立足探索 發展思維

教學設想：

調查可知，實際的課堂教學中，面對教材上的實驗與探究內容，鮮有人關注，甚至于不知道這些內容的存在，因為這片“風景”是考試內容外的附屬物，少有人駐足觀賞，故此沒有進入課堂教學的視野，備受冷落.說實在的，自己以前的教學在這些方面做得也不盡如人意，雖然關注，但利用不佳，一般把這些內容融匯于相關的教學內容中，單獨立節研究還是首開先河.前一段時間，筆者有幸參加了“國培計劃”的研修活動，聽取了北大附中張思明老師《初中數學課題研究的探索》的報告，深受觸動，大有相見恨晚之感，張老師的大家風范讓人仰慕.跳出教材看數學，跳出數學看數學，跳出成績看教學，等等這都是境界，這種超凡脫俗的境界，既發展了學生各方面的素養，又收獲了帶有厚重功利色彩的所謂學生成績，可謂雙贏.當下的課堂過于功利，唯成績是舉，把學生的成績看成自己生命的一部分，成天游弋于題海，打拼著體力，可謂殫精竭慮，造就了一批又一批解題的機器，喪失了興趣，沒有了動力，何談成功？

基于這些思考，決定大膽踐行“把學生的學會學習、發展全人置于首位”的教育教學之路，充分挖掘學生潛能，激發學生興趣，把學生的可持續發展力蘊足.現在已經做了四次實驗與探究活動，學生反映很好，大大激發了我做下去的信心，以下通過課堂實錄的形式展現自己的拙為，懇請指教．

探究目標：

1、能借助方程的工具探索純循環小數化分數的過程，滲透方程的思想，感受方程的魅力；

2、力圖實現混循環小數化分數是通過純循環小數化分數的方法遷移而來，以此滲透化歸思想，激發學生的好奇心、探究欲；

3、在探索的基礎上，通過觀察，發展學生的抽象、概括、歸納思維，提煉出循環小數化分數的一般規律．

探究重點：純循環小數化分數；

探究難點：混循環小數化分數；

探究方法：獨立思考與小組交流相結合．

教學過程

一、設懸布疑，挑起紛爭

(設計意圖：為了激發學生的探索熱情，開篇提出一個看似不可能實則必然的問題，打破學生的固有認知，挑起疑竇，催其奮進，誘導學生興致勃勃地投入探索之中.)

師(出示0.9=1)：認識這個式子嗎？

生(眾)：認識，是零點九九的循環等于1．

師：它們相等，可能嗎？

生(眾)(異口同聲)：0.9=1不可能．

師：現在來說可能不可能只是一種猜測，本節課我們就一起來探索此類問題．

二、群策群力，摸索前行

(設計意圖：利用先行組織者，把有限小數化分數激活，然后引出無限小數問題，給學生搭建起探索的平臺，欲進先退，首先退到最簡單的形式探索，出示問題1：0.1=?)

師：首先我們思考一個最簡單的問題——前面學習有理數時，認識到02，132等都歸成了有理數，而有理數是指整數和分數，這合理嗎？為什么？

生(眾)：合理，因為02，132都可以化成分數．

師：說得好，這些小數都可以化成分數，也就是說它們和分數是一回事．

師：這些小數是什么小數？

生(眾)：有限小數．

師：顯然有限小數能化成分數，這沒問題，請同學們思考，除了有限小數，還有什么小數能化成分數？

生：無限循環小數．

師：你怎么知道的？

生(眾說紛紜)：書上看的、小學知道、猜的、網上查得…

師：現在獲知的渠道多，估計同學們有所了解.但如何把循環小數化成分數呢？請同學們思考問題：0.1=？3分鐘后交流．

(大屏幕出示具體問題：0.1=？)

生1：因為19=0.1，所以0.1=19．

師：你是怎么想的？

生1：猜的，通過猜測和計算，得到19就是0.111111…，也就是0.1．

師：同學們說對嗎？

生(眾)：對．

師：正確，若a=b，則

生(眾)：b=a．

師：其實這就是等式的——對稱性．

生2：我的方法是0.1×10-0.1=1.1-0.1=1，而0.1×10-0.1又可以等于(10-1)×0.1=9×0.1，所以可得9×0.1=1，則0.1=19．

師(面向全體)：可以嗎？

生(眾)：可以．

師：這位同學說得非常好，給我們提供了一個基本思路，感謝這位同學的發言(掌聲)．

生3：設0.1=x，則1.1=10x，兩個等式左右分別相減得1.1-0.1=10x-x，即1=9x，顯然x=19，故而0.1=19．

師：這位同學使用的方法我們都熟悉，他利用的是？

生(眾)：方程．

師：對，方程，這是一種非常重要的數學模型，靈活地使用這一方法能快捷地解決一些棘手的問題.以上三位同學從不同的角度解答了這一問題，非常好，一個從測猜的角度，借助的是經驗；一個是從數的運算的角度，借助的是逆運算；最后一個同學用的是方程，實際上他和第二個方法同出一轍，本源是一樣的，只不過第二位同學沒有設“元”而已.(板書：0.1=19)

(教學說明：給學生交流的機會就有學生思維的碰撞，就有火花的飛濺，其中第一位同學的說法出乎意料，似乎不合情理，但袒露了這位同學的思維軌跡，不失思考問題的一種方式，學生2和3緊緊鎖定無限化有限的命門，利用作差變形割掉了無限循環小數的“尾巴”，有效實現了轉化.獲得了進一步探索的經驗.)

三、意料之外，情理之中

師：有了上面的方法經驗，我們試著解答以下問題，完成后交流：

小試牛刀：把以下循環小數化成分數：0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9.

(5分鐘后)

生4：設0.2=x，則2.2=10x，兩個等式左右分別相減得2.2-0.2=10x-x，即2=9x，顯然x=29，故而0.2=29．

師：和這位同學思路一致的請舉手．

生(絕大部分)：舉手．

師：這位同學的思路完全正確，那誰有不同的思路？

生5(非常自信)：我也是用方程，但簡單，設0.2=x，則x=0.2+0.1x，解方程即得．

師(追問)：x=0.2+0.1x怎么得到的？同學們明白嗎？

生(大部分)：不明白．

師：那就請這位同學解釋一下式子的含義？

生5：

因為0.2=0.222222222…，而0.222222222…可以寫成0.2+0.022222…，進一步能寫成0.2+0.02，沒問題吧？而0.02=0.1×0.2，所以就有了x=0.2+0.1x．

生(眾)(真相大白)：哇!知道了．

師：這位同學實際上對如何設元進行了詳盡的分析，得到了0.02=0.1x，這與2.2=10x是一脈相承的，只不過一個乘以10，而另一個乘以01而已.(板書：0.2=29)

師：其他的結果呢？

生(眾)：0.3=39，0.4=49，0.5=59，0.6=69，0.7=79，0.8=89，0.9=99．

師：(板書以上結論).

師：那通過計算可知0.9到底是多少？

生(眾)(不情愿地，驚訝地)：等于1．

師：看來同學們的猜測出了問題，通過精密的數學操作還了問題的真實面目，這就是數學工具的威力．

(教學說明：通過計算發現：0.9=1成立!真實的結果與學生的原有認知出現了沖突，學生驚詫萬分，興奮不已，同時有一種異樣的神態，估計此時此刻學生的思緒萬千，但事實如此，不信也信.數學還問題一個真實面目，意料之外與情理之中的交鋒更加激起學生的好奇心、求知欲，學生的探索腳步怎能停駐…)

四、分組嘗試，思維攀升

(設計意圖：有了前面獲得的經驗，學生已經有了深入探索的欲望，我們不能讓思維就此卻步，把原來的循環節為一位，增設為兩位，提升了思維的力度.為了節省課堂時間，特選用4個平行狀態的題目，分四個小組分別完成，后交流，以期獲得新資源、新發現，成果共享，攜手前行.)

問題：分組嘗試，把以下小數化成分數：0.36，0.43，0.78，0.11．

(5分鐘后)

生6(一組成員)：設0.36=x，方程兩邊都乘以100得36.36=100x，然后兩個方程的兩邊分別相減得36.36-0.36=100x-x，即36=99x，所以x=3699．

師：你是怎么想的？為什么這樣想呢？

生6：我一開始兩邊都乘以10，發現沒法把循環部分抵消去，就用100試了試，可行，因此這個方法就出現了．

師：聽明白這位同學的想法了嗎？

生：明白了，我們也是這樣做得，

師：0.43呢？

生7(二組成員)：等于4399．

師：方法與同學6一樣嗎？

生7：一樣

師：0.78呢？

生8(三組成員)：等于7899，方法一樣．

師：0.11呢？

生9(四組成員)：等于1199，方法一樣．

生10(四組成員)：我不一樣，我沒算，因為0.11與0.1是一回事，因此，用生1的法就行了，不用再乘以100.答案是19，直接搬用的．

生(眾)：笑了．

師：這位同學用了個“投機取巧”的方式獲得答案，行嗎？

生(眾)：行．

師：“投機取巧”應該是不值得稱道的，但此時就不同了，這是數學上的“轉化”，老師喜歡這樣的“投機取巧”!

生(眾)：掌聲．

師：由此看來，0.111=？

生：也是19．

師：研究到現在，我們先停一下探索的腳步，我們做了這么多題目，能否發現他們的規律所在？

(眾生沉默不語)

師：也就是說，若不用解方程的方法，能否直接寫出其結論，如0.72=？

生(眾)：7299

師(再激將)：對，能直接說出來，還不能表達其規律嗎？

生11：用一個循環節作為分子；用99作為分母．

師(追問)：若三位循環節呢？

生11：用一個循環節作為分子；用999作為分母．

師(乘勝追擊)：若四位、更多位呢？

生11：用一個循環節作為分子；連寫幾個9作為分母，9的個數等于一個循環節的位數．

師：說的非常好，層次清晰，語言精練，值得大家學習!

生：掌聲．

師：你能把以下小數直接寫成分數嗎？并通過某種手段驗證：

0.736、0.8231、0.2567893、3.43.

生：0.736=736999，0.8231=82319999，0.2567893=25678939999999，3.43=34399.(驗證略).

(教學說明：從一個循環節到兩個再到更多個，步步深入，誘使學生探索發現，充分利用學生思維的張力，把學生思維的觸角伸向遠方，在收獲技能的同時，采摘到思維的碩果，問題的規律得以揭示.)

五、百尺竿頭，更進一層

(設計意圖：純循環問題解決了，力圖突破混循環問題，這對學生來說是個非常大的挑戰，也是滲透化歸思想意識的有利時機，豈能錯失，這也是本課的難點，一旦突破就是一次質的飛躍.學生面對困難問題的習慣心理是膽怯，不得思路，不能很好地鏈接前面走過的路，往往會從頭開始思考，種種現象透視出學生轉化意識的短缺，故特設此環節，試圖啃一下這塊“硬骨頭”.)

問題4：0.216化成分數是多少？

學生默然不語

師：同學們認識這個小數嗎？

生：循環小數

師：對，是循環小數，但和前面研究過的一樣嗎？

生：不一樣．

師：剛才的循環里面比較純正，沒有多余成分，而這個數呢？

生(少數)：混循環．

師：對，這個應該是混循環，看來同學們在小學少有認識．

(出示純循環、混循環的概念并熟悉，略)．

師(回歸問題)：0.216=？

生12：0.216=0.2+0.016=0.2+1699．

師(反問)：再看一下，相等嗎？

生(計算)：不相等．

但仍然遲疑，很顯然不知道哪里出問題了？

師：你看0.016是純循環嗎？

生12(似有醒悟)：哦，不是．

師：因為此處仍然有一個0不循化，它仍然是混循環，也就是如此處理還沒有從根本上解決問題，但提供了一條路徑，顯然降低了問題的難度，謝謝這位同學的想法!

掌聲．

生13：設0.216=x…(1)，則2.16=10x…(2)，216.16=1000x…(3)，(3)-(2)得：216.16-2.16=1000x-10x，即214=990x，則x=214990．

師(追問)：原來兩個方程就解決了，現在弄出三個方程來，你是怎么想的？

生13：因為前兩個方程體現的是一個混循環、一個純循環，就這兩個并不能把循環部分去掉，但已經把混循環變成純循環了，這樣題目就變成了前面的問題．

師：說的多好呀，這其實就是我們常用的“轉化”，把混循環問題化為純循環問題，問題迎刃而解．

(教學說明：轉化的萌芽已經出現，就等老師的點睛之筆了.這是落實思想方法的契機，豈容錯過!)

六、興味猶在，余味不絕

(教學意圖：“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索”，探索猶在進行，但時間已經不足，怎么辦？只能忍痛割愛，讓課堂的探索就此止步!)

師：混循環小數化分數已經揭開了序幕，同學們已經有了非常好的思路，但其蘊含的規律我們在課堂上已沒有時間探討，只能留在小課題報告中研究了，老師期待同學們的成果．

作業：填寫小課題研究報告．

反思與評價：

1.要知識更要思想

培根有句名言：知識就是力量.把知識推向了一個至高無上的位置，崇尚知識成為頂禮膜拜的上帝，隨著科技的發展、社會的進步，知識的更新讓人眼花繚亂，這樣一個新的問題就擺在了大眾的面前：吾生亦有涯，而知亦無涯，以有涯之生學無涯之識，殆矣!因此，學會學習、學會求知成為一個人必備的基本素養.將來的人才，是會思考的而不單單是懂得很多知識的人.善于思考、肯于思考才是真正的人才．

任何東西只有用較高的觀點來透視，才能看清它的本質，而數學思想方法是在反復理解和運用數學知識的過程中發展和提煉出來的，它具有很強的統攝力和概括性.從學習理論上講，數學思想方法在學習新知的過程中起到一個“先行組織者”的作用，而在知識的鞏固過程中，它又對數學知識起著以綱代目、以簡馭繁、綜合貫徹的作用．

轉化的思想方法在本課例中表現突出，本來循環小數化分數就是轉化，混循環設法向純循環靠攏又是一種轉化，一個人有了這種意識，不但對數學的學習大有裨益，對一個人一生的發展也是無限量的智力資源，一筆不可多得的財富，從這層意義上來說，思想方法才是教學的命脈，才是根!根深才能葉茂!

2.Pisa給予的教學啟示

Pisa測試中的數學素養是一種個人能力，學生能確定并理解數學在社會所起的作用，得出有充分根據的數學判斷和能夠有效的運用數學.這是作為一個有創新精神、關心他人和有思想的公民，適應當前及未來生活所必須的數學能力.Pisa認為，由于學生不可能在學校學到將來生活所需要的每一種知識和技能，因此學校的功能不在于使學生學會事實(learn to know)，而是學會如何學習(learn to learn)；Pisa測試的目的，不在于考察學生現時掌握了多少，而在于了解學生的學習潛力.這個理念，應當成為我國基礎教育評價的核心思想，同時也為我們的教學明確了價值取向．

基于以上認識，我們的課堂教學也應該做一些這方面的嘗試和努力，本節內容立于學業考試的視野外，鮮有人關注成為常態，因為現有的教育體制雖然在改革，評價機制也在轉身，但由于受功利化社會環境的污染深重，淡失了“教書育人”的根本職責，家長、社會、行政部門以“教育GDP”論英雄，這種氛圍促成了教育的現狀，數學教學也概莫能外，教師為分數而進行大量的機械重復訓練，透支學生的身心，丟掉了數學的育人本分(培養思維能力，發展理性思維).作為一名齊魯名師人選，要敢于擔當，把知識作為教學的載體，大力發展學生的思維，要敢于捕捉有利于學生思維發展、理性觀念的素材，為我所用，拋開世俗的壓力，義無反顧地投身探索，不負自己的追求．

作者簡介:邢成云，男，1968年12月生，中學數學高級教師，濱州市有突出貢獻的中青年專家、山東省第二屆齊魯名師、省教學能手、省優秀教師、省師德標兵. 近年來，發表論文150余篇，有5篇被中國人大報刊資料中心期刊《中學數學教與學》全文轉摘，5文索引.研究方向：課堂教學與中考研究.