再談斯坦納——雷米歐斯定理的純幾何證法

《中學數學雜志》(初中)2011年第8期登載的“對稱地處理對稱性問題——斯坦納——雷米歐斯定理的最佳證法”一文(下稱文［1］)，用間接方法——反證法，并結合兩條引理，證明了平面幾何中的一個令人癡迷甚久、膾炙人口的著名定理——斯坦納——雷米歐斯(Steiner—Lehmes)定理.該定理當時甫一面世，便受到了數學愛好者、數學家的青睞，特別是斯坦納的首證公開之后，在數學界產生了極大的反響，諸多證法紛至沓來，形式各異的推廣如雨后春筍.其間出現了一些耐人尋味、發(fā)人深省的精妙證法，讓人驚嘆不已，它確是盛開在平面幾何百花園里一朵絢麗多彩的奇葩!文［1］的證明是否“最佳”，筆者不敢妄斷，讀者定會評判.作為幾何問題，探尋其原汁原味的純幾何證法，乃不失其幾何神韻(實在難以尋覓，間接方法也是明智的選擇)，這也正是平面幾何的魅力所在.斯坦納——雷米歐斯定理也不例外，自它問世以來的一百多年里，人們孜孜以求，潛心于新證法的不斷探究，尤為引人入勝的是其直接證法——純幾何方法.下面將介紹一個為日本數學家頗感興趣、高度贊賞的直接證法［2］，供讀者參考．

定理 已知△ABC中，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，且BE=CD.求證：AB=AC．

證明 如圖1，作∠BEF=∠BCD，使得EF=BC，點F、C位于BE的兩側，連結BF、CF．

由BE=CD，得△FEB≌△BCD.

于是∠FBE=∠BDC，BF=BD．

又∠ABC=2∠CBE，∠DCE=∠BCD，知

∠FBC=∠FBE+∠CBE=∠BDC+∠CBE=(180°-∠ABC-∠BCD)+∠CBE

=180°-(∠CBE+∠BCD).①

∠CEF=∠CEB+∠BEF=∠CEB+∠BCD=∠CEB+∠DCE=(180°-∠CBE-2∠DCE)+∠DCE

=180°-(∠CBE+∠BCD).②

由∠ABC+∠ACB＜180°，知∠CBE+∠BCD＜90°. ③

由① 、②、③得∠FBC=∠CEF＞90°.在鈍角△FBC與△CEF中，FC=CF，BC=EF.故△FBC≌△CEF，BF=CE.即BD=CE.因此△BCD≌△CBE，∠ABC=∠ACB.故AB=AC．

上述證法僅用有限的直線形知識，淺顯簡單，通俗易懂，確乎精彩，難怪日本數學家秋山武太郎在他的著作《平面、立體幾何學》一書中有“確實是巧妙簡潔的證明，今后，能夠超過這個證明的，恐怕不會再有了”的較高評價. 斯坦納——雷米歐斯定理盡管從現行的初中數學課程中已隱退多年，作為數學教師，對它的歷史情形的了解和解法的把握是不可或缺的，也能透視教師自身的數學素養(yǎng).許多經久不衰的歷史經典幾何名題，仿佛一顆顆閃爍的明珠，璀璨奪目，異彩紛呈，推動著幾何學乃至整個數學的發(fā)展.偉大的物理學家愛因斯坦曾言：“如果歐幾里得未能激起你少年時代的熱情，那你就不是一個天才的科學家.”平面幾何在數學教育中占有重要的地位，它是培養(yǎng)、訓練學生思維能力無可替代的極好素材.愿我們教學一線的數學教師，竭盡所能地介紹一些適合學生知識水平的歷史名題(不限于幾何方面)，拓展學生的知識視野，豐富課堂教學的內容，“激活”學生自主學習的內動力，真正地充實素質教育．

參考文獻

［1］ 程詩春. 對稱地處理對稱性問題——斯坦納——雷米歐斯定理的最佳證法［J］.中學數學雜志(初中)，2011，(8)．

［2］ 郭要紅，戴普慶.中學數學研究［M］.安徽：安徽大學出版社，1998∶11．