隨機利率下分數跳擴散Ornstein-Uhlenbeck期權定價模型
2011-01-01 00:00:00嚴惠云,曹譯尹
經濟數學 2011年2期
摘 要 假設股票價格遵循分數布朗運動和復合泊松過程驅動的隨機微分方程，短期利率服從Hull-White模型，建立了隨機利率情形下的分數跳擴散Ornstein-Uhlenbeck期權定價模型，利用價格過程的實際概率測度和公平保費原理，得到了歐式看漲期權定價的解析表達式，推廣了Black-Scholes模型.
關鍵詞 分數跳-擴散;Ornstein-Uhlenbeck;隨機利率
中圖分類號 O211， F830 文獻標識碼 A
Stochastic Interest Rates Model for European Options under Fractional Jump-Diffusion Ornstein-Uhlenbeck Process
YAN Hui-yun1，CAO Yi-yin2
(1.Xi’an University of Finance and Economics， Xi'an，Shannxi 710100， China；
2.Department of Economics and Management， North China Electric Power University，Baoding，Hebei 071000，China)
AbstractUnder the assumptions that stocks price process is driven by fractional diffusion process with non-homogeneous Poisson process， and the risk-less rate satisfies Hull-White model， the fractional jump-diffusion Ornstein-Uhlenbeck model under stochastic interest rates was built. Using physical probabilistic measure of price process and the principle of fair premium， the pricing formula of European option was obtained，which generalizes the Black-Scholes model.
Keywords fractional-jump diffusion; Ornstein-Uhlenbeck; stochastic interest rates
1 引 言
近年來，標的資產價格服從跳-擴散過程或者Lévy過程的期權定價理論已引起了眾多學者的關注.跳擴散過程或者Lévy過程是一類具有平穩獨立增量過程，關于跳擴散過程或者Lévy過程以及在金融中應用可參見文獻[1-3]. 另一方面，在通常金融市場模型中用分數布朗運動取代標準布朗運動早已被眾多學者認同，主要是由于分數布朗運動具有較好地“厚尾”和長程依賴特性，而且仍然是一個高斯過程.關于分數布朗運動隨機分析理論可參見文獻[4-5] 分數布朗運動在金融中的應用可見文獻[6-7]. 1998年Bladt和Rydberg首次提出了期權定價的保險精算方法[8]， 利用實際概率測度和公平保費原理，在非均衡、套利存在、非完備情形下，將期權定價問題轉化成為公平保費問題.文獻[9]考慮了股票價格遵循布朗運動驅動的Ornstein-Uhlenbeck過程下的歐式期權定價問題，但是給出的定價公式與Ornstein-Uhlenbeck過程的均值回復率沒有關系，這顯然不符合實際.本文假定股票價格服從分數跳擴散過程驅動的Ornstein-Uhlenbeck過程，并假定金融市場短期利率為Hull-White模型，利用保險精算方法，得到了比文獻[9]更符合實際的歐式看漲期權的定價公式.
2 預備知識
引理1 假定ξ服從正態分布N(0， σ2)， 則有
Eexp {ξ}I{ξ≥k}=exp {σ22}Φ(σ2－kσ)，
其中
Φ(#8226;)為標準正態分布函數.
證明 因為
Eexp {ξ}I{ξ≥k}
=∫+
kex12πσexp {－x22σ2}dx
=eσ22∫+
k12πσexp {－(x－σ2)22σ2}dx
=eσ22∫+
σ2－kσ12πexp {－t22}dt
=eσ22Φ（σ２-kσ).
定理1 假定ai，k，i=1，2，…，n為實數，ξ1，ξ2，…，ξn服從標準正態分布，且i≠j時，
cov (ξi，ξj)=ρij，則有
E［exp {∑ni=1aiξi}I{∑ni=1aiξi≥k}］
=exp {12∑ni=1∑nj=1ρijaiaj}Φ(∑ni=1∑nj=1ρijaiaj－k∑ni=1∑nj=1ρijaiaj).
證明 令w=∑ni=1aiξi， 則w仍是正態隨機變量，且滿足E［w］=0，E［w2］=∑ni=1∑nj=1ρijaiaj，再令D2=∑ni=1∑nj=1ρijaiaj， 將w帶入引理1可得
E［exp {∑ni=1aiξi}I{∑ni=1aiξi≥k}］
=E［exp {DwD}IDwD≥k］
=exp {D22}Φ(D2－kD).
3 隨機利率情形下分數跳擴散
Ornstein-Uhlenbeck模型
假定股票價格過程及金融市場的短期利率rt滿足隨機微分方程
dSt=St－{(μt－λθ－εln St－)dt+
σ1dWHt+σ2dBHt+dJt}， （1）
drt=(b－art)dt+c1dWHt+c2dBHt， (2)
其中，μt為期望收益率，它是時間t的函數，波動率σ1，σ2和均值回復率ε及a，b，c1c2都為常數，{BHt， t≥0}和{WHt， t≥0}為完備概率空間(Ω，F，P)上的分數布朗運動， {Jt， t≥0}是個復合泊松過程可以表示為
Jt=∑Nti=0Ui. (3)
{Nt， t≥0}表示強度為λ的泊松過程， Ui表示在第i次發生跳時跳幅(無跳躍發生時U0=0)， {Ui， i≥0}為一列獨立同分布的隨機變量，并且θ=E(Ui)， Ui>－1(i=1，2，…). 假定{BHt， t≥0}， {WHt， t≥0}， {Nt， t≥0}和{Ui， i≥1}相互獨立.{Ft， t≥0}是由{WHt， t≥0}， {Nt， t≥0}和{Ui， i=0，1，2，…}生成的σ-代數流.
定理2 令Xt=σ1WHt+σ2BHt， 則隨機微分方程 (1) 的解為
St=S0∏Nti=0(1+Ui)exp {e－εt∫t0［μu－λθ－
H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu+
e－εt∫t0eεudXu}.(4)
證明 假定在［0，t］之間沒有跳發生， 由分數布朗運動 It公式及式(1)可得
deεtln St=eεtdln St+εeεtln Stdt
=eεt［μt-λθ-H(σ21+
σ22)t2H-1］dt+eεtdXt，
那么
St=S0exp {e－εt∫t0［μu－λθ－
H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu+
e－εt∫t0eεudXu}.
假定只在時刻T1∈［0，t］發生一次跳，則
ST1－=S0exp {e－εT1∫T10［μu－λθ－
H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu+e－εt∫T10eεudXu}(5)
St=ST1exp {e－ε(t－T1)∫tT1［μu－λθ－
H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu+e－ε(t－T1)∫tT1eεudXu}.(6)
由式(1)有
ST1－ST1－1n=∫T1T1－1n(μu－λθ－εln Su－)Su－du+
∫T1T1－1nSu－dXu+∫T1T1－1nSu－dJu.
當n→
時，可得ST1－ST1－=ST1－U1， 所以
St=S0(1+U1)exp {e－εt∫t0［μu－λθ－H(σ21+
σ22)u2H－1］eεudu+e－εt∫t0eεudXu}.
當跳的次數服從poisson過程時，則有定理結論成立.
定理3 令Yt=c1WHt+c2BHt，隨機微分方程(2)的解為
rt=rt0e-a(t-t0)+ba+∫tt0ea(u-t)dYu.(7)
證明 由分數型It公式
d(exp {a(t－t0)}rt)
=aexp {a(t－t0)}rtdt+
exp {a(t－t0)}drt
=exp {a(t－t0)}(artdt+drt)
=exp {a(t－t0)}(bdt+c1dWHt+c2dBHt).
下面考慮損益為(ST－K)+的歐式看漲期權，其中交割日期為T， 交割價格為K.
定義1{St， t≥0}在［t，T］上的期望收益率定義為
exp {∫ T tβudu}=E［ST］St. (8)
定理4{St， t≥0}在［t，T］上的期望收益率滿足
∫ T tβudu=e－ε(T－t)∫Tt［μu－λθ－
H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu
+H(σ21+σ22)e2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du+λθ(T－t).
證明 由式(4)有
ST=St∏NT－ti=0(1+Ui)exp {e－ε(T－t)∫Tt［μu－λθ－
H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu+e－εt∫TteεudXu}.
所以
E［ST］St=exp {e－ε(T－t)∫Tt［μu－λθ－
H(σ21+σ22)u2H－1］eεudu}.
E［∏NT－ti=0(1+Ui)］E［exp {e－ε(T－t)∫TteεudXu}］.
由于
E［exp {σ1e－ε(T－t)∫TteεudWHu}］
=exp ［Hσ21e－2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du］，
E［exp {σ2e－ε(T－t)∫TteεudBHu}］
=exp ［Hσ22e－2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du］.
所以
E［exp {e－ε(T－t)∫TteεudXu}］
=exp ［H(σ21+σ22)e－2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du］，
以及
E［∏NT－ti=0(1+Ui)］=E［E［∏NT－ti=0(1+Ui)NT－t］］
=∑+
n=0PNNT－t=nE［∏NT－ti=0(1+Ui)NT－t=n］
=∑+
n=0(λ(T－t))nn!e－λ(T－t)(1+θ)n
=eλθ(T－t).(9)
從而定理證明.
定義2 歐式看漲期權(ST－K)+的保險精算價格定義為
c(t，St，K，T)=E［(exp {－∫ T tβudu}ST－
exp {－∫Ttrudu}K)Iexp {－∫ T tβudu}ST>exp {－∫Ttrudu}K］， (10)
其中股票價格按期望收益率折現，執行價按無風險利率折現.
定理5 具有損益 (ST－K)+的歐式看漲期權保險精算價格為
c(t，St，K，T)=e－λθ(T－t)St∑+
n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!
E［∏ni=1(1+Ui)Φ(d(n)1)］－Kexp {－rta(1－e－a(T－t))－
ba(T－t)+D2}∑+
n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!， (11)
其中，
Φ(x)為標準正態分布的分布函數， 且
d(n)1=［lnStK+rta(1－e－a(T－t))+
ba(T－t)－λθ(T－t)+D1+
R1+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)］/2(D1+R1+D2+R2).
d(n)1=［ln StK+rta(1－e－a(T－t))+
ba(T－t)－λθ(T－t)－D1+
ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)－2D2－R2］/
2(D1+R1+D2+R2).
D1=H(σ21+σ22)e2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du，
R1=2Hσ1c1eε(T－t)∫Tt(T－u)eεu+a(u－t)u2H－1du，
D2=H(c21+c22)∫Tt(T－u)2e2a(u－t)u2H－1du，
R2=2Hσ2c2eε(T－t)∫Tt(T－u)eεu+a(u－t)u2H－1du.
證明 令
dn=ln StK+rta(1－e－a(T－t))+
ba(T－t)－λθ(T－t)－
D1+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)，
A={exp {－∫Ttβ(s)ds}ST>exp {－∫Ttrsds}K}，
A0={σ1e－ε(T－t)∫TteεudWHu+σ2e－ε(T－t)∫TteεudBHu
+c1∫Tt(T－u)ea(u－t)dWHu+
c2∫Tt(T－u)ea(u－t)dBHu≥－dn}.
由定理2及定理3可得
exp {－∫Ttβudu}ST=St∏N(T－t)i=0(1+Ui)exp {－λθ(T－
t)－D1+e－εt∫TteεudXu}.
exp {－∫Ttrudu}K=Kexp{-rta(1-e-a(T-t))-
ba(T-t)-∫Tt∫τtea(u-t)dYudτ}.
又因為由分數型It公式有
∫Tt∫τtea(u-τ)dBHudτ=∫Tt(T-u)ea(u-t)dBHu.
所以歐式看漲期權執行條件
exp {－∫Ttβudu}ST>exp {－∫Ttrudu}K等價于
XT－Xt+∫Tt(T－u)ea(u－t)dYu>
ln KSt－rta(1－e－a(T－t))－ba(T－t)+
λθ(T－t)+D1－ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui).
即
σ1e－ε(T－t)∫TteεudWHu+σ2e－ε(T－t)∫TteεudBHu+
c1∫Tt(T－u)ea(u－t)dWHu+
c2∫Tt(T－u)ea(u－t)dBHu≥－dn.
那么
c(t，St，K，T)=E［［exp {－∫ T tβudu}ST－
exp {－∫Ttrudu}K］IA］
=E［E［(exp {－∫Ttβudu}ST－
exp {－∫Ttrudu}K)IANT－t］］
=∑+
n=0［λ(T－t)］ne－λ(T－t)n!E#8226;
［(exp {－∫Ttβudu}ST－
exp {－∫Ttrudu}K)IA|NT－t=n］
=∑+
n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!Π1－Π2，
其中
Π1=E［exp {－∫Ttβudu}STIANT－t=n］
=e－D1－λθ(T－t)StE［E［∏ni=1(1+
Ui)exp {σ1e－ε(T－t)∫TteεudWHu+
σ2e－ε(T－t)∫TteεudBHu}IA0|NT－t=n］］
=e－λθ(T－t)StE［∏ni=1(1+Ui)Φ(d(n)1)］，
以及
∏2=E［Kexp {－∫Ttrudu}IA］
=Kexp {－rta(1－e－a(T－t))－
ba(T－t)}E［E［exp
{－c1∫Tt(T－u)ea(u－t)dWHu－
c2∫Tt(T－u)ea(u－t)dBHu}IA0|NT－t=n］］
=Kexp {－rta(1－e－a(T－t))－
ba(T－t)+D2}E［Φ(d(n)2)］.
推論1 當ε=0時， 可得分數跳-擴散環境下帶有隨機利率的歐式看漲期權價格
c(t，St，K，T)=e－λθ(T－t)St∑+
n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!
E［∏ni=1(1+Ui)Φ(d(n)1)］－Kexp {－rta(1－
e－a(T－t))－ba(T－t)+
D2}∑+
n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!E［Φ(d(n)2)］，(12)
其中
d(n)1=［ln StK+rta(1－e－a(T－t))+
ba(T－t)－λθ(T－t)+
D1+R1+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)］/
2(D1+R1+D2+R2)，
d(n)2=［ln StK+rta(1－e－a(T－t))+
ba(T－t)－λθ(T－t)－
D1+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)－2D2－R2］/
2(D1+R1+D2+R2)
D1=H(σ21+σ22)∫Ttu2H－1du，
R1=2Hσ1c1∫Tt(T－u)ea(u－t)u2H－1du，
D2=H(c21+c22)∫Tt(T－u)2e2a(u－t)u2H－1du，
R2=2Hσ2c2∫Tt(T－u)ea(u－t)u2H－1du.
注釋
1) 當ε=0，H=12時， 可得跳-擴散環境下帶有隨機利率的歐式看漲期權價格［9］
c(t，St，K，T)=e－λθ(T－t)St∑+
n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!.
E［∏ni=1(1+Ui)Φ(d(n)1)］－
Kexp {－rta(1－e－a(T－t))－
ba(T－t)+D2}#8226;
∑+
n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!E［Φ(d(n)2)］，(13)
其中
d(n)1=［ln StK+rta(1－e－a(T－t))+
ba(T－t)－λθ(T－t)+
D1+R1+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)］/
2(D1+R1+D2+R2)，
d(n)2=［ln StK+rta(1－e－a(T－t))+
ba(T－t)－λθ(T－t)－
D1+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)－2D2－R2］/
2(D1+R1+D2+R2).
D1=H(σ21+σ22)(T－t)，
R1=σ1c1a2［ea(T－t)－1－a(T－t)］
D2=c21+c224a3［e2a(T－t)－1－
2a(T－t)－2a2(T－t)2］，
R2=σ2c2a2［ea(T－t)－1－a(T－t)］.
特別地，當b=0，c1=0，c2=0，a→0時，可得跳-擴散環境下歐式看漲期權定價公式.
2) 當b=0，c1=0，c2=0，a→0時， 可得分數跳擴散Ornstein-Uhlenbeck過程下歐式看漲期權定價公式［10］
c(t，St，K，T)=e－λθ(T－t)St∑+
n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!.
E［∏ni=1(1+Ui)Φ(d(n)1)］－Kexp {－r(T－t)}#8226;
∑+
n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!E［Φ(d(n)2)］，(14)
其中
d(n)1=［ln StK+r(T－t)－λθ(T－t)+H(σ21+
σ22)e2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)］/
2H(σ21+σ22)e2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du.
d(n)2=d(n)1－2H(σ21+σ22)e2ε(T－t)∫Tte2εuu2H－1du.
特別地，當ε=0時，可得分數跳-擴散環境下歐式期權定價公式
c(t，St，K，T)=
e－λθ(T－t)St∑+
n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!E［∏ni=1(1+
Ui)Φ(d(n)1)］－Kexp {－r(T－t)}#8226;
∑+
n=0(λ(T－t))ne－λ(T－t)n!E［Φ(d(n)2)］， (15)
其中
d(n)1=［ln StK+r(T－t)－
λθ(T－t)+(σ21+σ22)2(T2H－
t2H)+ln ∏N(T－t)i=0(1+Ui)］/
(σ21+σ22)(T2H－t2H)，
d(n)2=d(n)1－(σ21+σ22)(T2H－t2H).
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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文
