周期性 Gompertz差分模型的最優(yōu)脈沖收獲策略

摘 要 考慮一個(gè)具有周期性脈沖收獲的Gompertz 差分系統(tǒng). 推導(dǎo)了保證種群系統(tǒng)持續(xù)生存、絕滅以及存在全局吸引的正脈沖周期解的充要條件. 以一個(gè)周期內(nèi)持續(xù)產(chǎn)量最大化為管理目標(biāo) ，通過利用離散的 Pontryagin 最大值原理獲得了最優(yōu)的脈沖收獲策略，推廣了現(xiàn)有的結(jié)論.

關(guān)鍵詞 Gompertz 差分模型; 周期解;全局吸引;離散 Pontryagin 最大值原理;脈沖收獲

中圖分類號(hào) O175.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Optimal Impulsive Harvesting Policy for a Periodic Gompertz Difference Model

LIU Yan-ping1，WANG Wan-xiong1，LUO Zhi-xue2

(1.College of Science， Gansu Agricultural University， Lanzhou 730070，China;

2.Department of Mathematics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 710069，China)

Abstract A Gompertz difference system with periodic impulsive harvesting was investigated.The sufficient and necessary conditions， which guarantee the permanence，extinction and existence of a globally attractive impulsive periodic solution， wereobtained. Choosing maximum sustainable annual yield as the management objective，the optimal impulsive harvesting policywas derived via the discrete maximum principle.The theorems generalize many existing conclusions.

Keywords Gompertz difference model;periodic solution; global attraction ; discrete Pontryagin maximum principle;impulsive harvest

1 引 言

可再生資源的最優(yōu)管理一直是饒有興趣的研究熱點(diǎn)［1-7］.實(shí)踐中，資源的管理是一個(gè)多目標(biāo)決策問題.盡管對(duì)種群動(dòng)態(tài)行為的研究相當(dāng)完善，但面臨各種多目標(biāo)決策問題時(shí)，對(duì)于如何設(shè)計(jì)科學(xué)的最優(yōu)收獲方案仍然困難重重.目前，對(duì)可再生資源最優(yōu)化管理的研究，主要集中在連續(xù)進(jìn)行開發(fā)的方面，其理論成果相當(dāng)豐富［1-3］.

周期性 Logistic程描述的資源的最優(yōu)收獲模型，不論是連續(xù)收獲［1-2］，還是脈沖收獲［3-5］，都已經(jīng)得到廣泛研究.Gompert方程(t)=rxln K/x作為刻畫單種群發(fā)展的重要模型之一，也得到充分重視.就連續(xù)型 Gompertz統(tǒng)的最優(yōu)化問題而言，無論是自治系統(tǒng)，還是非自治形式，都得到充分的研究［1，6-7］.

現(xiàn)實(shí)中，很多資源往往在一定時(shí)期內(nèi)的某些固定時(shí)刻脈沖地收獲，以漁業(yè)資源的捕獲為例，漁民不可能在全天或24小時(shí)的時(shí)間段內(nèi)時(shí)時(shí)刻刻不停地捕撈.顯然，他們只是在其中特定的時(shí)間段或時(shí)刻點(diǎn)捕魚，并且以一網(wǎng)一網(wǎng)的方式進(jìn)行.此外，漁類種群的生長(zhǎng)期、成熟期等季節(jié)效應(yīng)也決定著確定的捕魚期.顯而易見，這些捕獲方式都將致使?jié)O類種群遭受瞬時(shí)的沖動(dòng)擾動(dòng).因此，資源種群以多次脈沖的方式進(jìn)行收獲顯得意義重大.人們?cè)谏a(chǎn)活動(dòng)可以通過脈沖擾動(dòng)的方法來建模.實(shí)際上，脈沖微分方程可對(duì)這類系統(tǒng)提供一種自然而又合理的刻畫.因此，脈沖微分方程理論已經(jīng)被應(yīng)用到諸如種群生態(tài)學(xué)、疾病的化療治療，種群動(dòng)力學(xué)等方面.2007年，王等［7］研究了關(guān)于Gompertz脈沖收獲系統(tǒng)的最優(yōu)化問題：

(t)=r(t)x(t)ln K(t)x(t)，t≠τk， n∈N;

x(t+)=(1－Ek)x(t)，t=τk，k，τk∈N.(1)

通過利用比較原理，證明了系統(tǒng)存在唯一全局吸引的脈沖周期解的條件，并由此利用最大值原理獲得了使管理目標(biāo)最優(yōu)的最優(yōu)收獲努力度及相應(yīng)的最優(yōu)種群規(guī)模.很多學(xué)者認(rèn)為，與連續(xù)時(shí)間的系統(tǒng)相比，由差分方程控制的離散時(shí)間模型對(duì)描述世代不重疊的生物種群更加合理［4］.此外，被開發(fā)的資源種群往往受環(huán)境的季節(jié)性影響，它們具有某種周期性波動(dòng)的特征.對(duì)王麗敏等研究的模型作一個(gè)合乎邏輯的改動(dòng)，就是借助具有分段常數(shù)變?cè)奈⒎址匠虒⑵溥M(jìn)行離散化，建立一個(gè)相應(yīng)的差分方程模型.假定系統(tǒng)(1)中種群的平均數(shù)量增長(zhǎng)率以間隔相等的時(shí)間段變化，且對(duì)種群數(shù)量的測(cè)量也以間隔相等的時(shí)間段進(jìn)行，為了模擬資源種群的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，需要將脈沖微分系統(tǒng)(1)修改為:

(t)/x(t)=r(［t］)ln K(t)x(t)，

其中，t≠0， 1， 2， ...， ［t］表示t的整數(shù)部分，t∈(0，+

).設(shè)t∈［n，n+1)， 則上述方程在每個(gè)區(qū)間［n，n+1)， (n=0， 1， 2， ...)上成立.對(duì)該方程在 ［n， t)上積分，并令t→n+1， 得

x(n+1)=x(n)exp r(n)ln K(n)x(n).

此式即為連續(xù)模型 (1)的離散形式.

本文的目的是研究具有脈沖收獲的周期性Gompertz差分系統(tǒng)的最優(yōu)化問題.

x(n+1)=x(n)exp r(n)ln K(n)x(n)， t≠τk;

x(t+)=(1－Ek)x(t)，t=τk，k，τk∈N，（2）

其中，r(n)>0， K(n)>0，Ek， x(τk)表示種群在 t=τk時(shí)刻收獲量，Ek (0≤Ek<1)代表脈沖收獲努力度. 假定系統(tǒng)(2)是T周期的，即存在一個(gè)正整數(shù)T使得r(n+T)=r(n)， K(n+T)=K(n).并且假設(shè)在一個(gè)周期T之內(nèi)的時(shí)刻t=τk (k=1，2，...，q)進(jìn)行q次收獲，且滿足

0

τk+q=τk+T 以及 Ek+q=Ek (k， n∈N).

2持續(xù)生存與絕滅

可再生種群資源的開發(fā)直接關(guān)系到它們的可持續(xù)發(fā)展水平，而資源的可持續(xù)發(fā)展意味著它們可被永久地利用.為了能在較高的生育水平與豐厚經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)基礎(chǔ)之上，實(shí)現(xiàn)資源持續(xù)發(fā)展，首先應(yīng)該保證它們能夠持續(xù)生存.很有必要先討論系統(tǒng)(2)中資源種群的持續(xù)生存與絕滅條件.

對(duì)系統(tǒng)(2)而言，注意到如果初始值x(0)>1，則對(duì)任意n∈N，總有x(n)>1.因而，令u(n)=ln x(n)， 則系統(tǒng)(2)可被等價(jià)的轉(zhuǎn)化為

u(n+1)=(1－r(n))u(n)+r(n)ln K(n)，t≠τk，

u(t+)=u(t)+ln (1－Ek)， 

t=τk，  k，n，τk∈N.（3）

顯然，系統(tǒng)(2)中種群持續(xù)生存當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(3)的解具有正的上，下界. 而關(guān)于系統(tǒng)的正周期解(2)， 可給出結(jié)論：

定理1 假設(shè)(H)：∣∏T－1i=0(1－r(i))∣<1成立.且∏T－1i=0(1－r(i))W(0，T)>0，則系統(tǒng)(2)滿足x(0)>1的一切解x(n)都漸近收斂于正周期xP(n);否則，若∏T－1i=0(1－r(i))W(0，T)<0，則對(duì)系統(tǒng)(2)具有初值x(0)>1的所有解x(n)，n→

時(shí)，有 x(n)→0，其中

W(0，T)=∑T－1i=0∏ij=0(1－r(j))－1r(i)ln K(i)+

∑0≤τk

ln xP(n)=∏n－1i=0(1－r(i))［ln x*+

∑n－1i=0∏ij=0(1－r(j))－1r(i)ln K(i)+

∑0≤τk

證明 根據(jù)線性差分方程理論，對(duì)任意x(0)>1，無脈沖收獲的差分系統(tǒng)(3)可以表示為

u(n)=∏n－1i=0(1－r(i))［u(0)+

∑n－1i=0(∏ij=0(1－r(j)))－1r(i)ln K(i)］. (4)

考慮脈沖時(shí)，則對(duì)任意n∈N(μT≤n<(μ+1)T)，可分別取τk， T+τk， ...，μT+τq (k=1，2，...，q)作為新的初始條件.于是由式(4)得

u(τ1)=∏τ1－1i=0(1－r(i))［u(0)+

∑τ1－1i=0∏ij=0(1－r(j))－1r(i)ln K(i)］，

u(τ2)=∏τ2－1i=τ1(1－r(i))［u(τ1)+

∑τ2－1i=τ1∏ij=τ1(1－r(j))－1#8226;

r(i)ln K(i)+ln (1－E1)］，

u(τ3)=∏τ3－1i=τ2(1－r(i))［u(τ2)+

∑τ3－1i=τ2∏ij=τ2(1－r(j))－1#8226;r(i)ln K(i)+

ln (1－E2)］，

……

u(n)=∏n－1i=μT(1－r(i))［u(μT)+

∑n－1i=μT∏ij=μT(1－r(j))－1r(i)ln K(i)］.

將它們加起來，經(jīng)直接計(jì)算可得

u(n)=∏n－1i=0(1－r(i))［u(0)+

∑n－1i=0∏ij=0(1－r(j))－1r(i)ln K(i)+

∑0≤τk

同時(shí)，由u(n)的周期性可知u(0)=u(T)， 即

u(0)=［1－∏T－1i=0(1－r(i))］－1∏T－1i=0(1－r(i))W(0，T). (6)

結(jié)合式(5)~(6)，則脈沖系統(tǒng)(2)周期解xP(n)表示為

ln xP(n)=∏n－1i=0(1－r(i))［ln x*+

∑n－1i=0∏ij=0(1－r(j))－1×r(i)ln K(i)+

∑0≤τk

其中，

ln x*=u(0).不難驗(yàn)證式(7)所表示的周期解滿足

∑T－1n=0r(n)ln K(n)+∑qk=1ln (1－Ek)

=∑T－1n=0r(n)ln x(n).

假定W(0，T)>0，則對(duì)系統(tǒng)(3)滿足u(0)>0的解為u(n)，都有

∣u(n)－ln xP(n)∣

=∏n－1i=0(1－r(i))∣u(0)－ln  x*∣.

對(duì)n≥1，不失一般性，可假設(shè)存在一個(gè)整數(shù)p使得n∈(pT，(p+1)T］， 由此推出

∏n－1i=0(1－r(i))=［∏T－1i=0(1－r(i))］p∏n－1i=pT(1－r(i)).

若∏T－1i=0(1－r(i))W(0，T)>0，

則由(H)知n→

時(shí)，有∏n－1i=0(1－r(i))→0.從而，系統(tǒng)(1)具有初值u(0)>0的一切解u(n)都漸近收斂于周期解xP(n).同時(shí)，若

∏T－1i=0(1－r(i))W(0，T)<0，則由公式只含有限多項(xiàng)知， 一定存在足夠小的整數(shù)δ>0使得

∏T－1i=0(1－r(i))W(0，T)<－δ.(8)

為證資源種群在該條件下滅絕:lim n→

x(n)=0.需證lim n→

u(n)=－

.令

M=sup 1≤n≤T∣∏n－1i=0(1－r(i))∣，

N=sup 1≤n≤TM［∑n－1i=0∣∏ij=0(1－r(j))－1r(i)ln K(i)∣

+∑0≤τk

則對(duì)任意n∈(μT，(μ+1)T］，由式(5)得

u(n)=∏μT－1i=0(1－r(i))∏n－1i=μT(1－r(i))u(0)+

∏μT－1i=0(1－r(i))［∑μT－1i=0∏ij=0(1－r(j))－1r(i)ln K(i)+

∑0

τk<μT－1∏τk－1j=0(1－r(j))－1ln (1－Ek)］+

∏n－1i=μT(1－r(i))［∑n－1i=μT∏ij=0(1－r(j))－1r(i)ln K(i)+

∑μT≤τk

∣∏T－1i=0(1－r(i))∣μMu(0)－μδ+N. (9)

由式(8)知lim n→

u(n)=－

.因此，對(duì)所有x(0)>1，有lim n→

x(n)=0.因?yàn)楠(n)=ln x(n)，故結(jié)論顯然.

令δ=min n∈［0，T］xp(n)，γ=max n∈［0，T］xp(n)， 則δ， γ均為正數(shù)，且δ<γ.因此，由定理1 知，對(duì)充分小的ε0>0，必定存在>0使得由式(5)所表示的任意解滿足:δ－ε0≤x(n)≤γ+ε0， n>. 即: 如下關(guān)于系統(tǒng)種群的持續(xù)生存結(jié)論成立.

推論1 假設(shè)(H):∣∏T－1i=0(1－r(i))∣<1成立，并且∏T－1i=0(1－r(i))W(0，T)>0，則系統(tǒng)種群能夠持續(xù)生存.即，在一個(gè)周期T內(nèi)進(jìn)行q次脈沖收獲的情形下，資源種群能夠得以可持續(xù)性發(fā)展.

由于實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)周期與環(huán)境變動(dòng)的周期間往往存在差異，一種更為現(xiàn)實(shí)且自然的考慮是討論比T周期系統(tǒng)(2)與式(3)更一般的情形.即假定生態(tài)環(huán)境具有周期T1，而人們生產(chǎn)活動(dòng)的周期是T2，且滿足T1≠T2.于是有

r(n+T1)=r(n)， K(n+T1)=K(n) (n∈N);

τk+q=τk+T2， Ek+q=Ek (k∈N).(10)

顯而易見，此時(shí)系統(tǒng)(2)的動(dòng)態(tài)特征取決于兩類周期T1與T2之間的具體聯(lián)系.不妨設(shè)p1T1=p2T2=T0，其中p1， p2為互質(zhì)的正整數(shù)，則上述周期性Gompertz脈沖差分系統(tǒng)的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為在一個(gè)周期T0內(nèi)進(jìn)行p2×q次脈沖收獲的情形.對(duì)應(yīng)于定理1，有結(jié)論

定理2 若(H):∣∏T0－1i=0(1－r(i))∣<1成立.且∏T0－1i=0(1－r(i))(0，T0)>0，則系統(tǒng)(2)滿足條件(10)的一切解都漸近收斂于脈沖周期解xP(n);否則，若∏T0－1i=0r(i))(0，T0)<0，則對(duì)于系統(tǒng)(2)滿足x(0)>1的任意解x(n)，當(dāng)n→

時(shí)，x(n)→0，其中

(0，T0)=p1∑T1－1i=0∏ij=0(1－r(j))－1r(i)ln K(i)+

∑0≤τk

證明注意到p1T1=p2T2=T0.由此可知

W(0，T0)=∏T0－1i=0(1－r(i))［∑T0－1i=0∏ij=0(1－

r(j))－1r(i)ln K(i)+∑0≤τk

r(j))－1ln (1－Ek)］

=∏T0－1i=0(1－r(i))［∑p1T1－1i=0∏ij=0(1－r(j))－1r(i)ln K(i)

∑0≤τk

=(0，T0).

從而，可將滿足條件(10)的非自治系統(tǒng)(2)視作T0周期系統(tǒng)，由定理1知該結(jié)論成立.

3 最優(yōu)脈沖收獲策略

這部分的主要目的是推導(dǎo)系統(tǒng)(2)的最優(yōu)脈沖收獲策略，這種收獲方案可使資源種群在一個(gè)周期內(nèi)的持續(xù)產(chǎn)量最大化.為此，定義容許集合：

D={Ek≥0:∣∏T－1i=0(1－r(i))∣<1，且

∏T－1i=0(1－r(i))W(0，T)>0}以及容許控制集

S={Ek∈D:Ek+q=Ek，0≤Ek<1， 

k=0，1，2，…}.

假設(shè)存在一個(gè)脈沖序列τk∈N(k=0，1，2，…)，使得系統(tǒng)這些脈沖時(shí)刻遭受一定擾動(dòng)致使資源種群數(shù)量瞬間降低，則對(duì)任意n>m0，由于系統(tǒng)(3)有初值u(m0)>0的解u(n)可以表示為

u(n)=∏n－1i=m0(1－r(i))［u(m0)+

∑n－1i=m0∏ij=m0(1－r(j))－1×r(i)ln K(i)+

∑m0≤τk

由式(11)知，對(duì)任意n∈(τk，τk+1］，有

u(n)=∏n－1i=τk(1－r(i))［u(τk)+

∑n－1i=τk∏ij=τk(1－r(j))－1r(i)ln K(i)］+

∑τk≤τs

這意味著

u(τk+1)=∏τk+1－1i=τk(1－r(i))［u(τk)+

∑τk+1－1i=τk∏ij=τk(1－r(j))－1r(i)ln K(i)+

ln (1－Ek)］.(12)

記D(τk+1)=∏τk+1－1i=τk(1－r(i))，且

H(τk+1)=∑τk+1－1i=τk∏ij=τk(1－r(j))－1r(i)ln K(i).

則式(12)可化為

u(τk+1)=D(τk+1)u(τk)+D(τk+1)H(τk+1)+

D(τk+1)ln (1－Ek). (13)

Maximize YEkqk=1=∑qk=1Ekxn(τk)， (14)

Subject to:

ln xn(τk+1)=D(τk+1)ln ［Ek)xn(τk)］+

D(τk+1)H(τk+1)，

Ek∈ S (k=1，2，…，q).

為了獲得更一般最優(yōu)化問題的最優(yōu)脈沖收獲策略，以便將其應(yīng)用到其他類似的問題，在這里不妨先討論其狀態(tài)變量的約束條件可化為一般形式的線性差分方程的最優(yōu)化問題.即

Maximize YEkqk=1=∑qk=1Ekxn(τk)，(15)

Subject to:

G(xn(τk+1))=D(τk+1)G((1－Ek)xn(τk))+

D(τk+1)H(τk+1)，Ek∈S(k=1，2，…，q)，

其中，G(#8226;)是嚴(yán)格單調(diào)的可微函數(shù)， 即G(#8226;)存在反函數(shù)，用G－1(#8226;)表示.為了方便， 后文通過xn(τk)來表示資源種群在n+τk刻的種群規(guī)模.于是由離Pontryagin最大值原理知.

定理 3 設(shè)E*kqk=1，{x*n(τk)}qk=1分別為最優(yōu)脈沖收獲努力度及其相應(yīng)最優(yōu)種群規(guī)模. 若

1x*n(τk)G－1(1D(τk+1)［G(xn(τk+1))－

D(τk+1)H(τk+1)］)<1.

則最優(yōu)脈沖收獲努力度為

E*k=1－1x*n(τk)G－1(1D(τk+1)［G(x*n(τk+1))－

D(τk+1)H(τk+1)］).(16)

相應(yīng)最優(yōu)種群規(guī)模滿足：

G′(x*n(τk+1))=D(τk+1)G′((1－E*k)x*n(τk)).(17)

最大化年持續(xù)產(chǎn)量為

YE*kqk=1=∑qk=1［x*n(τk)－

G－1(1D(τk+1)［G(x*n(τk+1))－

D(τk+1)H(τk+1)］)］. (18)

證明 構(gòu)造如下Hamilton函數(shù)

H(xn(τk)， Ek，λk， τk)=Ekxn(τk)+

λk+1［G－1(D(τk+1)G((1－Ek)xn(τk))+

D(τk+1)H(τk+1))－xn(τk+1)］，(19)

其中，λk表示伴隨變量.假設(shè){x*n(τk)∣k=1，2，...，q}是對(duì)應(yīng)于上述控制變量(E*1，E*2，…，E*q)的種群規(guī)模.由離散 Pontryagin最大值原理知， 使得問題最優(yōu)的必要性條件為

Δλk=－Hxn(τk)，HEk=0.

即：

Δλk=－Ek－λk+1#8226;

［D(τk+1)(1－Ek)G′(Z)G′((1－Ek)xn(τk))－1］，

xn(τk)－λk+1D(τk+1)xn(τk)G′(Z)G′((1－Ek)xn(τk))=0，(20)

其中

Z=G－1(D(τk+1)G((1－Ek)xn(τk))+

D(τk+1)H(τk+1))

即:Z=xn(τk+1).由上述λk=1， (k=1，2，…，q)與式(20)中第二式得

G′(xn(τk+1)=D(τk+1)G′((1－Ek)xn(τk)). (21)

因此，結(jié)合式(15)可求出最優(yōu)種群規(guī)模{x*n(τk)}qk=1.再由式(15)式得最優(yōu)脈沖收獲努力度 E*kqk=1，由式(17)給出.最后，{x*n(τk)}qk=1與E*kqk=1的結(jié)果將推出表達(dá)式(18).證畢.

若選取G(x)=ln x， (x>0)，則系統(tǒng)(15)退化為式(14)，從而上述式（21）變?yōu)?/p>

(1－Ek)xn(τk)xn(τk+1)=D(τk+1)(k=1，2，…，q).

結(jié)合等式

ln(xn(τk+1))=D(τk+1)ln ((1－Ek)xn(τk))+D(τk+1)H(τk+1)

便可求得相應(yīng)的最優(yōu)種群規(guī)模

x*n(τk)=［D(τk)eH(τk)］D(τk)1－D(τk).(22)

因此，作為前面定理3的直接應(yīng)用，有結(jié)論：

定理 4設(shè)E*kqk=1，{x*n(τk)}qk=1分別為最優(yōu)脈沖收獲努力度及其相應(yīng)最優(yōu)種群規(guī)模.若

D(τk+1)11－D(τk)D(τk)－D(τk)1－D(τk)×

exp {［D(τk+1)H(τk+1)1－D(τk+1)－D(τk)H(τk)1－D(τk)］}<1，

則最優(yōu)脈沖收獲努力度為

E*k=1－D(τk+1)11－D(τk)D(τk)－D(τk)1－D(τk)×

exp {［D(τk+1)H(τk+1)1－D(τk+1)－D(τk)H(τk)1－D(τk)］}.

相應(yīng)最優(yōu)種群規(guī)模由關(guān)系式(22)給定.而最大化的年持續(xù)產(chǎn)量可表示為

YE*kqk=1=∑qk=1exp {D(τk)H(τk)1－D(τk)}#8226;

［D(τk)D(τk)1－D(τk)－D(τk)11－D(τk)］.

注1若D(τk+1)=exp {－∫τk+1τkr(s)ds}， 且

H(τk+1)=∫τk+1τkexp {－∫τk+1sr(s)ln K(s)ds}，則定理4 恰好為文獻(xiàn)[6]與[7]的主要結(jié)論.所以，本文的結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[6-7]的結(jié)論.

若令G(x)=1/xθ (x>0)，并考慮到具周期系數(shù)的Gilpin-Ayala 脈沖系統(tǒng)具有如下脈沖解

1xθ(τk+1)=D(τk+1)((1－Ek)x(τk))θ+D(τk+1)H(τk+1)，(23)

其中，H(τk+1)=∫τk+1τkexp {θ∫sτkr(ι)dι}θr(s)Kθ(s)ds，

D(τk+1)=exp {－θ∫τk+1τkr(s)ds}，

則周期性Gilpin-Ayala 脈沖系統(tǒng)的脈沖收獲問題

Maximize YEkqk=1=∑qk=1Ekx(τk)，(24)

Subject to:

(t)=r(t)x(t)［1－(x(t)K(t))θ］，t≠τk，

x(t+)=(1－Ek)x(t)，t=τk

可化為一般性最優(yōu)化系統(tǒng)(15)的形式，其中r(t)， K(t)正的T周期函數(shù)，θ>0為常數(shù).于是定理3 中的最優(yōu)化條件(21)可化為

(1－Ek)xn(τk)xn(τk+1)=D1/(1+θ)(τk+1)(k=1，2，…，q).

結(jié)合式(23)， 便可求得最優(yōu)種群規(guī)模

x*n(τk)=［1－D1/(1+θ)(τk)D(τk)H(τk)］1θ.(25)

于是，作為前面定理3的直接應(yīng)用， 有

定理5 設(shè)E*kqk=1與{x*n(τk)}qk=1分別為最優(yōu)化問題(24)的最優(yōu)脈沖收獲努力度及其最優(yōu)種群規(guī)模. 若

D(τk)Dθ/(1+θ)(τk+1)1－D1/(1+θ)(τk+1)1－D1/(1+θ)(τk)H(τk)H(τk+1)<1，

則最優(yōu)脈沖收獲努力度為

E*k=1－D(τk)Dθ/(1+θ)(τk+1)1－D1/(1+θ)(τk+1)1－D1/(1+θ)(τk)H(τk)H(τk+1).

相應(yīng)最優(yōu)種群規(guī)模由關(guān)系式(25)給定.

最大化的年持續(xù)產(chǎn)量可表示為

YE*kqk=1=∑qk=1{(1－D1/(1+θ)(τk)D(τk)H(τk))1θ－

(1－D1/(1+θ)(τk)D(τk)H(τk))1－θθ1－D1/(1+θ)(τk+1)Dθ/(1+θ)(τk+1)H(τk+1)}.

注2 若θ=1，則該脈沖系統(tǒng)恰好是具有脈沖收獲的周期性logistic系統(tǒng)的脈沖收獲問題，并且定理5為文獻(xiàn)[4-6]的主要結(jié)果.

注3 根據(jù)線性微分方程的疊加原理，并利用完全類似的方法，也可獲得具有脈沖收獲與臨界退償效應(yīng)的周期性logistic系統(tǒng)的優(yōu)化問題：

MaximizeYEkqk=1=∑qk=1Ekx(τk)，

Subject to:

(t)=r(t)x(t)(x(t)K0(t)－1)(1－x(t)K(t))，

t≠τk，

x(t+)=(1－Ek)x(t)，t=τk.

注4 利用L'Hospital求導(dǎo)法則， 還可以證明:

在上述諸最優(yōu)化問題中，隨著脈沖收獲間隔趨于零，脈沖收獲方式之下的的最優(yōu)種群規(guī)模將無限趨近連續(xù)收獲方式下的的最優(yōu)種群規(guī)模，從而二者間相應(yīng)的最大化年持續(xù)產(chǎn)量YE*kqk=1也有類似的聯(lián)系.本文將它解釋為最優(yōu)脈沖收獲策略為理論最優(yōu)化結(jié)果的實(shí)際應(yīng)用，而連續(xù)方式的收獲策略為脈沖收獲策略的理想狀態(tài).

參考文獻(xiàn)

［1］ C CLARK. Mathematical Bioeconomics: The Optimal Manage-ment of Renewable Resources[M].New York：Wiley， 1992.

[2] MENG FAN， KE WANG. Optimal harvesting policy for single population with periodic coefficients[J]. Math Biosci，1998，152（2）:165-177.

[3] Xiaoying ZHANG，Zhisheng SHUAI， Ke WANG.Optimal harvesting policy for single population[J].Nonlinear Anal(RWA)，2003，4（4）: 639-651.

[4] Sanyi TANG ， R CHEKE， Yanni XIAO .Optimal impulsive harvesting on nonautonomous Beverton-Holt difference equations[J]. Nonlinear Analysis，2006，65（12）: 2311-2341.

[5] Yanni XIAO ， Daizhan ChENG ， Huasu Qin. Optimal impulsive control in periodic ecosystem [J]. Sysems and Control Letters，2006，55（7）:558-565.

[6] Lingzhen DONG，LansunChEN ， LihuaSun. Optimal harvesting policies for periodic Gompertz systems[J].Nonlinear Analysis (RWA)，2007，8（2）:572-578.

[7] Limin WANG ， Yanshun TAN.Optimal impulsive control policy in periodic Gompertz ecosystem(in chinese)[J]. J. Sys Sci and Math Scis，2007，27（4）: 520-528.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文