立足教材,引領課堂,凸顯能力

南京市2011年初中畢業學業考試第28題以“課題學習”的形式出現，是一道考查過程與方法的好題，體現了命題者對發展代數推理能力的關注，對于廣大數學教師的教學有著非常好的導向作用，凸顯了數學教學的本質.本題引發了筆者對“數與代數”中推理能力的培養的回顧與反思，有了一些認識，現撰寫成文，與同仁們交流．

1 試題呈現

1.1 問題情境

已知矩形的面積為a(a為常數，a＞0)，當該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？

1.2 數學模型

設該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為y=2(x+ax)(x＞0)．

1.3 探索研究

(1)我們可以借鑒以前研究函數的經驗，先探索函數y=x+1x(x＞0)的圖象性質．

① 填寫下表，畫出函數的圖象(圖1所示坐標系中)：

②觀察圖象，寫出該函數兩條不同類型的性質；

③在求二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到.請你通過配方求函數y=x+1x(x＞0)的最小值．

1.4 解決問題

(2)用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案．

2 教材回顧

本題源于教材《“蘇科版”義務教育課程標準實驗教科書#8226;數學》(以下簡稱“課本”)．

函數是“數與代數”中的重要內容.《課程標準》對該內容提出的具體目標是：結合具體情境體會函數的意義，能根據已知條件確定函數的解析表達式；能畫出函數的圖象，根據函數的圖象和解析表達式探索并理解圖象的變化情況；能用函數解決簡單實際問題.課本將該內容分別編排在八年級(上冊)第五章一次函數、八年級(下冊)第九章反比例函數和九年級(下冊)第六章二次函數中，按照“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的模式展開．

課本在內容編寫上，以“一次函數”為基本的認知結構，通過“觀察與思考”、“操作與思考”、“思考與探索”、“嘗試與交流”等內容的數學活動，不斷類比，學習“反比例函數”、“二次函數”，為后續學習其它類型的函數提供基礎與方法．

由此可見，本題的選材源于課本.本題的編制、設問突出課本編寫思路中的“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”模式．

3 課堂反思

3.1 關注課堂中過程與方法的教學

本題是課堂教學中“一次函數”、“反比例函數”、“二次函數”的延續．

《課程標準》指出：有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式；數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上；在教學中， 應注重所學內容與現實生活的聯系，注重使學生經歷觀察、操作、推理、想象等探索過程.遵循這些基本理念，《蘇科版數學教師參考書》針對“二次函數”，提出了下列教學建議：注意引進豐富多彩的、不同領域的、學生感興趣的現實問題，引導學生經歷用數學的方法描述變量之間數量關系的過程，感受二次函數的意義，感受二次函數存在的廣泛性；注意從數學知識的本質特征和內在聯系兩個方面組織教學活動；注意培養學生的數學思維能力，引導學生通過探索活動，從“發現”知識的過程中發展思維能力．

對“一次函數”、“反比例函數”、“二次函數”概念的理解，根據圖象探究函數的性質以及利用性質解決簡單的問題是“函數”教學中的重點.教學難點在于：三種函數模型的研究過程與方法.對學生來說，這是經驗的積累，思維的發展.解決難點的關鍵是：在教學中突出類比的思想，特別要注意研究方法和學習過程的類比.同時關注推理能力的培養．

在《課標》與《教參》指導下的課堂應重視:函數概念的教學，關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式，應選取具體實例，使學生體會函數能夠反映實際事物的變化規律；鼓勵學生自主探索與合作交流，豐富數學活動經驗，提高思維水平．

由此可見，本題的設計不但源于課本，還關注課堂，它是課堂探究的遷移與延續，是考查課堂教學過程的好題．

3.2 關注代數課堂中推理能力的培養

本題是對代數課堂中合情推理和演繹推理能力的關注．

《全日制義務教育數學課程標準(修改稿)》明確指出：在“數與代數”的教學中，應幫助學生建立數感和符號意識，發展運算能力和推理能力，初步形成模型思想.其中發展數與代數推理能力是新增加的要求，在近幾年的中考中都有所體現．

根據《課標》的要求，課堂教學中應重視：合情推理與演繹推理的關系.推理貫穿于數學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程.義務教育階段要注重學生思考的條理性，不要過分強調推理的形式.推理包括合情推理和演繹推理.教師在教學過程中，應該設計適當的學習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發現一些規律，猜測某些結論，發展合情推理能力；通過實例使學生逐步意識到，結論的正確性需要演繹推理的確認，可以根據學生的年齡特征提出不同程度的要求.在7～9年級學段中，應把證明作為探索活動的自然延續和必要發展，使學生知道合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式.“證明”的教學應關注學生對證明必要性的感受，對證明基本方法的掌握和證明過程的體驗.證明命題時，要求證明過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理.此外，還可以恰當地引導學生探索證明同一命題的不同思路和方法，進行比較和討論，激發學生對數學證明的興趣，發展學生思維的廣闊性和靈活性．

由此可見，本題的設計體現了《課標》中對代數推理能力新的層面的要求，對教師平時的教學有著很好的導向作用．

4 解答分析

思路分析 第(1)小題第①題根據函數表達式，已知自變量的值求函數值，并根據點的坐標畫出函數圖象.難度小，起點低，學生只要借鑒平時學習中的基本活動經驗，容易入手.第②題觀察圖象，憑借以往學習的函數圖象及性質的經驗，認真審題，寫出兩條不同類型的性質.把學生又帶回到“函數研究”的課堂中.第③題在學生原有的認知結構的基礎上，進行方法的遷移.要求學生通過類比二次函數的配方法求函數y=x+1x(x＞0)的最小值.既考查了學生對配方法的理解，又考查了學生研究問題的方法.要求學生有較高的思維能力和代數推理能力.第(2)小題要求學生利用第(1)小題中的方法解決問題，并直接寫出答案，這樣設計避免了大量的計算．

解 (1)①174，103，52，2，52，103，174．

函數y=x+1x(x＞0)的圖象如圖2．

②本題答案不唯一，下列解法供參考．

當0＜x＜1時，y隨x增大而減小；當x＞1時，y隨x增大而增大；當x=1時函數y=x+1x(x＞0)的最小值為2．

③y=x+1x=(x)2+(1x)2

=(x)2+(1x)2-2x#8226;1x+2x#8226;1x

=(x-1x)2+2

當x-1x=0，即x=1時，函數y=x+1x(x＞0)的最小值為2.

(2)當該矩形的長為a時，它的周長最小，最小值為4a.

5 教學啟示

5.1 關注課本

課本為學生的數學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結構，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源．

課本所選擇的學習素材與學生的生活現實、數學現實、其他學科現實相聯系，有利于加深學生對所要學習內容的數學理解.教材內容的呈現體現了數學知識的整體性，體現了重要的數學知識和方法的產生、發展和應用過程；為引導學生進行自主探索與合作交流搭建了平臺．

中考試卷每年穩中有新，從日常生活中取材、醞釀、建構模型，但很多素材仍然來源于課本中的基礎知識、基本技能、基本數學思想方法.教師可以根據學生的數學學習認知規律、知識背景和活動經驗，合理地安排學習內容，體現出自己的風格和特色．

5.2 關注過程與方法

數學知識不是簡單機械地從一個人遷移到另一個人，而是基于個人對經驗的操作、交流，通過反省來主動建構的.也就是說，學生不只是模仿和接受老師的策略和思維模式，他們要用自己現有的知識去過濾和解釋新信息，以致同化它，形成完善和優化的認知結構.因此，教師在課堂教學中，應充分考慮學生的思維模式和認知特點，幫助學生通過自己的活動對人類已有的數學知識構建起自己的正確理解，使課堂教學成為學生親自參與的充滿豐富生動的數學思維活動的場所．

5.3 關注數與代數中的推理能力的培養

(1)合情推理能力的培養.根據已有的事實，進行觀察、比較、聯想、歸納、類比，最終提出猜想的推理過程稱為合情推理.顧名思義，合情推理是“合乎情理”的推理，在數學教學中常常能為我們提供證明的思路和方向.合情推理的實質是“發現——猜想”．

教學時，讓學生帶著問題進行學習，引導他們在思維不斷運轉，手腦同時運用中實現推理論證的目標.不僅激發了學生自主學習的興趣，同時有效地培養了學生合情推理的能力．

(2)演繹推理能力的培養.從一般性原理出發，推出某特殊情況下結論的推理稱為演繹推理.因此，演繹推理即由一般到特殊的推理，其基本形式為“三段論”，包括大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情況；結論——根據一般原理，對特殊情況作出的判斷.一個經歷觀察、猜想、歸納、證明的過程，潛移默化中既培養了學生自主探究的能力，又培養了學生演繹推理的能力．

(3)合情推理和演繹推理是相輔相成密不可分的，互相補充，缺一不可.從功能上來看，合情推理用來發現結論，演繹推理用來證明結論的正確性.從階段上來看，一方面合情推理是演繹推理的前奏，演繹推理是合情推理的升華；另一方面合情推理和演繹推理在思維過程中會交替運用.合情推理得出的結論并不可靠，需要演繹推理給出證明.學生經歷合情推理——演繹推理的過程，有利于學生對證明的全面理解.作為兩種常見的推理，合情推理和演繹推理互相補充，共同推動學生推理能力的發展．

作者簡介:莊嚴，女，1979年11月生，江蘇南京人，中教一級，主要研究數學中考、情境創設、有效教學.2011年獲南京市優秀青年教師稱號.有10余篇論文、案例獲市級或市級以上獎項．