抓住“機會均等”,正確“以圖示意”

義務教育課程標準實驗教科書(人教版)九年級上的《概率初步》，是整套教材第三學段“統計與概率”的最后一章. 它的主要內容是理解隨機觀念及概率的思想方法，其目的是培養(yǎng)學生的隨機觀念，了解隨機事件并掌握其規(guī)律，進而利用其規(guī)律解決實際問題. 通過本章的教學，學生應該掌握用列舉法或畫樹形圖來求一些簡單的隨機事件的概率.

由于學生認知程度有限，教材中所涉及到的隨機事件基本上都是屬于古典概型. 根據古典概型的概率的計算方法，學生只要能夠正確表達出在某一個試驗條件下所有的基本事件(共有n個)，并甄選出事件A所包含的基本事件(共有m個)，再代入公式P（A）=mn即可. 但是學生往往在用樹形圖或列表法表示基本事件時，出現了問題. 我們以一道例題為例：

例1 有兩把不同的鎖和三把鑰匙，其中兩把鑰匙恰好能打開這兩把鎖，第三把鑰匙不能打開這兩把鎖. 任意取出一把鑰匙去開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是多少？(見教材第138頁第7題)

錯解 設L1，L2分別表示兩把鎖，K1，K2，K3分別表示三把鑰匙，其中K1，K2分別能打開L1，L2. 任意取出一把鑰匙去開任意一把鎖所產生的結果用樹形圖表示如下：

共有12種結果，并且每種結果出現的可能性相同. 其中能夠打開鎖的結果有4個，所以任意取出一把鑰匙去開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是P=412=13.

分析 這道題的解法，單從計算結果來看，并沒有錯誤. 但是，該題的中間解題過程是不可取的，尤其是所畫的樹形圖，更是背離了我們用列表法或畫樹形圖來表達隨機事件結果的前提：各種結果出現的機會是均等的!我們在取出鑰匙開鎖的過程中，取出什么樣的鑰匙和取出什么樣的鎖，這是兩個不同的隨機事件；更何況，三把鑰匙和兩把鎖各自被取出的概率也是是不同的(這道例題中每把鑰匙被取到的概率是13，每把鎖被取到的概率是12). 既然如此，它們就不應該并列出現在樹形圖的同一層上. 因為當我們用樹形圖表示隨機事件的結果時，必須確保每一層所代表的隨機事件的結果都是在同一個試驗條件下，且它們各自出現的機會均等. 因此，這道例題的樹形圖正確的畫法應該是：

由圖可知：任意取出一把鑰匙去開任意一把鎖共有6種結果，并且每種結果出現的可能性相同. 其中能夠打開鎖的結果有2個，所以任意取出一把鑰匙去開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是P=26=13.

倘若說這道例題學生即便畫了錯誤的樹形圖也能得出正確的答案，那么下面這道例題就能讓學生知道錯誤的代價了!

例2 把三張形狀、大小相同但畫面不同的風景圖片都平均剪成三段，然后將上、中、下三段分別混合均勻，從三堆圖片中隨機地各取出一張，求這三張圖片恰好組成一張完整風景圖片的概率(見教材第154頁第8題).

錯解 設上1，上2，上3，中1，中2，中3，下1，下2，下3分別表示三張風景圖片的上，中，下三段. 從三堆圖片中各取出一張，所有的結果用樹形圖表示如下：(由于篇幅所限，樹形圖中間用了省略號，請見諒!)共有504種結果，并且每種結果出現的可能性相同. 其中恰好組成一張完整風景圖片的結果有9個，所以概率是P=9504=156.

分析 正是由于解題者沒有正確理解題目當中的“將上、中、下三段分別混合均勻，從三堆圖片中隨機地各取出一張”，他所畫的樹形圖實質上是表示把9張剪開后的圖片混合在一起，再從中抽取三張所產生的結果. 就本題而言，這個樹形圖每一層的各結果并不是發(fā)生在同一個試驗條件下. 單從對樹形圖的理解來說，分析上圖，我們可以得出這樣的結論：在抽取第一張圖片時，每張圖片被抽取的概率都是19. 而事實上，每段圖片中的每一張被抽取的概率都是13!所以，這道題正確的樹形圖應該如下：共有27中不同結果，并且每種結果出現的可能性相同. 其中能夠組成完整的風景圖片的結果有3個，所以所求的概率為P=327=19.

由此可見，沒有對古典概率的正確認識，學生在畫樹形圖時，無法正確表達出“每種結果出現的可能性相同”，又何談準確的“以圖示意”？所以，在教學的過程當中，老師必須通過大量的，不同類型的例子讓學生切實感受到“機會均等”，切勿眉毛胡子一把抓，把不在同一個條件下發(fā)生的事件結果生拉硬拽的放在樹形圖的同一層. 下面這個例子就能很好的檢驗學生是否理解了畫樹形圖的關鍵.

例3 在某次世界性排球比賽中，參賽的六個國家隊分成A、B兩組，其中種子隊中國和巴西直接分到A，B組，其余四個隊由抽簽決定. 在1號缸里放有代表意大利和美國的兩個小球，2號缸里放有代表法國和瑞典的兩個小球. 抽簽規(guī)定：同一個缸里的球隊不能分在同一個組. 試求中國隊，意大利隊，法國隊被分在同一組的概率.

解析 從1號，2號缸里各抽取一個球，其結果用樹形圖表示如下：由圖可知：除中國隊，美國隊外，剩下的四個球隊共有4種不同的分組結果，并且每種結果出現的可能性相同. 其中，中國隊，意大利隊，法國隊被分在同一組的結果只有1個，所以概率為P=14.

這道例題，在正確地理解了“同一個缸里的球隊不能分在同一個組”后，就不能在樹形圖當中，把四個國家隊擺放在同一層中.

概率與現實生活的聯系越來越緊密，充滿了趣味性和吸引力. 我們在學習概率的過程中，應該注意解決問題的思路必須正確、清楚、明了，切忌只猜得數而忽略過程!尤其在用樹形圖表示隨機事件的結果時，一定要把握住兩點：樹形圖的每一層所列舉的結果是否發(fā)生在同一個試驗條件下？它們出現的機會均等嗎？完成圖形后，帶著這兩個問題，多檢查，細審題，我們必然會體驗到成功所帶來的喜悅!

作者簡介：作者姓名：系艷清，女，1978年生，中學一級教師.曾獲得武漢市青山區(qū)優(yōu)秀班主任稱號. 發(fā)表論文數篇.