用數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識二次函數(shù)的ABC

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的系數(shù)a，b，c的符號和它的圖像之間有著相輔相成的關(guān)系.由二次函數(shù)的圖像位置可以得到a，b，c(或者含有的a，b，c的代數(shù)式)的符號；反之，由a，b，c(或者含有的a，b，c的代數(shù)式)的符號也可以確定圖像的位置．

這是一種由形到數(shù)、由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換，是數(shù)形結(jié)合思想的很好的詮釋. 也是一種等價、同一的關(guān)系，要學(xué)好二次函數(shù)內(nèi)容、從容應(yīng)對二次函數(shù)中考題，必須深刻領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想，熟悉二次函數(shù)的a、b、c的這一特點!

從中考命題要求和課程標(biāo)準(zhǔn)的角度來看，關(guān)于二次函數(shù)的a、b、c的試題主要包括三種類型：簡單結(jié)論型、綜合結(jié)論型、結(jié)論組合導(dǎo)出型.現(xiàn)結(jié)合近年中考試題舉例說明如下．

1簡單結(jié)論型

由拋物線的特征得出a，b，c的符號，或者由a，b，c的符號得出拋物線的特征.此類題主要利用下面結(jié)論1解決．

結(jié)論1 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像位置與系數(shù)a，b，c符號之間有下列關(guān)系：

(1)二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向.即a>0開口向上；a<0開口向下．

(2)一次項系數(shù)b攜手二次項系數(shù)a決定拋物線的對稱軸(x=-b2a)的位置:

①b=0拋物線的對稱軸是y軸．

②ab>0（a、b同號)拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)．

③ab<0(a、b異號)拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)．

其中②③簡記為“左同右異”．

(3)c是拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)，并且：

①c=0拋物線經(jīng)過原點．

②c>0拋物線與y軸交于正半軸．

③c<0拋物線與y軸交于負(fù)半軸．

例1 (1)(濰坊市)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖1所示，則ａ、ｂ、ｃ滿足( )

A.a＜0，b＜0，c＞0

B. a＜0，b＜0， c＜0

C. a＜0，b＞0，c＞0

D. a＞0，b＜0，c＞0

(2)(寧夏)已知a<0，b>0，c>0，那么拋物線y=ax2+bx+c的頂點在

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(3)(蘭州市)請選擇一組你喜歡的a、b、c的值，使二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像同時滿足下列條件：①開口向下；②當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減小.這樣的二次函數(shù)的解析式可以是 ．

析解 (1)題中，因為拋物線的開口向下，所以a<0；對稱軸在y軸的左側(cè)，a，b同號，故b<0;因為拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，所以c>0；故應(yīng)選A. (2)題中由a<0，b>0，知x=-b2a>0，又由c>0，知4ac-b2<0，所以y=4ac-b24a>0，所以拋物線的頂點在第一象限內(nèi)，故選A.(3)題中只要滿足a<0，對稱軸為x=2即可，答案不唯一．

點評 這三道題都是直接用結(jié)論1 .其中(1)題是由形到數(shù)，(2)、(3)題是由數(shù)到形.形數(shù)統(tǒng)一、數(shù)形結(jié)合是解決二次函數(shù)問題的常用手段.

2 綜合結(jié)論型

由拋物線位置可以得到一些含有的a，b，c的代數(shù)式的符號，反之由含有的a，b，c的代數(shù)式的符號也可以確定拋物線的位置.這類代數(shù)式有b2-4ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b等等，可以利用下面的結(jié)論2解決．

結(jié)論2 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像位置與含有a，b，c的代數(shù)式之間有如下關(guān)系：

(1)b2-4ac的符號確定圖像與x軸是否有交點：

①Δ>0拋物線與x軸有兩個交點；②Δ=0拋物線與x軸只有一個交點；③Δ<0拋物線與x軸沒有交點．

(2)a+b+c的符號由x=1時y的值來確定；a-b+c的符號由x=-1時y的值來確定．

(3)2a+b的符號由對稱軸x=-b2a與直線x=1的位置決定(見例2(2))．

(4)2a-b的符號由對稱軸x=-b2a與直線x=-1的位置決定(見例2(2))．

例2 (1)(福州市)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖2所示，則下列結(jié)論中正確的是()

A.a＞0 B.c＜0

C.b2－4ac＜0D.a＋b＋c＞0

(2)(鄂州市)已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像如圖3.則下列5個代數(shù)式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大于0的個數(shù)為()

A.2B .3C.4D.5

(3)(濟寧市)小強從如圖4所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像中，觀察得出了下面五條信息：(1)a<0；(2) c>1；(3)b>0；(4) a+b+c>0； (5)a-b+c>0. 你認(rèn)為其中正確信息的個數(shù)有()

A.2個B.3個

C.4個D.5個

析解 (1)題中根據(jù)開口方向a<0，A錯誤；根據(jù)與y軸的交點位置，c>0， B錯誤；根據(jù)與x軸的交點個數(shù)， b2-4ac>0， C錯誤；由圖像可以看出來當(dāng)x=1時，y>0，所以a+b+c>0， D正確，故選擇D.(2)題中根據(jù)開口方向a<0，按照與y軸的交點位置，c<0，所以ac>0; 當(dāng)x=1時，y>0， 所以a+b+c>0; 當(dāng)x=-2時，y<0， 所以4a-2b+c<0; 因為-1<-b2a<1，a<0，所以-2a>-b>2a，2a+b<0，2a-b<0.故選擇A.(3)題中類似于(1)、(2)題進行分析顯然前4個都是正確的，第5個是錯誤的，故選擇C．

例3 (嵊州市)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖5所示，記p=a-b+c+2a+b，q=a+b+c+2a-b，則p與q的大小關(guān)系為

A. p>q B.p=q

C.p

析解類似于例2，由圖像可以看出a<0，c=0，a-b+c<0，2a+b>0，a+b+c>0，2a-b<0，所以p-q=(-a+b-c+2a+b)-(a+b+c-2a+b)=2a-2c=2a<0，p

3結(jié)論組合導(dǎo)出型

利用結(jié)論1和結(jié)論2進行組合，確定一些含有a，b，c的代數(shù)式的符號.

例4 (黃石市)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖6所示，有以下結(jié)論：①a+b+c<0；②a-b+c>1；③abc>0；④4a-2b+c<0；⑤c-a>1其中所有正確結(jié)論的序號是

( )

A.①② B.①③④

C.①②③⑤D.①②③④⑤

析解 由圖像可以看出x=1時，y的符號為負(fù)，x=-1時，y的值大于1，所以a+b+c<0， a-b+c>1①②顯然成立；又a<0，b<0，c>0， 所以abc>0，③成立；因為對稱軸x=-1，且與x軸的右交點為正數(shù)，所以x=-2時y的符號為正，④錯誤；因為a<0，c=1， 所以c-a=1-a>1， ⑤成立；所以選擇D．點評 本題在判斷⑤的時候，不能直接用結(jié)論1或結(jié)論2，需要將a<0，c=1進行組合，得出欲判斷的式子，這屬于結(jié)論組合導(dǎo)出型問題．

例5 (包頭市)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于點(-2，0)、(x1，0)，且10.其中正確結(jié)論的個數(shù)是_____個．

析解 根據(jù)題意，先畫出圖像草圖如圖7，由圖像過點(-2，0)，所以①正確；由對稱軸位置知道-2+12<-b2a<0，且a<0，得出-a>-b>0， 所以a0，又4a-2b+c=0，兩式相加6a+3c>0， 所以2a+c>0， 所以③正確；因為4a-2b+c=0， 又c<2，4a-2b+2>0， ④正確. 答案填4．

點評 本題是一道由數(shù)到形的問題，先畫出圖像，再進行符號判斷.在判斷②③④的時候都是由結(jié)論1和2得出幾個代數(shù)式的符號，再將這幾個已知代數(shù)式的符號組合(相加或者代入)，得到一個新的代數(shù)式的符號，這就是組合導(dǎo)出型問題的基本思路.此類題目是中考的熱點題，同學(xué)們一定要重視!!

作者簡介：李曉東，中學(xué)高級教師， 甘肅省省級青年教學(xué)能手，主編、參編各種教輔材料30余冊，在省級以上刊物發(fā)表教育教學(xué)論文20余篇．