最熟悉的路和最近的路

1 生活場景

倘若你要到某地去，是走“最熟悉的路”還是走“最近的路”？這真的是一個問題，因為我們常常面臨的情形是：走“最熟悉的路”，就有可能走些彎路，費時費力，成本消耗大，不合算；走“最近的路”，有可能是一條你不熟悉的路，你得先探尋這條“最近的路”在哪里. 雖然“最近”，是捷徑，但打探需要一個過程，而且極有可能是一個很漫長的過程，這就導致走“最近的路”卻不一定是最快.

我在這里贅述的這個生活場景和我們的數學教學有什么關聯呢？還是讓我們先來反觀一下我們的教學寫照吧!

2 教學寫照

2.1 解題過程中，學生習慣于走“最熟悉的路”

案例：在解答題目“已知m2-6m-4=0，n2-6n-4=0，且m≠n，則m+n= ”時，據筆者觀察，在我們的教學過程，學生們常常會出現下面三種解法：

方法1：求根公式法

用求根公式分別解得m=3±13，n=3±13. 因為m≠n，所以當m=3+13時，n=3-13；當m=3-13時，n=3+13. 可見不管怎樣，m+n的值都是3+13+3-13=6.

方法2：因式分解法

由m2-6m=4，n2-6n=4兩式相減得m2-6m-(n2-6n)=0，即m2-n2-(6m-6n)=0，變形得(m+n)(m-n)-6(m-n)=0，m2-6m-4=0，n2-6n-4=0，且m≠n，(m-n)(m+n-6)=0，又m≠n，所以m+n-6=0，即m+n=6.

方法3：韋達定理法

由于m2-6m-4=0，n2-6n-4=0，且m≠n，不難聯想到m、n是一元二次方程x2-6x-4=0的兩個不同的根，因此，根據一元二次方程根與系數的關系(韋達定理)可知，m+n=6.

上述三種解法中，方法2需要一定技巧，方法3層次略高，但省時省力，符合命題者考查意圖，很多教輔書上給出的答案也是如此.

但是，筆者在教學過程中發現，面對此題，絕大數學生都會采用方法1，很少采用方法2和方法3. 下面是針對此題的解答方法對初三下期(學生已全面學習了初中數學知識)處于復習階段的班級(50人)進行調查后的一個統計表：

甚至我還發現，就算遇到：“3m2-2m-5=0，5n2-2n-3=0，其中m、n為實數，則m-1n=( )”之類的題目，學生也愛選擇方法1，先分別用求根公式求出m、n，只不過常常會因要分類討論，而且計算十分復雜，最后無功而返.

為什么會出現這么多人都去追隨“方法1”這種情形？想來想去，其實，學生完全是在選擇了一條自己“最熟悉的路”. 我們從成人的角度想想，在一元二次方程的學習過程中，有什么比“解一元二次方程”更根深蒂固的呢？我們花了大部分時間在學習一元二次方程的解法啊. 所以看到m2-6m-4=0和3m2-2m-5=0不由分地就想到用求根公式去求方程的解這完全是情理之中的事了.

2.2 解題教學時，教師總希望學生走“最近的路”

像方法3這樣巧妙的方法，學生為什么會想不到呢？就算老師講過幾遍很多學生遇到相同問題時仍然想不到. 這是一個讓很多老師不容易想通的問題，并且這樣的情形常常伴隨著我們的教學，比如：

進入初中，學習了一元一次方程后，面對一些用方程解決起來比較容易的應用題，一些學生愛去列較為復雜的算式. 問其原因：小學時他就是這樣做的，列算式解應題的很多招式已在他的頭腦里扎了根了!

學習二元一次方程組時很多學生“偏愛”一元一次方程!

遇到垂直平分線、角平線時不直接用垂直平分線、角平線分線的性質，說明角等、邊等時總要選擇證明三角形全等!

“面積法”可以巧妙地解決很多幾何問題，但我們的學生一般都不會走上這條“路”……

這里面的原因究竟是什么呢？

其實說起來也比較簡單. 這也如我在文前提到的生活場景所描述的一樣：學生在解決問題時，也愛走“熟悉的路”，思維有定勢，他們總是從自己的知識起點、認知起點、生活經驗出發認識和解決問題，是學生元認知能力的的表征，這符合“最近發展區”理論，屬于學習心理學上的問題. 在有“最熟悉的路”走的情況下，很多人懶于對“最近的路”進得尋找和探究，甚至主動放棄走“最近的路”.

但是，在教學過程中，一些教師又常常希望學生能走“最近的路”. 傳統的解題觀把數學問題的解決定位于求出問題的答案. 隨著思想觀念的不斷更新，人們對數學解題的內涵逐漸獲得更為清晰的理解，特別是新課程理念的廣泛接受，創造性人才的培養要求，使人們認識到數學解題不僅僅是結論的獲得，更為重要的是在結論獲得的基礎上的進一步思考和探索. 也就是說，作為學習任務的數學解題存在不同的層次的水平，比如方法1、方法2、方法3顯然就體現了這一點.

教師希望學生能走“最近的路”顯然不只是圖其“近”，圖其方便省時省事，把學生從“最熟悉的路”拉到“最近的路”是引導學生從高層次思維水平上去解決問題，這是教師關注學生解題的過程、策略以及思維方法的具體表現，這是數學解題教學的較高境界.

3 教學碎思

3.1 要關注學生是怎樣“抓住老鼠”的，要引導學生多方向多角度思考和探究解決問題的方法，學會識別和鑒賞“最近的路”

“紅貓黑貓，只要抓住老鼠就是好貓”，這是一句有中國特色的名言，但在解題教學過程中，它還是一句經得起檢驗的“名言”嗎？非也!

G.波利亞在《怎樣解題》中給出了一個宏觀的解題程序，分成四步：弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧. 這一程序影響了和影響著一代一代的數學學習者，是數學教育研究者廣泛認同的觀點. 事實上，如果我們只圖“抓住老鼠”，實際上只實現了波利亞關注的前三步，而淡化甚至摒棄了波利亞高度關注的第四步. 波利亞重視解題后的思考，把其作為數學解題的一個重要步驟. 他認為一個問題解決后，解題者應該考慮有沒有其他的解題方案，有沒有更一般的或特殊的結論.

為什么要高度關注“第四步”？放到今天的教育背景下，從創造性人才的培養角度來看，其積極意義不言而喻. 人們用最熟悉的方法解決問題，而不是用最優解法，這是人的潛意識決定的. 那些思維品質優秀對數學問題有強烈的探究欲望的人，在用最熟悉的方法解決之后，還會精益求精，尋求最優解. 如果只關注解題的前三步，必然會讓很多人的思維長期處于低層次的訓練之中.

以方法1、方法2、方法3為例，用方法1的確能求出一元二次方程的根，如果不怕麻煩，也能解決很多問題，但這樣的思維只停留在識記和簡單應用水平上，而方法3卻高屋建翎地看到了其中的根與系數之間的關系，聯想到“m、n是一元二次方程x2-6x-4=0的兩個不同的根”，這就是創造性思維的體現了. 從這里我們也可以看出，作為一名教師我們不應該只關注學生是否“抓住了老鼠”——解決了問題，更應該關注學生是怎樣“抓住老鼠”——怎樣解決問題的. 同時，解決問題的辦法不只有一種，教師要引導學生多方向多角度思考和探究問題，一題多解，一題多練，以批判的眼光有鑒賞地尋找最優化的辦法，從而走上“最近的路”. 我們可以想象，一個數學學習者是不難在方法1、方法2、方法3之間作出自己的選擇的. 同樣，如果教師多讓學生體會方程解決問題的優越性，學生也會很快接受一元一次方程而不會總是停留在列算式解應用題的水平上.

3.2 教師要當好“引路人”，對“最近的路”不能簡單告訴，要暴露每一條路的發現過程，也不能“為技巧而技巧”

人們都說，教師是學生學習的引路人. “引路人”該如何引路？

“簡單告訴”是日常生活中“指路人”的做法，而作為教師卻不能“簡單告訴”，要注意暴露每一條路的發現過程，應該引導學生自己去發現“路”在哪里，“路”該如何去走.

一些教師講解題目時，很少講解解法的發現過程，學生只知其然，不知其所以然，解題時只能機械地模仿. 數學教育的理論和實踐也都證明：在解題教學中，把解題思路的探索過程，包括成功的思路和失敗的嘗試都展示、暴露給學生，對幫助學生學會解題、提高思維能力有著十分積極的作用. 教學時，要讓學生清楚解法是如何想到的？思路是怎樣打通的？重新審視條件和結論，該引發怎樣的新思考？教師還要“稚化”自己的思維，站在學生的角度，有意識地退回到與學生思維相仿的思維去思考問題.

“最近的路”也可以是“最熟悉的路”，“最近的路”不等同于“技巧”. “最近的路”應是從學生實際情況出發，從眾多解法中分析、歸納、提煉出來的通法，它應具有普遍性. 數學解題過程中有些技巧的使用范圍較小，它是通法的發展，通法的變式. 我們不能把“技巧”當作“最近的路”指給學生，不能“為了技巧而技巧”，要重視通法，當然，也不能忽視技巧. 比如解法2，用的是因式分解法，它就有一定的技巧性，但它的適用范圍狹窄，把它用到“3m2-2m-5=0，5n2-2n-3=0，其中m、n為實數，則m-1n=( )”這題目中去，就困難了!

3.3 每一條通向終點的“路”都有其存在的合理性，“最近的路”是永恒的數學解題價值取向

每一條通向終點的路都有其存在的合理性. 由于解題思維的復雜性和個人解題經歷的多樣性，所以，數學解題中的每一條路也都有其存在原合理性.

低層次的解題能夠促進學習者完善認知結構的構建，高層次的解題能培養學習者的創新思維，各得其所. 在教學過程中，教師不能因學生走的低層次的“路”而橫加指責，學生也不能因沒能走“最近的路”而自慚形穢. 在思考和探索的過程中，低層次的“路”和高層次的“路”都很重要，它反映人的思維能力發展的由易到難、由簡單到復雜、由低級到高級的循序漸進的過程.

數學解題的目標應使得學習者獲得對數學本質規律更為真實的理解，并在數學領域獲得可持續的發展，發展不僅包括知識建構的不斷完善，而且包括思想策略的順利遷移，乃至學習創造潛能的開發. 正是基于這個目標，當學生行走在不同的“路”上，我們應有對“最熟悉的路”和“最近的路”的關注，要引導學生在新的起點上進行對其數學發展更有價值、更為有益的活動，從效益、效率、效果的角度上思考，找到“最近的路”，走向“最近的路”應是永恒的數學解題價值取向.

參考文獻

1于國海.優化與生成——數學解題的價值取向［J］.數學通報，2011，2

2羅增儒著.數學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008

3朱華偉，錢展望著.數學解題策略［M］.北京：科學出版社，2009

作者簡介：廖帝學，男，1973年生，四川廣安鄰水人，主要從事初中數學教育及初中數學教師專業成長研究，發表各類文章上千余篇.