探究教材中的基本“等積體”

縱觀近幾年的中考題，很多中高檔題來源于課本或是課本知識的拓展應(yīng)用，如何更好的利用好教材，如何在教材基本知識的基礎(chǔ)上，挖掘出隱藏在“內(nèi)部”的潛在知識能量，從能力培養(yǎng)的角度，讓學(xué)生的思維活躍，養(yǎng)成主動探究的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，是我們數(shù)學(xué)教育者追求的永恒主題.下面，筆者以同底等高的三角形面積相等，等底的兩個三角形的面積比等于高之比為基礎(chǔ)來探究課本中的基本“等積體”．

引例在一次測試題中有這樣一道題：如果兩個三角形中兩條邊和其中一條邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三邊所對的角的關(guān)系是( )

A. 相等 B. 不相等

C. 互余或相等D.互補(bǔ)或相等

此題的得分率非常低，很多同學(xué)根本不知道該怎樣畫圖，更不知道怎樣去分析.部分學(xué)生誤認(rèn)為兩個三角形全等，所以選擇了A.其實(shí)，兩個三角形全等僅僅是其中的一種情況，學(xué)生不能夠想象出另一種情況是因?yàn)樽约焊静荒軌虍嫵鰣D形.從另一個角度可以看出，教師在平時的授課中應(yīng)該注重挖掘知識點(diǎn)內(nèi)部的能量，真正提高學(xué)生分析問題解決問題的能力．

如圖1，在△ABD和△ACD中，AB=DC，AD=AD，BF和CE分別是△ABD和△ACD中AD邊上高，我們構(gòu)造了一個圖形，滿足題意.我們易證四邊形ABCD是平行四邊形，BD所對的角是∠BAD，AC所對的角是∠ADC， ∠BAD+∠ADC=180°.所以，正確答案應(yīng)該是D.其實(shí)，△ABD和△ACD就是兩個等底同高的兩個三角形，而且BC∥AD.此題的得分率很低，說明這一數(shù)學(xué)模型對于學(xué)生來講是一個“漏洞”.需要我們在平時的授課中注重培養(yǎng)學(xué)生在這方面知識的積累，真正提高學(xué)生探究問題的能力．

探究1正方形ABCD的對角線交點(diǎn)為O，兩條對角線把它分成了四個面積相等的三角形.這一知識點(diǎn)我們已經(jīng)很熟悉，我們可以在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生利用兩個三角形底與高的關(guān)系來變式探究四邊形內(nèi)部的面積關(guān)系．

變式探究1 平行四邊形ABCD的兩條對角線交點(diǎn)為O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面積分別為S1，S2，S3，S4.試判斷S1，S2，S3，S4的關(guān)系．

分析如圖2，由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以O(shè)A＝OC.又△AOB，△BOC的邊OA，OC上的高相同，所以，S1＝S2．

同理S2＝S3，S3＝S4，S4＝S1，所以S1＝S2＝S3＝S4．

變式探究2 四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，交點(diǎn)為O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面積分別為S1，S2，S3，S4，試判斷S1，S2，S3，S4的關(guān)系．

分析 如圖3，由于AC⊥BD，垂足為O，所以S1＝12OA#8226;OB，S2＝12OB#8226;OC，S3＝12OC#8226;OD，S4＝12OD#8226;OA，則有S1S3＝S2S4．

若將變式探究2中四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直這一條件去掉，看一下結(jié)論是否仍然成立．

變式探究3四邊形ABCD的兩條對角線交點(diǎn)為O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面積分別為S1，S2，S3，S4，試判斷S1，S2，S3，S4的關(guān)系．

分析 如圖4，設(shè)點(diǎn)B到線段AC所在直線的距離為h1，點(diǎn)D到線段AC所在直線的距離為h2，

則S1＝12OA#8226;h1，S2＝12OC#8226;h1，S3＝12OC#8226;h2，S4＝12OA#8226;h2，

所以有S1S3＝S2S4. 由變式探究2和變式探究3可知，無論四邊形的形狀如何，兩條對角線把四邊形分割成四部分 ，如圖4，則△AOB，△BOC，△COD，△DOA面積分別為S1，S2，S3，S4 都存在關(guān)系S1S3＝S2S4．

變式探究4 四邊形ABCD的兩條對角線相等，交點(diǎn)為O，∠BAC＝∠BDC，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面積分別為S1，S2，S3，S4，試只用S1，S3或只用S2，S4表示四邊形ABCD的面積S.

分析 思路一：已知∠BAC=∠BDC，又∠AOB=∠DOC，那么∠DCA=∠ABD.①如圖5，當(dāng)AB與CD不平行時，必相交于一點(diǎn)，不妨設(shè)線段BA與CD的延長線交于點(diǎn)E.已知AC=BD，又∠AEC=∠DEB，所以△AEC≌△DEB(AAS)，則AE＝DE，CE＝BE，所以AB＝DC，所以△AOB≌△DOC，則S1＝S3．

由變式探究3可知：S1S3=S2S4，所以S21=S2S4，那么S=S1+S2+S3+S4＝2S1+S2+S4＝S2+S4+2S2S4(或＝(S2+S4)2)

②如圖6，當(dāng)AB與CD平行時，則△ABD與△BAC同底等高，有S1+S2=S1+S4，

則S2＝S4，由于有S1S3=S2S4，所以S22= S1S3，S＝S1+S3+2S2＝S1+S3+2S1S3(或＝(S1+S3)2).由①、②兩步可知四邊形ABCD的面積S為 S2＋S4+2S2S4或S1+S3+2S1S3．

思路二：在△AOB和△DOC中，已知∠BAC=∠BDC，又∠AOB=∠DOC，那么∠DCA=∠ABD，所以△AOB∽△DOC，則OAOD＝OBOC.設(shè)點(diǎn)A到線段BD所在直線的距離為h1，點(diǎn)B到線段AC所在直線的距離為h2，點(diǎn)C到線段BD所在直線的距離為h3，點(diǎn)D到線段AC所在直線的距離為h4.由于S4＝12OA#8226;h4＝12OD#8226;h1，所以O(shè)AOD＝h1h4.同理OBOC＝h2h3，那么h1h4＝h2h3.已知AC＝BD，所以S△ABDS△DAC＝S△BACS△CDB，即S1+S4S3+S4＝S1+S2S2+S3，整理得S1S2+S3S4＝S2S3+S1S4，所以有S2(S1－S3)=S4(S1－S3)，①當(dāng)S1≠S3時，有S2＝S4.由于有S1S3＝S2S4，所以S22＝S1S3，那么S＝S1+S3+2S1S3(或＝(S1+S3)2).②當(dāng)S1＝S3時，同理有S＝S2＋S4+2S2S4(或＝(S2+S4)2).由①、②兩步可知四邊形ABCD的面積S為 S2＋S4+2S2S4或S1+S3+2S1S3．

探究2 由反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的定義可知：雙曲線上任意一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之積為定值k．

根據(jù)這一性質(zhì)，可以得出如下兩個結(jié)論(也就是k的幾何意義)：

1.圖象上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸引垂線，與原點(diǎn)所圍成的矩形面積為定值|k|．

2.圖象上任意一點(diǎn)向某一坐標(biāo)軸引垂線，與連結(jié)原點(diǎn)所構(gòu)成的直角三角形的面積為定值|k|2.學(xué)生對這兩個結(jié)論掌握的很熟練，應(yīng)用也很靈活，但我們可在此基礎(chǔ)上，再深挖教材，提高學(xué)生認(rèn)識，拓寬學(xué)生的思路．

直線與雙曲線相交，如圖7所示，直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，與x、y軸交于C、D兩點(diǎn)，AD與BC有什么關(guān)系．

如圖7，直線CD與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，交x、y軸于C、D兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作x、y軸的垂線，垂足分別為E、F兩點(diǎn)，并連接EF、OA、OB、BE、AF.因?yàn)锽F∥x軸、AE∥y軸，所以S△BEF=S△OFB=|k|2、S△AFE=S△AEO=|k|2. 所以S△BEF=S△AEF.所以A、B到直線EF的距離相等，EF∥AB.這樣我們就很容易得到：四邊形BCEF、AEFD都是平行四邊形那么AD=EF， BC=EF，即：AD=BC.

在探究2中，S△BEF=S△OFB=|k|2，S△AFE=S△AEO=|k|2就是應(yīng)用到了同底等高的兩個三角形面積相等，而有S△BEF=S△AEF，得到EF∥AB，也是應(yīng)用到了同底、面積相等的兩個三角形的高相等.從而應(yīng)用平行四邊形的判定與性質(zhì)得到EF∥AB，同理可證直線與雙曲線在第三象限有兩個交點(diǎn)時，得到相同的結(jié)論．

結(jié)論：某直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，與x、y軸交于C、D兩點(diǎn)，則AD=BC．

深入探究：在探究2中，若直線與雙曲線相交的兩個交點(diǎn)在兩支上，結(jié)論是否還成立？

如圖8所示，與探究2的證明類似，S△BEF=S△OFB=|k|2，S△AFE=S△AEO=|k|2，所以S△BEF=S△AEF，得到EF∥AB，同理得到：四邊形BCEF、AEFD都是平行四邊形那么AD=EF， BC=EF即：AD=BC．

看來，無論直線與雙曲線的兩個交點(diǎn)在兩支上還是在同一支上，我們都可以得到上面結(jié)論．

變式訓(xùn)練1 如圖9，三角形ABC的面積為a，BD∶DC=2∶1，E是AC的中點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，那么四邊形PDCE的面積為.(用含a的代數(shù)式表示)

分析 因?yàn)镋是AC的中點(diǎn)，所以△ABE和△BCE等底同高，所以△ABE和△BCE的面積相等，又因?yàn)锽D∶DC=2∶1，△ABD和△ACD的高相同，所以△ABD和△ACD的面積之比是2∶1.所以S△BCE=S△ABE=12a，S△ABD=23a，S△ACD=13a.分析到這個地方我們還是很難求出四邊形PDCE的面積，所以我們可以考慮將四邊形PDCE的面積分割，如圖10，連接PC，設(shè)△APE的面積為x，則△PCE的面積為x， S△ACD=13a，S△BCE=12a，S△BCE-S△ACD=16a，所以S△BDP-S△APE=16a，S△BDP=x+16a，又因?yàn)镾△BDP∶S△PCD=2∶1，所以S△PCD=12(x+16a)，由12(x+16a)+x+x=13a，解得x=110a，那么四邊形PDCE的面積=13a-110a=730a.

在整個解題過程中，主要借助等底同高面積相等、若同高，面積之比等于底之比來解決；因?yàn)樗倪呅蜳DCE的面積不能通過現(xiàn)成公式來解決，所以我們通過面積分割，將不規(guī)則的四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來求解.此題充分考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，在解題過程中，要求學(xué)生具備根據(jù)實(shí)際問題背景轉(zhuǎn)化運(yùn)用已知條件的能力，能夠利用面積分割，充分利用“等積體”的基本模型來解決問題．

變式訓(xùn)練2：如圖11，在△ABC的面積是10，將AB、BC、CA分別延長一倍到D、E、F，兩兩連接D、E、F，得到一個新的△DEF， 則△DEF的面積為( )

分析 要解決這一問題必須建立起△ABC和△DEF的關(guān)系，而兩個三角形之間的聯(lián)系就是A、B、C分別是FC、AD、BE的中點(diǎn)，因此，我們可以依此為突破口，利用三角形的中線把三角形的面積平分來解決這一問題.如圖12所示，連接AE、BF、CD，這樣就把△DEF分割成了7部分，而易證每一部分的面積都是10，所以，△DEF的面積為70．

看來有很多知識是隱藏在教材的基本知識之中，這就需要我們教育工作者在日常教學(xué)中要深挖知識的內(nèi)部聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上拓展探究，讓學(xué)生的思維漸漸開闊，逐步培養(yǎng)起主動探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣.讓學(xué)生在不自覺中提高數(shù)學(xué)能力，進(jìn)而體會探究數(shù)學(xué)問題的無窮樂趣，感受到了成功地喜悅．

作者簡介:崔春近，中學(xué)數(shù)學(xué)一級教師，全國數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀輔導(dǎo)教師、淄博市優(yōu)秀教師、有20多篇文章在省級以上報刊發(fā)表；任瑞珍，沂源縣優(yōu)秀教師．