含有信用風(fēng)險(xiǎn)的跳擴(kuò)散市場(chǎng)的最優(yōu)組合選擇

摘 要 假定投資者將其財(cái)富分配在這樣兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中，一種是股票，價(jià)格服從跳躍擴(kuò)散過(guò)程；一種是有信用風(fēng)險(xiǎn)的債券，其價(jià)格服從復(fù)合泊松過(guò)程.在均值方差準(zhǔn)則下通過(guò)最優(yōu)控制原理來(lái)研究投資者的最優(yōu)投資策略選擇問(wèn)題，得到了最優(yōu)投資策略及有效邊界.最后通過(guò)數(shù)值例子分析了違約強(qiáng)度、債券預(yù)期收益率以及目標(biāo)財(cái)富對(duì)最優(yōu)投資策略的影響.

關(guān)鍵詞 跳躍擴(kuò)散過(guò)程； 信用風(fēng)險(xiǎn)； 最優(yōu)投資策略；有效邊界

中圖分類(lèi)號(hào) O221 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Optimal Portfolio Selection for Containing Credit Risk in a Jump-Diffusion Market

ZHANG Lin，GUO Wen-jing

(School of Finance， Nanjing University of Finance and Economics， Nanjing，Jiangsu 210046)

Abstract Assume that an investor can allocate his wealth dynamically between a risky stock， whose price follows a jump-diffusion process， and a risky bond， whose price is subject to negative jumps due to its credit risk. Its price contains discontinuous sample paths， so it is subject to the compound Poisson process. The optimal investment strategy under the mean-variance principle was studied by the stochastic control approach. The closed and explicit formulas for the optimal investment strategy and the efficient frontier were derived. Finally， the effects of default intensity， the expected rate of return and the wealth target onoptimal investment strategy were analyzed by numerical examples.

Keywords jump-diffusion process; credit risk; optimal investment strategy; efficient frontier.

1 引 言

在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，研究最優(yōu)投資決策問(wèn)題時(shí)，通常假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（股票）的價(jià)格服從連續(xù)的擴(kuò)散過(guò)程［1-6］.但大量的金融實(shí)證研究表明：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格路徑不是擴(kuò)散過(guò)程，而是在連續(xù)中伴隨有跳躍，如股票價(jià)格受到突然的沖擊而出現(xiàn)劇烈波動(dòng)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率的邊際分布呈現(xiàn)出尖峰厚尾性.為了更接近于實(shí)際市場(chǎng)，Merton(1976)最早提出用跳躍擴(kuò)散過(guò)程來(lái)擬合風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程.跳躍擴(kuò)散過(guò)程的引入在很大程度上解釋了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格路徑的不連續(xù)性，同時(shí)也解釋了尖峰厚尾的特性.

另外，在投資對(duì)象中，通常假定債券是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)［4-7］，但在實(shí)際金融市場(chǎng)中，債券的價(jià)格會(huì)受到各種突發(fā)情況的影響受到損失，如沒(méi)有按時(shí)支付利息等.因此，本文考慮的債券不是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，而是有違約風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)，本文用復(fù)合泊松分布［8］來(lái)描述其價(jià)格過(guò)程.

考慮兩個(gè)資產(chǎn)，一個(gè)是股票型資產(chǎn)，其價(jià)格過(guò)程假定為跳躍擴(kuò)散過(guò)程，另一個(gè)是有違約風(fēng)險(xiǎn)的債券.本文采用均值方差模型準(zhǔn)則來(lái)選擇最優(yōu)投資策略，通過(guò)最優(yōu)控制方法求解模型，解得最優(yōu)投資策略及有效邊界的解析表達(dá)式.

2 模 型

假定投資市場(chǎng)有1支股票，其價(jià)格過(guò)程服從隨機(jī)微分方程：

dS(t)=μS(t－)dt+σS(t－)dW(t)+S(t－)dJ(t)，（1）

其中，μ和σ是常數(shù).{W(t);t≥0}是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).J(t)是強(qiáng)度為λ的泊松過(guò)程，表示可能發(fā)生的跳躍.

另一個(gè)投資機(jī)會(huì)是有信用風(fēng)險(xiǎn)的債券，它的價(jià)格服從隨機(jī)微分方程：

dB(t)=rB(t－)dt－B(t－)dQ(t)，（2）

其中，Q(t)是一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程，即

Q(t)=∑N(t)i=1Yi，（3）

其中，{N(t);t≥0}是一個(gè)簡(jiǎn)單的強(qiáng)度為γ的泊松過(guò)程，{Yi;i≥1}是一個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，并且也獨(dú)立于泊松過(guò)程.Yi是第i次違約時(shí)，債券隨機(jī)損失的價(jià)格百分比.債券的價(jià)格非負(fù)，并且假定P(0≤Y1≤1)=1.復(fù)合泊松過(guò)程Q(t)和布朗運(yùn)動(dòng)W(t)是相互獨(dú)立的.

令wt為t時(shí)刻投向股票上的投資量，X(t)是投資者t時(shí)刻財(cái)富.其中初始財(cái)富為X(0)=x，這樣財(cái)富過(guò)程可表示微分方程.

dX(t)=［X(t)r+(μ－r)wt］dt+wtσdW(t)+

wtdJ(t)－［X(t)－wt］dQ(t). （4）

投資者的目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn)終期財(cái)富的預(yù)定目標(biāo)水平為b的情況下使得風(fēng)險(xiǎn)最小，因此建立均值方差模型為

min wVarX(T)，

s.t. E［X(T)］=b. （5）

由文獻(xiàn)［6］式（2），令Y(t)=X(t)－(b－m)，其中m∈R+.式（5）等價(jià)于二次控制問(wèn)題:

min wE［12Y(T)2］. （6）

那么方程（4）就變?yōu)楠?/p>

dY(t)=［Y(t)r+(μ－r)wt+(b－m)r］dt+

wtσdW(t)+wtdJ(t)－

［Y(t)+(b－m)－wt］dQ(t)，

Y(0)=y=x－(b－m).（7）

3 最優(yōu)投資策略

由于某種原因跳躍因素的存在，跳躍擴(kuò)散過(guò)程的關(guān)于投資選擇的均值-方差模型中，滿(mǎn)足跳躍擴(kuò)散過(guò)程的驗(yàn)證性定理的證明參考文獻(xiàn)［5-6］，在此驗(yàn)證定理的基礎(chǔ)上，應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，求解模型來(lái)得到最優(yōu)投資策略w的解析式.

定義 稱(chēng)wt為允許的，若wt為Ft－可料過(guò)程且

E(∫T0||wt||2dt)＜

.

引理1假定z(t，x)關(guān)于t在時(shí)間區(qū)間［0，T］上連續(xù)可微，關(guān)于x在區(qū)間(0，

)上二次連續(xù)可微，并且是下面變分問(wèn)題的凸解［5-6］：

inf w{Awz(t，x)+L(t，x;w)}=0，z(T，x)=Ψ(T，x(T))， （8）

w*∈arg sup {Aπz(t，x)+L(x;π)}， （9）

則z(t，x)就是值函數(shù)，i.e.z(t，x)=g(t，x)，且w*就是最優(yōu)控制問(wèn)題（4）~（5）的最優(yōu)解.

下面將利用引理1來(lái)得到最優(yōu)投資策略的表達(dá)形式.令

g(t，y)=min wE［12(Y(T))2］. （10）

根據(jù)引理1，該問(wèn)題的最優(yōu)控制必須解HJB方程：

gt(t，y)+min w{［yr+(μ－r)wt+(b－m)r］gy+

12w2tσ2gyy+λ［g(t，y+wt)－

g(t，y)］+γ［E［g(t，y－(y+(b－m)－

wt)Y1)］－g(t，y)］}=0，

g(T，y)=12y2=0 （11）

猜想式（11）的解有如下形式

g(t，y)=12P(t)y2+Q(t)y+R(t).（12）

將式（12）代入式（11）計(jì)算整理得

12P′(t)y2+Q′(t)y+R′(t)+

12P(t)min w(λ+γEY21+σ2){wt+

{(μ－r+λ+γEY1)［P(t)y+Q(t)］－γEY21P(t)［y+(b－m)］}22P(t)(λ+γEY21+σ2)

+P(t)ry2+Q(t)ry+(b－m)r［P(t)y+Q(t)］+

γ［12P(t)y2E(－2Y1+Y21)－P(t)(b－

m)yE(Y1－Y21)+12P(t)(b－m)2EY21

－Q(t)(b－m)EY1－Q(t)yEY1］=0，（13）

其中，P′(t)、Q′(t)、R′(t)分別表示函數(shù)P(t)，Q(t)，R(t)的一階導(dǎo)數(shù).

容易驗(yàn)證若P(t)、Q(t)、R(t)滿(mǎn)足

12P′(t)+［r+12γE(－2Y1+Y21)－

(μ－r+λ+γEY1－γEY21)22(λ+γEY21+σ2)］P(t)=0，

P(T)=1，（14）

Q′(t)+［r－γEY1－

(μ－r+λ+γEY1)(μ－r+λ+γEY1－γEY21)λ+γEY21+σ2］Q(t)+［(μ－r+λ+γEY1－γEY21)γEY21λ+γEY21+σ2+

r－γE(Y1－Y21)］(b－m)P(t)=0，

Q(T)=0.（15）

R′(t)=［－12AeA(T－t)+BeB(T－t)+

(μ－r+λ+γEY1)22(λ+γEY21+σ2)eG(T－t)］(b－m)2，

R(T)=0.（16）

則方程（13）有唯一最優(yōu)控制

w*t=－(μ－r+λ+γEY1)［y+Q(t)P(t)］－γEY21［y+(b－m)］λ+γEY21+σ2.（17）

常微分方程（14~16）有唯一解

P(t)=eA(T－t)，

Q(t)=(b－m)eB(T－t)(eD(T－t)－1)，

R(t)={－12［1－eA(T－t)］+［1－eB(T－t)］+

1G(μ－r+λ+γEY)22(λ+γEY21+σ2)［1－eG(T－t)］}#8226;

(b－m)2.

則 Q(t)P(t)=(b－m)(1－e－D(T－t))，

A=2r+γE(－2Y1+Y21)－

(μ－r+λ+γEY1－γEY21)2λ+γEY21+σ2，

B=r－γEY1－

(μ－r+λ+γEY1)(μ－r+λ+γEY1－γEY21)λ+γEY21+σ2，

D=r－(γEY1－γEY21)+

γEY21(μ－r+λ+γEY1－γEY21)λ+γEY21+σ2，

G=－γEY21+(γEY21)2－(μ－r+λ+γEY1)2λ+γEY21+σ2.

歸納以上討論，有以下結(jié)論成立：

定理1 對(duì)給定的參數(shù)m∈R+和期望財(cái)富E［X(T)］=b，最優(yōu)控制問(wèn)題（6）的最優(yōu)控制為

w*t=

-(μ－r+λ+γEY1)［y+(b－m)(1－e－D(T－t))］－γEY21［y+(b－m)］λ+γEY21+σ2. （18）

為了得到最優(yōu)控制問(wèn)題（5）的最優(yōu)解，根據(jù)Lagrange對(duì)偶定理，只需對(duì)參數(shù)m∈R最大化最小方差，即

max m{min wVar［X(T)］} ，（19）

即

min w12Var［X(T)］=min wE{12［X(T)－b］2+

m［EX(T)－b］}=min wE［12(Y(T))2－12m2=

g(0，y)－12m2=12P(0)(x－(b－m))2+

Q(0)(x－(b－m))+R(0)－12m2=

12eAT［x2－2x(b－m)+(b－m)2］+(eAT－

eBT)［x(b－m)－(b－m)2］

－A(b－m)2(1－eAT)+B(b－m)2(1－eBT)+

(μ－r+λ+γEY1)22(λ+γEY21+σ2)(b－m)21G(1－eGT)－12m2.（20）

當(dāng)

m*=－(xeBT－b)(λ+γEY21+σ2)G(μ－r+λ+γEY1)2(1－eGT)+b（21）

時(shí)式(12)取最大值.

定理2 對(duì)給定的參數(shù)m∈R+和期望財(cái)富E［X(T)］=b，最優(yōu)控制問(wèn)題（5）的最優(yōu)控制為

w*t=

-(μ－r+λ+γEY1－γEY21)x－(xeBT－b)(λ+γEY21+σ2)G(μ－r+λ+γEY1)(1－eGT)e－D(T－t)λ+γEY21+σ2 .（22）

4 有效邊界

把式（21）代入式（20），可以得到

Var［X(T)］=eATx2－

(xeBT－b)2(λ+γEY21+σ2)G(μ－r+λ+γEY1)2(1－eGT)－b2.（23）

根據(jù)有效邊界定義，可以有以結(jié)果，即有效邊界由下式給出

E［X(T)］=

xeBT(λ+γEY21+σ2)G(μ－r+λ+γEY1)2(1－eGT)+(λ+γEY21+σ2)G

+（μ-r+λ+γEY1)2(1-eGT)(μ-r+λ+γEY1)2(1-eGT)+(λ+γEY21+σ2)G#8226;

（eATx2-Var［X(T)］-

(xeBT)2(λ+γEY21+σ2)G(μ-r+λ+γEY1)2(1-eGT)+(λ+γEY21+σ2)G）12，

可以看到互助基金定理不成立.

5 數(shù)據(jù)模擬

下面通過(guò)一些數(shù)據(jù)實(shí)例證實(shí)含有信用風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)投資組合策略隨著各因素的預(yù)期值變化而變化的動(dòng)態(tài)性質(zhì).

假設(shè)證券市場(chǎng)可供投資兩種證券，一種股票，一種有違約風(fēng)險(xiǎn)的債券.市場(chǎng)系數(shù)給定如下λ=1，r=0.1，μ=0.3，σ=0.6，初始時(shí)間t=0，投資期為T(mén)=1（年）.

最優(yōu)投資策略的動(dòng)態(tài)性質(zhì)：

為了討論各因素對(duì)最優(yōu)投資策略的影響，設(shè)期望收益b=3.5，x=1.5，分別探討違約強(qiáng)度γ和違約損失率EY1以及EY21對(duì)最優(yōu)投資策略的影響.按照γ、EY1、EY21的不同取值根據(jù)公式（22）計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的投資策略見(jiàn)表1.

同理，給定違約強(qiáng)度γ=1，違約率EY1=0.01以及EY21=0.003，按照r，b，x的不同取值，根據(jù)公式（22）計(jì)算對(duì)應(yīng)的策略見(jiàn)表2.

表1表明違約強(qiáng)度γ，違約損失率EY1越大，分配于股票上的投資量就越多，這意味著投資者要減少投資于含有信用風(fēng)險(xiǎn)債券.而對(duì)于EY21則相反，EY21越大，分配于股票的投資量是越小的.

表2表明含信用風(fēng)險(xiǎn)債券的收益率r以及初始財(cái)富x越大，則分配于股票上的投資量越少，這說(shuō)明投資者將更多的資金用于購(gòu)買(mǎi)債券.而目標(biāo)財(cái)富b越大，分配于股票上的投資量越多，意味著投資者要想獲得更多的收益，則需要投資在股票上更多的資金.

6 結(jié) 論

本文討論了有信用風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)投資策略的選擇問(wèn)題，在均值-方差準(zhǔn)則下，通過(guò)最優(yōu)控制原理得到了最優(yōu)投資策略及有效邊界的解析形式.最后通過(guò)數(shù)值例子分析了違約強(qiáng)度、債券預(yù)期收益率以及目標(biāo)財(cái)富對(duì)最優(yōu)投資策略的影響.文章結(jié)論也可以拓展到有大量的股票和債券下情況.

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文