“糊涂”藝術在數學教學中的運用

長期以來，由于受教育是一門科學這一思想的影響，教師特別是數學教師在課堂教學中更傾向于用理性的分析、嚴密的推理、準確無誤的思路向學生講授教學內容.這樣往往造成學生學習主動權的失落，同時也給學生造成一種假象，教師在教學時似乎是百發百中，無往而不勝，把教學過程變成十分神秘的“魔術”.教師把這個魔術的結果呈現給學生，學生在感慨神奇魔術的同時，又對教師變魔術的過程產生了困惑.同樣，學生在學習過程中更想知道知識的形成過程和教師的思維過程，而不僅僅想知道結果.如某一原理或公式是怎樣來的，教師在思維過程中遇到了哪些障礙，又是怎樣嘗試解決的，這些對提高學生的思維能力來說更有意義.

眾所周知，教學不但是一門科學，同時又是一門藝術，是科學性和藝術性相統一的活動.教學的科學性要求教師要做一個聰明人、明白人，同時，教學的藝術性要求教師在適當的時候難得糊涂.笛卡爾說：“不知道在適當的時候糊涂的人就是一個不清醒的人.”同樣，在教學中一個不知道在適當時候“糊涂”的教師也就難以跨越教學中的門檻，難以成長為一名優秀的教師.做這樣的“糊涂”老師，是大智若愚，適當糊涂的背后卻隱含著教學的大智慧.

1 運用“糊涂”藝術，探尋知識的形成過程

傳統的數學教學過程中，教師作為知識的呈現者出現，過于強調對數學概念、法則、性質、公式的灌輸與記憶，過于強調解題技巧和方法的傳授及模仿，忽視了對這些知識的形成、發展和應用過程的揭示與探究.正如特級教師馬明所說：“我國數學教學中違背教學規律的一種常見做法就是把教學作為‘結果’直接拋給學生”.這樣教師把教學作為一個結果進行而不作為一個過程來進行，學生很難真正理解所學習的內容.新課程改革教學理念下的教師不再是知識的簡單呈現者，而是知識的探究者，這一角色的轉變，要求教師不能總是充當無所不知的“智者”，在適當的時候還要扮演糊涂先生.要求教師“揣著明白裝糊涂”，通過教師巧妙地設計教學方案，創設問題情境，提出有啟發性的問題，激發學生的求知欲和好奇心，教師對所提出的問題裝作一無所知，但對解決問題很感興趣，于是與學生共同經歷探索知識形成的過程，在這一過程中，師生一起探究知識的來龍去脈，共同體驗數學發現和創造的歷程及樂趣.教師“裝糊涂”是為了使學生不糊涂，教師偶爾“糊涂”，會激發學生的挑戰欲、好奇心和求知欲，激勵其主動探索、積極創造，完成在教師指導下的以學生為主體的自我教育.

案例1“三角形的概念”的教學片斷

師：剛才請同學們用數學的眼光欣賞了美麗的圖片，請問這些美麗的圖片中都含有哪種平面幾何圖形.

生(眾)：三角形．

師：(多媒體投放圖1所示的三角形)小學時我們已學過三角形的一些知識，從今天開始將進一步學習有關三角形的知識.那么什么樣的圖形叫做三角形呢？

生1：由三條線段組成的圖形叫做三角形．

師：有不同的觀點嗎？

生2：我不同意生1的觀點.老師，你看我畫的由三條線段組成的圖形(如圖2、圖3(用實物投影放映)，可它們卻不是三角形，故應改為：由三條線段首尾順次連接組成的圖形叫做三角形．

師：這下，大家沒異議了吧!

生3：不行!必須添上條件“不在同一條直線上”，否則，組成的圖形可能是線段，我畫給大家看(圖4).故應改為：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接組成的圖形叫三角形．

師：大家一起說說什么樣的圖形叫做三角形？

生(眾)：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接組成的圖形叫做三角形．

師：我們知道圖形的“角”用符號“∠”表示.垂直用符號“⊥”表示，那么，三角形這一圖形該用什么符號表示呢？

生(眾)：用小的三角形圖形．

師：你們是怎么想到的？

生(眾)：受角、垂直的符號表示法的啟發呀!

師：的確，數學家們用小的三角形圖形“△”表示三角形，這一符號形象、直觀，便于記憶.這種考慮問題的方法，叫類比.類比是最有創造力的一種思維方法.它關注兩個對象在某些方面的相同或相似，從而推測它們在其他方面可能存在的相同或相似之處，它是我們解決問題時非常重要的思路.我們知道圖1的三角形中三條線段可分別記作線段AB、BC、CA，三個角可分別記作∠ABC、∠BAC、∠ACB，那么“圖1中的三角形”又該如何用符號表示呢？

生4：記作“△ABC”．

師：能否記作“△BCA”或“△CAB”呢？

(此時，學生竊竊私語，呈現出兩種意見)

生5：不能.因為∠ABC、∠BAC表示不同的角，類比角的表示法，故“△ABC”“△BCA”應表示不同的三角形.所以“△ABC”不能記作“△BCA”.

生6：我認為可以.因為三角形中點A、B、C呈“三國鼎立，勢均力敵”之勢，故“排名不分先后”(眾人大笑)，而角中的A、B、C的地位是不同的!不能盲目類比.

師：××同學(生6)說得太棒了!從中我們得到啟發，有時由類比得到的結論不一定可靠，需要仔細斟酌．

我們知道符號“∠ABC”讀作“角A、B、C”那么符號“△ABC”又如何讀呢？

生(眾)：讀作三角形A、B、C．

……

教學隨想上述教學，教師運用糊涂藝術不斷地“設疑”，把三角形概念的學習組織成學生再創造的過程，在學生思維的最近發展區內創設問題情境，引導學生通過觀察、類比、猜想、分析、驗證，使問題層層推進，從而使學生一步一步地完善自己的認知結構.整個過程教師自始至終“帶著學生走向知識”——授人以漁，充分體現了學生是學習的主人，教師是學生學習的組織者、引導者與合作者的理念.

2 運用糊涂藝術，暴露教師的思維過程

教師在教學時，由于在課下做了大量的準備工作，對如何教學心中有數，所以在課上展示給學生的總是自己正確的思路，而他在解決問題過程中所遇到的失敗、困惑與不斷嘗試擺脫困境的過程往往被掩蓋了.學生看到的教師成功的結果，看不到教師失敗、受困及掙脫困境的過程.這樣學生即使能夠學到東西，學到的也只是一招一式，而不是解決問題的方法和解決問題的思維過程.因此，作為教師在教學中要展示自己的思維過程，要把教師自己真實的解決問題的思路給展現出來，讓學生看到的不僅是老師的成功，還有老師的失敗、受困與掙脫困境的過程，應向學生暴露自己在解決問題時碰壁、受困和試誤過程.這樣學生看到了教師的思維過程，同時體驗到“失敗是成功之母”這條哲理的真實性，他們在解決問題過程中遇到了障礙，也就不會輕易放棄.因此，教師在解決問題過程中，不應一開始就直接向學生展示最終正確的思路，而是運用糊涂的藝術，把自己最初的探索——失敗——再探索的思路呈現給學生.教學“糊涂”藝術的運用技巧要求“教師變‘智叟’為‘愚公’、變‘教者’為‘學者’，要‘旁觀者清’而不‘當局者迷’，要‘望聞問切’而不‘皰丁解牛’.”教師的糊涂不是真糊涂，是明知故犯，是啟發思維，是激勵探索.

案例2在講授全等三角形后，給出一道題：如圖5，已知在正方形ABCD中，M是BC的中點，E是BC延長線上的一點，MN交∠DCE的平分線CN于N，求證：MA＝MN.

為了能讓學生充分體會探索的思維過程，教師沒有直接給出證明思路，而是和學生一起分析與探究：結合已知與結論，要證MA＝MN，可連結AN，證明△ANM是等腰三角形即可，但不易證明.換思路：證明它們所在的兩個三角形全等.可是結合已知，發現這兩個三角形一個是鈍角三角形，一個是直角三角形，不全等，此法行不通.繼續思考，想到構建三角形，通過證明兩個三角形全等來證明線段相等.先試構建一個三角形與△ABM全等，因為△ABM是直角三角形，于是過點N作NF垂直于BE，在證明過程中比較容易找出兩組角相等，但三角形全等至少需要一組邊相等，而找一組邊相等非常困難.教師再提出：能不能再換思路，構建一個三角形全等于△MCN？根據點M是BC的中點，于是找到AB的中點F，連結FM，此輔助線方法非常有效，不僅創設了AF＝MC，而且又得出∠AFM＝∠NCM＝135°，因同角的余角相等，即∠FAM＝∠CMN，就可以利用ASA證明這兩個三角形全等.

教學隨想教師雖然嘗試了幾種不同的解題思路，在解題中沒能百發百中，直接命中目標，但在教師假裝糊涂的解題過程中，向學生交代最初的思維過程，暴露自己在解題過程中所遇到的種種困境和一次次碰壁及隨之改變解題思路的經歷，培養了學生分析和解決問題的能力，學生由此收獲的遠比直接呈現正確的解題思路多得多.

3 運用糊涂藝術，展示學生的思維過程

數學教學是師生、生生互動的過程，每一節課都是師生、生生的激情與智慧互動生成的過程.為了實現互動生成的教學，展示學生的思維過程，教師運用糊涂藝術，為學生構筑自由對話的平臺，采用多樣的對話方式，引導學生自由表達自己的觀點，敏銳地捕捉課堂互動的信息，生成充滿活力和智慧的數學教學.

案例3 某校科技小組的學生在3名老師帶領下，準備前往國家森林公園考察，采集標本.當地有甲、乙兩家旅行社，其定價都一樣.但表示對師生都有優惠，甲旅行社表示帶隊老師免費，學生按8折收費；乙旅行社表示師生一律按7折收費.經核算，甲、乙兩家旅行社的實際收費正好相同.問該科技小組共有多少學生？

(這是七年級數學下學期的一堂《實踐與探索》課，學生在課前完成.)

師：請一位已完成了的同學，把你的解法在黑板上展示以下.

生：解：設科技小組共有x名學生，兩家旅行社定價為“1”.80%x=70%(x+3)，解得x=21.答：該科技小組共有21名學生.

師：對嗎？

生(眾)：對的!

師：如果將題中的科技小組增加學生人數，那么選哪家旅行社較合算？

(此為練習冊案例3后面的小問.同學們七嘴八舌地說開了，討論的氣氛非常熱烈.)

生：我們認為選乙旅行社較合算.我們試算了當增加1人時，甲旅行社：80%(21+1)=176；乙旅行社：70%(3+21+1)=175，176>175.所以，選乙旅行社較合算.

生：我也選乙旅行社，但我認為試增加1人不放心，我一共試了20人，得到這個結論.

師：他們說得對嗎？

生(眾)：對的!

師：他們說得很好.試了一些特殊情況，猜想到選乙旅行社合算，這是一種很好的思維方式，特別在小范圍很有效.但當人數增加為200個時，情況還是這樣嗎？同學們還有其他看法嗎？

(學生沉默了一會兒，有人打破了僵局.)

生：我也選乙旅行社，但我一個也沒試.我認為增加的全是學生，而學生在甲旅行社打8折，乙旅行社打7折.因此，我認為選乙旅行社一定沒錯.

(一片嘩然.對呀!就是!我怎么沒想到呢？)

師：同學們，你們認為剛才那位同學的發言有說服力嗎？

生：有說服力.比前面兩個同學的發言更全面，更有說服力.

師：其他條件不變，選甲旅行社合算，學生人數應有什么變化？

(絕大部分學生很快就有反應.)

生：學生人數小于21名時，選甲旅行社合算.

師：老師人數變為2人，打折情況不變，又如何呢？

(同學們拉著我一起討論，氣氛頓時活躍起來.過了幾分鐘.)

師：請同學們談談你們的見解，好嗎？

生：我通過方程先算出兩家旅行社實際收費一樣的情況，再討論其余情況.

生：我利用前面的結論.因為，當甲旅行社，乙旅行社價格一樣，老師人數學生人數=17=321=17時，得到2學生人數=17.所以，當學生人數為14名時兩家收費一樣.剩下的兩個問題與前面同學的思路一樣.

(這種少見的解法，來得太突然，我該怎么辦？兩秒的思考，讓我選擇正視它.)

師：這位同學的發言很新穎!是否正確，老師需要同學們的幫助，共同探討.(面帶微笑)感謝你向傳統挑戰，向老師挑戰.同學們還有其他想法嗎？

(教室里一片肅靜.學生的眼里充滿了新奇、困惑、佩服……)

生：老師，我還有其他解法.解：設學生人數為x人，單價為“1”.如選甲旅行社，即80%x<70%(x+2)，則x<14；如選甲、乙旅行社一樣，即80%x=70%(x+2)，則x=14；如選乙旅行社，即80%x>70%(x+2)，則x>14.

(又一次面臨挑戰.新教材不等式還沒接觸，只有參加過4月份數學競賽的同學曾自學過.不等式的解法需要講嗎？怎么講？講到什么程度？)

師：剛才那位同學說的是用不等式的方法.是正確的.我們已會解一元一次方程，其原理是保持天平的原始狀態(平衡)；解不等式仍是保持天平的原始狀態(不平衡).這是我們以后要專題研究的內容.有興趣的同學，課后可以繼續研究、探討.

(一節課時間很快過去，原有的教學計劃沒有完成，安排在課后繼續討論.)

師：因為時間關系，今天課堂上的討論只能到此.請同學們下課以后繼續討論同學提出的比例式是否成立？然后分小組互相編出類似今天討論的例題的應用題，每人編兩個，并自選兩題完成.

(課后與同學們共同探討出：設學生人數為x人，老師人數為y人.有 80%x=70%(x+y)，xy=71比例式成立.)

教學隨想就這堂課而言，我遇到了兩次挑戰.以往的教學模式僅僅會應用傳統知識就行了.多年的七年級教學，從未有人提起可否用比例的方式解此題.突如其來的回答，令我失去正常的冷靜與思考.可慶幸的是我的“糊涂”，令學生第二次挑戰再次發起.回憶當時的情境，若為維護我所謂的“聰明”，固執地駁回了第一名學生的發言，告訴他們用方程就行了，將會扼殺多少同學的積極性，后面還會有第二位同學大膽的發言嗎？會有課后積極討論比例式是否成立的情境嗎？會有學生告訴我，他們喜歡這樣平等、融洽的課堂嗎？雖然當時老師有點尷尬，但能以誠相待，適當“糊涂”，換來的是同學們更積極的討論與和諧的創新氣氛.同時也提醒我，在備課時，不僅要備教材，更要備學生，備教法，備各種教學情境.在教學中要保持一種與學生共同學習、探索的心態，并與學生共同體驗創造性勞動所帶來的愉悅.

作者簡介:趙緒昌， 男，1963年生，主任，四川宣漢人， 中學特級教師，四川省學術和技術帶頭人，蘇步青數學教育獎和國務院政府特殊津貼獲得者，主要從事中學數學教學研究和中小學教育科學研究．