一個速解時鐘問題的公式的推導與應用

同學們不可避免的每天都要與時鐘打交道，不知大家有沒有想過這樣一個比較有趣的與數學有關的問題：在一晝夜的時間里，時鐘的分針與時針有多少次垂直？有多少次重合？你能快速、準確地回答出來嗎？對于這些問題都可以用一元一次方程簡捷獲解.下面我們就一起來分析，并找出解決這些問題的公式，從而達到快速簡捷求解的目的.

分析:大家都知道，鐘表上面上均勻地分布著60個小格，分鐘每小時轉一圈，即分針在每分鐘的時間里走一格；而時針每小時轉一圈，即它每小時走6格，因此它每分鐘走112格.據此時鐘上時針與分針之間的關系問題，可轉化為時針與分針的追趕問題，這樣問題就變成較為簡單的一元一次方程問題，因此就比較容易解決了.

公式的推導過程 由于時針與分針在0時重合，那么經過t小時n分鐘后，時針走過的格子數為5t+112n，分針則走過了t圈后又轉過了n格，故此時時針與分針相差的格子數a分為下述兩種情況：

當時針在分針的前面時，有5t+112n-n=a， 則n=1211(5t-a).當時針在分針的后面時，有n-(5t+112n)=a，則n=1211(5t+a).

將上述兩式和寫，就可得到求解時鐘問題的簡明公式：n=1211(5t±a).(﹡)

注意：在上面的公式中，若是時針在分針的前面取負號；若是時針在分針的后面則取正號；

下面就一起運用上面的公式來解決一些既有趣又有實際意義的時鐘問題.也許大家會有新的更有趣的發現呢!

例1 時鐘在3點整時，時針與分針恰好成直角.試問，再經過多少分鐘，兩針之間再一次成直角？

解 根據題意可知：t=3，a=15.由于時針在分針的后面，則由(﹡)式可得：n=1211(5×3+15)=32811.

即再過32811分鐘，時針與分針之間再一次成直角.

由此我們可得到一個有益的啟示：即時針與分針相之間互垂直的周期為32811分鐘.據此我們就可以非常簡捷地算出一晝夜(即24小時)，分針與時針之間相互垂直的次數為：24×6032811=44(次).

例2 在12點整，鐘表的時針與分針重合.再經過多長時間，兩針再一次重合？

解 依題意可知：t=12，a=0.則由(﹡)式得：n=1211(5×12+0)=65511.

即再經過65511分鐘，分針與時針再一次重合.

由此我們又得到一個有益的啟示：即時針與分針每隔65511分鐘重合一次.據此我們可以計算出在一晝夜的時間里，時針與分針的重合次數為： 24×6065511=22(次).

例3 鐘表上時針與分針在2點與3點之間的什么時刻，兩針在一條直線上，并且它們的指向相反 ？在3點與4點之間的什么時刻滿足上述條件？

解 在2點與3點之間，由題意可知：t=3，a=30.且時針在分針的后面，有(﹡)式有： n=1211(5×2+30)=43711.即在43711分，時針與分針在一條直線上，且指向相反.

在3點與4點之間，由題意可知：t=3，a=30.且時針在分針的后面，有(﹡)式得：n=1211(5×3+30)=49111.即在49111分，時針與分針在一條直線上，且指向相反.

由本例我們又得到一個啟示：時針與分針在一條直線上，并且指向相反的周期為：

(60+49111-43711)=65511(分鐘).

故一晝夜時針與分針在一條直線上，并且指向相反的次數為：24×6065511=22(次).