與函數有關的典型中考題析解

函數是刻畫變量與變量之間依賴關系的模型，是“數與代數”領域中最重要的數學概念之一，是代數的“紐帶”，因而成為中學數學的核心內容.這部分內容主要有：對平面直角坐標系的認識、對函數的有關認識、一次函數(含正比例函數)、反比例函數及二次函數的圖象及其性質，利用函數的有關知識解決實際問題等.函數知識具有廣泛的應用性，我們在解決生產生活中的許多實際問題時，往往采用函數作為建模的基本工具，函數的有關知識是我們教學的重點內容.各地的中考題中都有考查函數內容的題目，其考查形式有填空題、選擇題、解答題.

1 2011年中考數學試題中函數考點情況

我們認真分析了2011年各地的中考數學試卷(含部分初中畢業考試試卷)，利用“樣本估計整體的思想”將部分(共16套試卷)中考試卷中，考查“函數”內容的三種形式(填空題、選擇題、解答題)的分值、總分及在整套試卷中所占百分比的情況統計如下表：

說明：“內容有交叉”的是指本題除考查函數知識外還考查其他知識，如南京市的第6題既考查函數的知識又考查了勾股定理的知識.凡是“內容有交叉”的選擇題或填空題，將該題所占分數直接統計到對函數考查之列；“內容有交叉”的解答題一般含有多問，只把從題目表面與函數直接有關的一問作為函數部分統計，而且這一問所占分一般是估算出來的.如北京市的第25題有三問，共8分，第一問主要考察“圓的對稱性”、“勾股定理”等知識，第三問主要考查四邊形的知識，只有第二問以考查函數的知識為主，故我們按2分進行統計.所以，我們給出的這個統計也不是絕對的.

從以上對16份試卷的統計中可以發現，考查函數內容的題目所占的分數平均占試卷總分的227%，其中最少的安徽省占162%，最高的廈門市占273%.與2010年相比，我們所統計的這16個省市卷中，有11個省市的比例在增加，有3個省市有所下降，另有2個省市與去年的比例持平.

2 2011年中考數學試題中與函數有關的典例分析

我們認真分析了2011年各地中考數學試卷中考查函數內容的題目，可以分為以下幾類，下面舉例說明.(注：所舉例題均為2011年各地的正式中考題目，文中只給出解題分析和答案，詳細步驟讀者自己完成)

2.1 考查學生對有關函數基礎知識的理解和應用

函數的基礎知識，主要指變量、常量、函數的概念、表示方法、性質、圖象等，這些內容是學習函數及其他相關內容的基礎，各地的中考題中都有考查這些內容的題目.

例1 (北京市)拋物線y=x2-6x+5的頂點坐標為( )

A.(3，-4) B.(3，4)

C.(-3，-4)D.(-3，4)

分析 本題主要考查學生對二次函數的代數式進行變形的能力，是所有學生都能解答的基礎性題目，屬于教學最低平臺上的最低要求.直接將y=x2-6x+5進行配方就可得到答案.

解 選A.

例2 (上海市)函數y=3-x的定義域 .

分析 我們知道函數中自變量的取值必須滿足兩條：一要保證解析式子本身有意義；二要保證函數關系所反映的實際問題有意義.就本題而言，由于函數關系是用二次根式表示的，所以只要能使被開方數的值不小于0的所有x都是有意義的.

解 定義域為x≤3.例3 (杭州市)如圖1，函數y1=x-1和函數y2=2x的圖象相交于點(M，m)，N(-1，n)，若y1＞y2，則x的取值范圍是( )

A.x＜-1或0＜x-＜2

B.x＜-1或x＞2

C.-1＜x＜0或0＜x＜2

D.-1＜x＜0或x＞2

分析 本題主要考查學生對函數性質及其圖象的掌握情況.只要能由函數關系式y1＞y2，得出函數y1的圖象在函數y2的圖象的上方即可.根據圖象直接得出x的取值范圍是-1＜x＜0或x＞2.

解 選D.

啟示 縱觀2011年全國各地的中考試題，注重考查基本知識是其基本的特點.前面的這三個例題就是典型的“送分”題.

這就要求我們在教學中應加強基礎知識的教學，這里的基礎知識應為基本知識、基本技能、基本思想與基本活動經.對于這些基礎知識的教學，有效的做法是讓學生“經歷三個過程，參與一個活動”：其一，經歷將一些實際問題抽象為數與代數問題的過程，掌握有關數與代數的基本知識和基本技能；其二，經歷圖形的抽象、分類、性質探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基本知識和基本技能；其三，經歷在實際問題中收集和處理數據、利用數據分析問題、獲取信息的過程，掌握統計與概率的基本知識和基本技能；其四，參與綜合實踐活動，積累綜合運用數學知識、技能和方法解決簡單問題的數學活動經驗.長期經過這樣的訓練，學生就能扎實掌握基礎知識，形成基本技能、掌握基本思想并積累一些基本的數學活動經驗，這才是數學教學的根本所在.教師千萬不可一味將眼光放在高分題、壓軸題上，否則，將會得不償失，掛一漏萬，對此，教師們在教學中應引起足夠的重視.

2.2 以函數為載體注重對數學活動過程的考查

例4 (河北省)如圖2(1)所示的程序，得到了y與x的函數圖象如圖2(2)，若點M是y軸正半軸上任意一點，過點M作PQ∥x軸交圖象于點P、Q，連接OP、OQ，則以下結論：

(1)x＜0時，y=2x.(2)△OPQ的面積為定值.

(3)x＞0時，y隨x的增大而增大.(4)MP=2PM.

(5)∠POQ可以等于90°.

其中正確結論是( )

A.(1)(2)(3)B.(2)(4)(5)

C.(3)(4)(5)D.(2)(3)(5)

分析 解答選擇題的方法有多種，既有直接解法，也有間接解法.本題可用排除法把錯誤的選擇支逐個排除掉，從而得到正確的選擇支.首先根據給定的計算程序確定出y與x之間的函數關系式，然后根據所得函數的性質進行判別.

解 當x＜0時，根據計算程序可知y=-2x，顯然(1)是錯誤的；當x＞0時，由計算程序可知y=4x，此時y隨x的增大而減小，故(3)錯誤.從而可排除A、C、D三個選擇支，由于選擇題中總有一個結論是正確的(原題中有說明)，因此B是正確的.

啟示 本題以計算流程的形式考查函數的相關知識，立意新穎，解法具有指導意義.本題采用排除法解答，根據題意排除A、C、D三個選擇支后，剩余的B就是正確的了，所以對于結論(2)(4)(5)的正確性是無需說明或證明的.

我們在數學教學中，應根據學生的思維特點，結合具體的學習內容精心設計一些形式獨特、運算方便，且并不以考查某個特定的知識點為目的，而是以考查能力為立意的題目，由于這樣的題目能拓寬學生的思維空間、激勵學生進行積極的思考，并且有利于培養學生的創新意識，所以常常受到命題者們的“青睞”.

2.3 關注函數與方程的橫向聯系

例5 (山西省)如圖3，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，與反比例函數y=mx的圖象交于C、D兩點，DE⊥x軸于點E.已知C點的坐標是(6，-1)，DE=3.

(1)求反比例函數與一次函數的解析式.

(2)根據圖象直接回答：當x為何值時，一次函數的值大于反比例函數的值？

分析 (1)把點C的坐標(6，1)代入y=mx，可求出m的值.因為D點在反比例函數y=mx的圖象上，DE⊥x，DE=3，所以可求出點D的坐標，把C、D兩點的坐標代入一次函數y=kx+b中，可求出k、b的值.(2)當一次函數圖象在反比例函數圖象上方時，一次函數的值大于反比例函數的值.

解 (1)反比例函數的解析式為y=-6x，一次函數的解析式y=-12x+2.

(2)當x＜-2或0＜x＜6時，一次函數的值大于反比例函數的值.

啟示 考察函數知識常見的題型之一便是求函數的解析式，而求解析式的通法就是用待定系數法確定出未知的系數，這常需要根據給定條件首先列出方程或方程組，所以考察函數問題時常與方程的知識融合在一起.本題的第一問求反比例函數與一次函數的解析式就充分體現了這種聯系.這就要求我們在教學時不要孤立知識，要把知識放在與其他知識相關的結構中進行，特別是進行數學復習時，一定要通過知識的梳理來優化學生的知識結構，只有這樣的知識結構才具有遷移性和創新性.

考查學生從圖象中獲取信息、建立并求解方程組的能力，體現了函數與方程之間具有實質性關聯的數學觀點.一次函數圖象與反比例函數圖象或二次函數圖象相交的問題是中考題中常見的題型，一般是給定一個交點的坐標，讓同學們解答有關的問題.這樣的題目考查的知識點較多，對學生平常的學習情況是一個很好的“檢驗”.

2.4 與幾何知識有機結合，綜合考察學生的解題論證等能力

例6 (天津市)已知拋物線C1∶y1=12x2-x+1，點F(1，1).

(1)求拋物線C1的頂點坐標；

(2)①若拋物線C1與y軸的交點為A，連接AF，并延長交拋物線C1于點B，求證：1AF+1BF=2.

②拋物線C1上任意一點P(xP，yP)(0＜xP＜1)，連接PF.并延長交拋物線C1于點Q(xQ，yQ)，試判斷1PF+1QF=2是否成立？請說明理由；

(3)將拋物線C1作適當的平移，得拋物線C2：y2=12(x-h)2，若2＜x≤m時，y2≤x恒成立，求m的最大值.

分析 (1)對二次函數解析式進行變形即可.C1的頂點坐標為(1，12).(2)①欲證明1AF+1BF=2，需要求出AF、BF的長來.容易求出A點的坐標為(0，1)，根據已知F(1，1)，可知AB∥x軸.觀察發現BF=AF=1.②如圖4，過點P(xP，yP)作PM⊥AB于點M，則FM=1-xP，PM=1-yP(0＜xP＜1)，考慮到△PMF是直角三角形，根據勾股定理可得PF2=FM2+PM2=(1-xP)2+(1-yP)2，結合點P(xP，yP)在拋物線C1上的特點可推知PF=yP.同理過點Q(xQ，yQ)作QN⊥AB，與AB的延長線交于點N，可得QF=yQ.觀察可知△PMF∽△QNF，由此得到PFQF=PMQN，注意的是PM=1-yP=1-PF，QN=yQ-1=QF-1，所以PFQF=1-PFQF-1，即1PF+1QF=2.(3)令y3=x，如圖5，設其圖象與拋物線C2交點的橫坐標為x0，x0′，且x0＜x0′，則x0，x0′的值隨C2向右不斷平移而增大，當2＜x≤m，y2≤x恒成立時，m的最大值在x0′處取得，m的最大值為8.

啟示 這是一道綜合性的題目，考察了學生求二次函數解析式的能力、推理論證的能力，是典型的“幾何與代數”密切相結合的題目.類似這樣的題目體現了課程改革的方向，教師們在教學中應給予足夠的重視.題目給我們的啟示是涉及線段的比值問題時，可考慮證與之相關的三角形相似，這是同學們學習的難點，教學時應結合典型的例題加強這方面的訓練.對于問題(3)，解答的關鍵是根據題意畫出平移后的拋物線找出其中的對應點.

函數與幾何結合的題目很多，形式多樣，例如，有的題目告訴我們某個圖形的頂點在某種函數圖象上，或是某兩個函數圖象的交點，讓同學們求圖形的面積問題或探究圖形的形狀.

2.5 建立函數模型解答實際問題

例7 (寧波市)我市某林場計劃購買甲、乙兩種樹苗共800株，甲種樹苗每株24元，乙種樹苗每株30元.相關資料表明：甲、乙兩種樹苗的成活率分別為85%、90%.

(1)若購買這兩種樹苗共用去21000元，則甲、乙兩種樹苗各購買多少株？

(2)若要使這批樹苗的總成活率不低于88%，則甲種樹苗至多購買多少株？

(3)在(2)的條件下，應如何選購樹苗，使購買樹苗的費用最低？并求出最低費用.

分析 本題的第(1)(2)問分別可以通過建立方程模型、不等式模型解答.第一問有兩個等量關系：一是甲、乙兩種樹苗的總數800株；二是購買這兩種樹苗所用錢數21000元，設出甲、乙兩種樹苗的株數，可建立方程組.設購買甲種樹苗x株，乙種樹苗y株，則x+y=800

24x+30y=21000，解得x=500

y=300.第二問根據總成活率不低于88%，列出不等式.設購買甲種樹苗z株，乙種樹苗(800-z)株，則85%z+90%(800-z)≥88%×800，解得z≤320.第(3)問的根本在于通過確定選購方案，使得費用最低.類似這樣的求實際問題的最大值或最小值的問題，通常是通過構造函數模型，應用一次函數或二次函數的性質加以解決.根據購買樹苗的總費用與購買甲種或乙種樹苗的株數可確定函數關系式，通過求函數的最小值獲得解答.設購買甲種樹苗m株，購買樹苗的費用為W元，則W=24m+30(800-m)=-6m+2400.可見W是關于m的一次函數，并且W隨m的增大而減小.因為0＜m≤320，所以當m=320時，W有最小值，W最小值=2400-6×320=22080(元).

啟示 本題從實際問題(購買樹苗)出發，分別考察學生用方程知識、不等式知識、以及函數知識解答實際問題的能力.首先要求學生對實際問題進行抽象概括，建立方程模型、不等式模型及一次函數模型，然后利用有關知識給出進一步的解答.以學生學習或生產生活中的實際問題為背景，讓學生經歷建立“建立模型—求解問題”的過程，解答過程恰好體現了“問題情境—建立數學模型—求解、應用和拓展”的教材編排體系，同時還教育了學生遇到實際問題時，要學會用數學的知識進行科學分析，提高了學生對“數學即生活”的認識.屬于中考的熱點題型.我們在教學中要時刻注意綜合利用有關的教育資源，從多角度、多層次運用所學的數學知識和方法解決生產、生活中所遇到的實際問題，培養學生的應用意識.

伴隨著當今社會科學技術的飛速發展，數學已經滲透到各個領域，與之相關的問題涉及到我們生活的方方面面，通過建立數學模型解答這些與我們生活有關的問題是未來學生必備的一種素質.因為，學生在建立數學模型解答它們時，除必須全面掌握數學知識外，還要具有豐富的生活常識和較強的閱讀理解能力，以及將實際問題轉化為數學問題的數學建模能力，這樣的問題具有把學習知識、應用知識、探索發現、使用計算機工具、培養良好的科學態度與思維品質等很好的結合起來的“效能”.學生通過數學建模，能體驗到數學與日常生活及其它學科的聯系，感受到數學的實用價值，增強應用意識，提高實踐能力，還能培養學生認真求實、崇尚真理、追求完美、講求效率、聯系實際的學習態度和學習習慣.因此，加強數學建模教學具有重要的現實意義和方法論價值.

2.6 把函數知識與動態幾何結合考查學生的綜合解題能力

例8 (廣東省)如圖6，拋物線y=-54x2+174x+1與y軸交于A點，過點A的直線與拋物線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C(3，0).

(1)求直線AB的函數關系式；

(2)動點P在線段OC上從原點出發以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N.設點P移動的時間為t秒，MN的長度為S個單位，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

(3)設在(2)的條件下(不考慮點P與點O，點C重合的情況)，連接CM，BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由.

分析 (1)先求A、B兩點坐標，再利用待定系數法求出直線AB的解析式：y=12x+1.(2)S=MN=NP-MP=-54t2+174t+1-(12t+1)=-54t2+154t(0≤t≤3).(3)當MN=BC時，四邊形BCMN為平行四邊形，則有-54t2+154t=52，可求出t=1或2，根據t的值，討論四邊形BCMN是否為菱形.當t=1時，四邊形BCMN為菱形.而當t=2時，則不是菱形.

啟示 本題將直線與拋物線相結合，以運動為載體，全面考查了一次函數、二次函數、特殊四邊形等初中數學的核心知識.同時還考察了數形結合思想、方程與函數思想等重要的數學思想.所以這是一道關于動態幾何的函數綜合壓軸題.關于動態幾何的函數綜合壓軸題已成為中考命題的熱點.解決此類問題的一般思路是化動為靜，找出圖形變化中不變的量和等量關系，構建相應的函數模型，從而達到解答的最終目標.這樣的題目對于考查學生的閱讀理解能力，綜合分析與判斷能力都是非常有益的.

我們在教學中要夯實基礎知識、滲透常見的思想方法，通過分析、綜合，把所學的知識序列化、結構化.養成勤于思考、善于思考的良好習慣，強調、重視論證推理的同時強化合情推理的教育.這樣以來，學生的綜合素質將會不斷地得到提高和鍛煉，遇到綜合性的問題時就能冷靜思考、認真分析、科學判斷、準確解答，從而取得好的成績.