中考結構性變式題的探究和啟示

2011年的中考已經(jīng)結束，翻閱了全國150多個地區(qū)的中考試卷，發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象就是純代數(shù)、純幾何和以函數(shù)為背景的結構性變式的壓軸題大量涌現(xiàn).為什么中考中出現(xiàn)這種趨勢？此類題有什么特點？對我們今后的教學有什么啟示？筆者試著就這些問題進行探究.

1 問題的提出

1.1 現(xiàn)實的需要性

數(shù)學教學實質是問題教育，離不開解題.往往需要學生形成初步知識、技能后及時鞏固、深化已獲知識.那怎樣的問題既可幫助學生深化理解、認識問題本質，獲得更高層次的統(tǒng)一與發(fā)展，又能避免“題海”戰(zhàn)術呢？“變式教學”是很好的載體，符合素質教育大背景下的“優(yōu)質輕負”時代要求.“變式教學”既讓學生理解數(shù)學知識(概念系統(tǒng))、數(shù)學思想與數(shù)學方法，同時又培養(yǎng)舉一反三、靈活應用、獨立思考等能力，也培養(yǎng)發(fā)散性思維和創(chuàng)新能力.能有效減輕學生的學習負擔、提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，是一個極富現(xiàn)實意義和迫切性的課題，值的廣大教師和教育科研人員研究.

1.2 結構性變式的涵義及分類

“數(shù)學問題結構性變式”顧名思義就是對數(shù)學問題的“結構特征”進行改變.每個數(shù)學問題可分解為表面形式特征和深層數(shù)學特征的雙重結構特征.表面形式特征是指問題呈現(xiàn)的表述方式的淺層特征；數(shù)學結構特征指涉及問題本質的概念、關系與原則等的深層特征.數(shù)學問題結構性變式根據(jù)其改變的結構特征所涉及的深度又可分為水平變式和垂直變式.

在解決問題的過程中，都會涉及加工者的記憶容量和信息加工的負荷，這就是“認知負荷”.若學生能區(qū)分新問題表面形式特征變化背后的結構特征變化，而認知負荷不變化，這種是水平變式；若學生不能區(qū)分新問題表面形式特征變化背后的結構特征變化，認知負荷增加，則為垂直變式.其解決問題的過程中“認知負荷”變化情況是判斷的標準.

例1 (2010年江蘇淮安)(1)觀察發(fā)現(xiàn)：

如圖1，若點A，B在直線l同側，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最小.

做法如下：作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′，與直線l的交點就是所求的點P.再如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小.

做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為 .

(2)實踐運用：

如圖3，已知⊙O的直徑CD為4，AD的度數(shù)為60°，點B是AD的中點，在直徑CD上找一點P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.

(3)拓展延伸：

如圖4，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.

“源問題”是“(1)觀察發(fā)現(xiàn)：圖1或圖2”或以課本習題“將軍飲馬問題”為原型，考查了折線之和最小值問題，涉及的知識點主要有兩點之間線段最短、軸對稱變換、對稱點的作法等.再加上三角形和勾股定理知識可解得BP+PE的最小值為3.

相對源問題，“(2)實踐應用”是水平變式，其水平變式部分是：把BP+PE的最小值問題的背景由“在等邊三角形ABC中”變?yōu)椤霸凇袿中”、“點E是AB的中點”改為“點B是AD的中點”.其中“⊙O的直徑CD為4，AD的度數(shù)為60°，點B是AD的中點”是變換的新部分，而新部分并沒有帶來認知負荷的變化，這種變式就是水平變式.如圖5所示，結合圓的知識易知BP=EP，△OAE為等腰直角三角形，可得AE=AP+BP=22.

相對于“(2)實踐應用”來說，“(3)拓展延伸”則是垂直變式，其垂直變式部分是：由“⊙O的直徑上找一點P”改為“在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P”、由“求BP+AP的最小值”改為“使∠APB=∠APD”.其中“在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD”是變換的新部分.如圖6，增加了“求BP+AP的最小值”改為“使∠APB=∠APD”和所求點P“在一點與另一點的對稱點所連接的線段中間”變成“在所連線段的延長線上”，明顯的增加了學生的認知負荷.尤其是學生受“負遷移”影響，很難把線段最短與角相等聯(lián)系起來.顯然，對于初中學生已有的認識水平和思維結構來說，在區(qū)分這個問題的表面形式特征變化背后的結構特征變化時增加了認知負荷，為垂直變式.因此水平和垂直變式的區(qū)分是以學生的感知為標準，其“認知負荷”是分類的準繩.

可見，水平變式是在同一結構層次下對“源問題”的重復或稱“量變”.但學生的思維發(fā)展是呈螺旋式上升，這就需要在水平變式教學后設置些突破“源問題”的垂直變式，實現(xiàn)學生的思維由“量變”到“質變”的飛躍.因此，數(shù)學問題結構性變式的”認知負荷”要在學生可承受的范圍即最近發(fā)展區(qū)內.

2 中考典型的結構性變式載體

2.1 純代數(shù)問題的結構性變式

例2 (2011年貴州貴陽)用長度一定的不銹鋼材料設計成外觀為矩形的框架(如圖7①②③中的一種).

設豎檔AB=x米，請根據(jù)以上圖案回答下列問題：(題中的不銹鋼材料總長均指各圖中所有黑線的長度和，所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行)

(1)在圖①中，如果不銹鋼材料總長度為12米，當x為多少時，矩形框架ABCD的面積為3平方米？

(2)在圖②中，如果不銹鋼材料總長度為12米，當x為多少時，矩形框架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？

(3)在圖③中，如果不銹鋼材料總長度為a米，共有n條豎檔，那么當x為多少時，矩形框架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？

分析 問題(1)是源問題，是典型的用一元二次方程解面積的應用題.根據(jù)建構主義原理和學生以有的認知水平(已學一元二次方程的解法)，學生都會想用“AB的長為x來表示長方形的長”，然后再根據(jù)長方形的面積公式列出一元二次方程求出未知數(shù).源問題提供了利用一元二次方程求解得模板，其中包含了問題解決的關鍵因素：問題解決的思路、規(guī)則適用的條件等.

問題(2)是水平變式題，變式部分是：由“原來1根豎檔”改為“2根豎檔”和“矩形框架ABCD的最大面積”.由此引起的變化是學生在表示長方形的長由(4－x)變成(4－43x)和一元二次方程變成函數(shù).這個變化屬于同一認知水平層次的變化.問題(3)是垂直變式題，變式部分是：不銹鋼材料總長度為a米、n條豎檔.新增加了“含字母系數(shù)的一元二次函數(shù)”，學生思維需由原先“解一元二次方程”跳躍到“列二次函數(shù)，并用頂點坐標式求最大值”.但通過反思問題(1)、(2)解題思路，學生還是能抓住垂直變式(3)的問題本質是利用二次函數(shù)求最大值.

答案：(1)當AB為1或3米時，矩形框的面積為3平方米.

(2)當x=32時面積最大，為3平方米.

(3)S=x×a-nx3=-n3x2+a3x=-n3x-a2n2+a212n，所以當x=a2n時面積最大為a212n平方米.

2.2 純幾何問題的結構性變式

例3 (2011年浙江義烏)如圖8，在等邊△ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點(點P與點C不重合)，連結BP.將△ABP繞點P按順時針方向旋轉α角(0°＜α＜180°)，得到△A1B1P，連結AA1，射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點E、F.

(1)如圖8，當0°＜α＜60°時，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在 ▲ 關系(填“相似”或“全等”)，并說明理由；

(2)如圖9，設∠ABP=β.當60°＜α＜180°時，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關系；若不存在，請說明理由；

(3)如圖10，當α=60°時，點E、F與點B重合.已知AB=4，設DP=x，△A1BB1的面積為S，求S關于x的函數(shù)關系式.

分析 源問題（圖8）主要考查了相似三角形的判斷(有兩只角相等的三角形相似)，其中涉及的核心知識：旋轉變換的性質如旋轉不改變圖形的形狀和大小、旋轉角和等腰三角形的性質等.為后面的變式奠定了基石，是變式的主線，變式就是圍繞這個“本質”和數(shù)學結構這個“中心軸”發(fā)展.

問題（2）是水平變式，其變式部分為：旋轉角度由“0°＜α＜60°”改為“60°＜α＜180°”，和“△BEF與△AEP相似”變成“能否全等”.這些條件的變式，學生需沿著源問題的解題思路任然能輕易解決，不同之處是需在相似的基礎上“增加一對邊相等”即可.屬于同一認知層次，沒有增加學生的認知負擔.

問題(3)是垂直變式，雖說是旋轉到特殊位置α=60°，但其變式部分是：點E、F與點B重合.設DP=x，△A1BB1的面積為S，求S關于x的函數(shù)關系式.其學生的思維由原先的“三角形相似、全等”突然跨越到“三角形的面積、函數(shù)關系式”，而且增加了輔助線的添加的技能，無形中拔高了學生的思維要求給學生帶來了認知負荷.是個典型的以“水平變式”為鋪墊的“垂直變式”.

答案：(1)相似.

(2)存在.關系式：α=2β+60°.

(3)如圖11，連結BD，交A1B1于點G；過點A1作A1H⊥AC于點H.因為∠B1A1P=∠A1PA=60°，所以A1B1∥AC.由旋轉變換得AP=A1P，∠A=60°，所以△PAA1是等邊三角形，A1H=32(2+x).在Rt△ABD中，BD=23，可得BG=23-32(2+x)=3-32x.所以S△A1BB1=12×4×3-32x=23-3x(0≤x＜2).

2.3 函數(shù)背景下的結構性變式

例4 (2011年福建泉州)在直角坐標系中，已知點P是反比例函數(shù)y=23x(x＞0）圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A.

(1)如圖12，⊙P運動到與x軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由.

(2)如圖13，⊙P運動到與x軸相交，設交點為B，C.當四邊形ABCP是菱形時：

①求出點A，B，C的坐標.

②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的12.若存在，試求出所有滿足條件的M點的坐標，若不存在，試說明理由.

分析 源問題(圖12)主要是考查：在直角坐標系為載體的圓與直線相切的性質、反比例函數(shù)等知識.本題是個動點、動圓問題，問題(1)是當圓移動到特殊位置時，利用所學圓和反比例函數(shù)、特殊平行四邊形等知識判定四邊形OKPA的形狀.這些解題思路是解決后面變式習題的“引線”，學生通過解決“源問題”獲得的數(shù)學基本活動經(jīng)驗把思路“遷徙”到水平變問題(2)①如圖13.其水平變式部分是：⊙P運動到與x軸相交，得兩個交點B，C.當四邊形ABCP是菱形時，求出點A、B、C的坐標.其新增部分為“與x軸相交”和“四邊形ABCP是菱形”.由于求“點A，B，C的坐標”，學生會根據(jù)平時和“源問題”獲得的數(shù)學基本活動經(jīng)驗，順利的添加輔助線PB、PG構造Rt△PBG.這些都是平時學生已有的認知和技能，學生并沒有增加認知負擔，是水平變式的典范“跳一跳，摘到桃”.

相對于問題(1)和問題(2)①，垂直變式問題(2)②則是在前兩題的“量”積累上實現(xiàn)“質”的飛躍.垂直變式部分是：“在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的12.”新增部分不僅有“拋物線、同底等高的兩個三角形面積相等、夾在兩平行線間的距離處處相等“，還考查了分類討論思想.學生要完整的解決需要很高的認知和思維，增加學生的認知負擔，具備中考的選拔性功能題.

答案：(1)四邊形OKPA是正方形，理由略.

(2)①連接PB，設點P的橫坐標為x，則縱坐標為23x.過點P作PG⊥BC于G.

因為菱形，所以BC=PA=PB=PC，△PBC為等邊三角形.在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=23x.sin∠PBG=PGPB，即32=23xx.解得：x=±2(負值舍去).因為PG=3，PA=BC=2.易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，所以OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3.所以A(0，3)，B(1，0) C(3，0).

②設二次函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c.得：a+b+c=0

9a+3b+c=0

c=3，所以：a=33，b=-433，c=3.

即二次函數(shù)為：y=33x2-433x+3.

設直線BP為：y=ux+v，得：u+v=0

2u+v=3，

所以u=3，v=-33.即直線B為：y=3x-33.

情況1：過點A作直線AM∥PB，則可得直線AM的解析式為：y=3x+3.解方程組：y=3x+3

y=33x2-433x+3得x1=0

y1=3；x2=7

y2=83.

情況2：過點C作直線CM∥PB，則可設直線CM的解析式為：y=3x+t.代入點C可得直線CM為：y=3x-33.解方程組：y=3x-33

y=33x2-433x+3，得x1=3

y1=0；x2=4

y2=3.綜上可知，滿足條件的M有4個(0，3)、(3，0)、(4，3)、(7，83).

3 關于中考題結構性變式的啟示

3.1 命題的啟示

為什么近些年在中考中大量的出現(xiàn)這些純代數(shù)、純幾何和以函數(shù)為背景的結構性變式的壓軸題？筆者研究發(fā)現(xiàn)，這些變式試題都是漸漸地增加認知負荷，注重題與題之間的變化，由水平變式到垂直變式，逐步區(qū)分表面形式特征并提取數(shù)學結構的元素，逐步區(qū)分題目中的數(shù)學結構的元素，發(fā)現(xiàn)“變中的不變”，同時培養(yǎng)“以不變應萬變”的能力，從量變到質變，漸漸領悟，把握數(shù)學教學的規(guī)律.這樣的命題既符合學生思維的螺旋式發(fā)展的規(guī)律，又能培養(yǎng)學生的高層次思維的需求；不但能起到很好中考題“選拔性”功能，也對廣大教師平時的“題?！笔降膽嚱逃鸬揭粋€標桿引導作用.

3.2 教學的啟示

中考命題的老師們?yōu)槭裁垂餐矚g這類題型呢？對我們的平時教學又有什么影響呢？筆者研究認為，命題老師在選擇試題的時候要考慮的幾個因素：1.選拔性功能；2.考查學生“四基”掌握的情況；3.中考的“風向標“作用.一道試題命制的過程，猶如一尊藝術品的加工，一般要經(jīng)歷“立意——情境——設問——修飾”的過程.考查的知識都限定在《數(shù)學課程標準》要求范圍內，其試題都能看到教材習題的影子.在考查基礎知識、基本技能的同時，更注重基本思想方法、和數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累.

這啟發(fā)我們在日常的教學活動中，要加強對課程的研究，重視教材例題、習題的拓展，充分挖掘它們.用足、用透、用到位，從中讓學生獲得解決問題的新方法、新思想，只有學生和老師都重視課本資源的開發(fā)和利用，我們的教學才會走上素質教育的正軌，遠離“分數(shù)教學”的怪圈.學生的創(chuàng)新意識和發(fā)散性思維的培養(yǎng)才能事半功倍.

作者簡介：勞海峰，1978年1月生，主要研究數(shù)學解題、課堂教學問題.