲東擊西

問題5 已知ABCD是正方形的對角線長為3+1，CE平行它的對角線BD，且BE=BD，試求△BDF的面積．

探究 欲知△BDF的面積，必奪BD邊上高M(jìn)F，強(qiáng)奪無招，采用以“角”奪“邊”之策：過點(diǎn)E作BD的垂線段EH.由CE∥BD，可知EH=OC，sin∠EBD=EHBE=OCAC=12，于是∠EBD=30°.令FM為△BDF的高，由BM+MD=BD，得

FMtan∠FBM+FMtan∠BDF=BD，可求得FM=1，于是S△FBD=12BD#8226;FM=3+12．

6 旁敲側(cè)擊

問題6 點(diǎn)E、F分別是ABCD的CD和AD上的一點(diǎn)，且AE=CF，AE與CF交于點(diǎn)P，試證：∠CPB=∠APB．

探究 很難全等或相似證：∠CPB=∠APB.旁敲：∠CPB=∠APB垂線段BT應(yīng)等于垂線段BS.聯(lián)系題設(shè)AE=CF，聯(lián)想到用面積來擊破：

因S△BFC=S△ABE=12SABCD12FC#8226;BT=12AE#8226;BS且AE=CFBT=BS∠CPB=∠APB.

(待續(xù))