隨機利息力下的一類年金的時間價值

摘 要 對于年金的時間價值的研究，往往假定利率在整個期間內是固定不變的.但事實上，由于受到多種因素的影響，利率通常具有不確定性.因此，本文采用可逆MA(1)模型對隨機利息力進行建模，在此基礎上，研究了期末付虹式年金和期末付平頂虹式年金的時間價值問題，給出了上述兩種形式年金現值的期望和方差的遞推公式.通過數值仿真分析了相關參數對期末付虹式年金現值的期望值的影響，其結論對投資者的投資決策提供了參考依據.

關鍵詞 隨機利息力；年金；期望；矩母函數

中圖分類號 F840 文獻標識碼 A

Time Value of a Class of Annuities with Stochastic Interest Force

AN Yong

(Department of Science， Shanxi University Business College， Taiyuan， Shanxi 030031，China)

Abstract In the research of time value of annuities， interest rate is usually assumed to be constant throughout the whole period. However， it is often uncertain for various factors. In this paper， the stochastic interest force was modeled by adopting reversible MA(1)， and based on this， the time value offinal rainbow-payment-annuity and final flatheaded rainbow-payment-annuity were studied，thus the formulas for the expectation and variance of present value were given. By numerical simulation， the influence of relevant parameters on the expectation of present value of final rainbow-payment-annuity was analyzed，which provides a reference to investors in making investment decisions.

Keywords stochastic interest force; annuities; expectation; moment generation function

1 引 言

年金是指一系列按相等時間間隔支付的款項.年金在經濟生活中應用廣泛，如零存整取的銀行存款、住房按揭貸款、養老金給付、分期繳付保費等，都屬于年金的形式.因此，對年金的相關問題進行研究是非常有必要的.

對于年金問題的研究，其核心是在利率條件下確定它的現值或終值.為了研究的方便，傳統的精算理論往往假定利率是固定不變的.事實上，受國內經濟狀況、產業的平均利潤水平、貨幣的供給與需求狀況、物價水平、國際經濟狀況和貨幣政策等多種因素的影響，未來利率往往具有不確定性.因此，把利率看做隨機變量來處理更符合實際情況.在隨機利率下，國內外學者從兩個角度對年金的時間價值進行了研究.其一，在假定利率為時間的連續函數的基礎上，對年金的各階矩進行了研究:Beekman， Fuelling[1]得到了利率由Winer 過程建模的某些年金的一、二階矩.謝小良[2]對利率采用Winer 過程和O-U過程建模，得到了未來現金流現值函數的一、二階矩，并給出了標準年金的一、二階矩的計算公式.兩者的共同之處是采用Winer過程對利率進行建模，但是由Winer過程的特征可知，利率在某些時刻呈現出零或負值，與實際情況不符.為避免這種情況，David Perry[3] ，郭春增，王秀瑜[4]采用反射布朗運動對利率函數進行更合理的刻畫，對年金或生存年金的值問題進行了研究，其結論更接近實際.其二，用時間序列對利息力進行建模， 研究離散時間下某些年金的現值或終值問題：Zaks[5]首次給出了期初付年金的積累值的遞推關系， 計算了某些年內一類期初付年金的積累值的期望和方差.王麗燕， 楊德禮[6]得出了隨機利率下按級數支付的年金現值的期望和方差的計算公式，這些公式只與某些固定利率下的延付年金的現值有關，具有便于計算的特點.劉凌晨[7]給出了期末付(倒)虹式年金、期末付平頂(倒)虹式年金的積累值的遞推公式，拓展了文獻[6]的結果，具有一定的理論價值.上述研究的出發點均是假設各期利率之間是相互獨立的.事實上，受經濟、社會等多種因素的影響，各期利率，尤其是近期利率之間存在一定的相關性.因此，在各期利率相關情形下對各類年金的各階矩進行研究更符合實際情況.

在前人研究的基礎上，本文假定利息力的不確定性僅與過去緊鄰一年的利息力有關，即利用可逆MA(1)模型對利息力進行更加合理的刻畫.然后，借助矩母函數和矩陣相關理論，給出了期末付虹式年金與期末付平頂虹式年金現值的期望、方差的計算公式，且在假定隨機干擾項服從標準正態分布下，對期末付虹式年金現值的期望值進行了數值仿真，并分析了相關參數對期末付虹式年金現值的期望值的影響.

2 固定利率下標準年金的現值公式

假設固定利率為j(j≠－1)，利息力為δ，則折現因子v=11+j=e－δ，則在n年內每年年末支付額為1的期末付年金的現值為

an=∑ni=1vi=v1－vn1－v=e－δ1－e－nδ1－e－δ. (1)

n年內每年年初支付額為1的期初付年金的現值為

n=∑n－1i=0vi=1－vn1－v=1－e－nδ1－e－δ. (2)

3隨機利息力下期末付(平頂)虹式

年金現值的期望與方差

3.1 基本假設

假設利息力的不確定性只與過去相鄰一年的利息力有關，利用可逆MA(1)模型對利息力進行建模:

δk=μ+εk－θεk－1，k=1，2，…，

其中，δk為第k期的利息力;μ為常數利息力;隨機過程εk滿足:E(εk)=0，

Var(εk)=σ2對所有k成立，不同時刻εk與εs相互獨立(k≠s)，即εk為獨立同分布白噪聲過程[8]；－1<θ<1.

3.2隨機利息力下按級數變化支付年金現值的期望

用(Ia)n表示n年內每年年末分別支付1，2，…，n的遞增形式年金的現值，即

(Ia)n=e－Δ1+2e－Δ2+…+ne－Δn，(3)

其中，

Δk=δ1+δ2+…+δk.

定理1 在利息力基本假設下，

E［(Ia)n］=Ce－λ(1－e－nλ)(1－e－λ)2－Cne－(n+1)λ1－e－λ，

其中，

C=M(θ)M(－1)M(θ－1)，λ=μ－ln M(θ－1)，

M(t)=E(etε)為變量ε的矩母函數.

證明記

Δk=δ1+δ2+…+δk，則

Δk=kμ+(ε1－θε0)+(ε2－θε1)+…+(εk－θεk－1)

=kμ－θε0+(1－θ)(ε1+ε2+…+εk－1）+εk.(4)

由第k年的折現因子vk=∏ks=1e－δk=e－Δk，得

E(vk)=E(e－Δk)=e－kμE(eθε0)E(e－(1－θ)ε1)E(e－(1－θ)ε2)#8226;…#8226;

…#8226;E(e－(1－θ)εk－1)E(e－εk)

=e－kμM(θ)Mk－1(θ－1)M(－1)

=M(θ)M(－1)M(θ－1)e－k(μ－ln M(θ－1))=Ce－kλ.(5)

其中，

C=M(θ)M(－1)M(θ－1)，λ=μ－ln M(θ－1)，

M(t)=E(etε)為變量ε的矩母函數.

則

E［(Ia)n］=E(e－Δ1)+2E(e－Δ2)+…+nE(e－Δn)

=Ce－λ+2Ce－2λ+…+nCe－nλ.(6)

式(6)乘以

e－λ，得

e－λE［(Ia)n］=Ce－2λ+2Ce－3λ+…+nCe－(n+1)λ.(7)

式(7)減式(6)整理得

E［(Ia)n］=Ce－λ(1－e－nλ)(1－e－λ)2－Cne－(n+1)λ1－e－λ。

用n|（Da)n-1表示延期n年支付，第n+1年末支付額為n－1，而后逐年遞減1，至2n－1年末時支付額為1的年金現值，即

n|(Da)n-1=(n-1)e-Δn+1+

(n-2)e-Δn+2+…+e-Δ2n-1.(8)

其中，

Δk=δ1+δ2+…+δk.

根據定理1的證明思路，有以下結論:

定理2 在利息力基本假設下，

E［n(Da)n－1］=Cne－(n+1)λ1－e－λ－Ce－λ(n+1)(1－e－nλ)(1－e－λ)2.

其中，

C=M(θ)M(－1)M(θ－1)，λ=μ－ln M(θ－1)，

M(t)=E(etε)為變量ε的矩母函數.

3.3 隨機利息力下期末付虹式年金現值的期望與方差

設某期末付年金各年末分別支付1，2，…n－1，n，n－1，n－2，…2，1，共2n－1個付款期，稱為期末付虹式年金，其年金現值記為(PV)2n－1，即

(PV)2n－1=e－Δ1+2e－Δ2+…+

ne－Δn+(n－1)e－Δn+1+

(n－2)e－Δn+2+…+e－Δ2n－1， (9)

其中，

Δk=δ1+δ2+…+δk.

定理3 設(PV)2n－1為期末付虹式年金的現值，在利息力基本假設下，有

E［(PV)2n－1］=Cann，

其中，C=M(θ)M(－1)M(θ－1)，λ=μ－ln M(θ－1)為年金an，a¨n所適用的利息力， M(t)=E(etε)為變量ε的矩母函數，并且

Var［(PV)2n－1］=ACov(x，xT)AT，

其中，

A=(1，2，…n，n－1，n－2，…2，1)表示行向量，

x=(e－Δ1，e－Δ2，…e－Δ2n－1)T表示列向量.

Cov(x，xT)=δ11δ12…δ1，2n－1

δ21δ22…δ2，2n－1



δ2n－1，1δ2n－1，2…δ2n－1，2n－1

為協方差矩陣，滿足

CovT(x，xT)=Cov(x，xT)，且

δrk=Cov(e－Δr，e－Δk)

=e－2kμ［M(2θ)Mk－1(2θ－2)M(－2)－

M2(θ)M2k－2(θ－1)M2(－1)］，r=k，

e－(k+r)μ{［M(2θ)Mr－1(2θ－2)M(θ－2)Mk－r－1(θ－1)M(－1)］－M2(θ)Mk+r－2(θ－1)M2(－1)}，r

證明 先證E［(PV)2n－1］=Cana¨n.

由定理1和定理2可知

(PV)2n－1=e－Δ1+2e－Δ2+…+

ne－Δn+(n－1)e－Δn+1+

(n－2)e－Δn+2+…+e－Δ2n－1

=（Ia)n+n|(Da)n-2.(10)

因此

E［(PV)2n－1］=E［(Ia)n］+E［n(Da)n－1］

=Ce－λ1－e－nλ1－e－λ1－e－nλ1－e－λ=Cann.(11)

其中，C=M(θ)M(－1)M(θ－1)，λ=μ－ln M(θ－1)為年金an，a¨n所適用的利息力， M(t)=E(etε)為變量ε的矩母函數.

下證

Var［(PV)2n－1］=ACov(x，xT)AT

當r

Δr+Δk=2Δr+δr+1+δr+2+…+δk

=(k+r)μ－2θε0+2(1－θ)ε1+…+

2(1－θ)εr－1+(2－θ)εr+(1－θ)εr+1+

…+(1－θ)εk－1+εk. (12)

記 δrk=Cov(e－Δr，e－Δk)，因此

δrk=E(e－Δre－Δk)－E(e－Δr)E(e－Δk)

=e－(k+r)μ［M(2θ)Mr－1(2θ－2)M(θ－2).

Mk－r－1(θ－1)M(－1)－

M2(θ)Mk+r－2(θ－1)M2(－1)］r

同理可得

δkk=E(e－Δke－Δk)－E(e－Δk)E(e－Δk)

=e－2kμ［M(2θ)Mk－1(2θ－2)M(－2)－

M2(θ)M2k－2(θ－1)M2(－1)］.(14)

記A=(1，2，…n，n－1，n－2，…2，1)，

x=(e－Δ1，e－Δ2，…e－Δ2n－1)T，

Cov(x，xT)=δ11δ12…δ1，2n－1δ21δ22…δ2，2n－1

δ2n－1，1δ2n－1，2…δ2n－1，2n－1.

由此

Var［(PV)2n－1］=Cov((PV)2n－1，(PV)2n－1)

=Cov(Ax，Ax)=ACov(x，xT)AT.(15)

3.4 隨機利息力下期末付平頂虹式年金現值的期望與方差

設某期末付年金各年末分別支付1，2，…n－1，n，n，n－1，n－2，…2，1，共2n個付款期，稱為期末付平頂虹式年金，其年金現值記為(PV)2n，即

(PV)2n=e－Δ1+2e－Δ2+…+ne－Δn+ne－Δn+1+

(n－1)e－Δn+2+(n－2)e－Δn+3+…+e－Δ2n， (16)

其中，

Δk=δ1+δ2+…+δk.

利用定理3的證明思路，有以下命題:

定理4 設(PV)2n為期末付平頂虹式年金的現值，在利息力基本假設下，有

E［(PV)2n］=Cana¨n+1，

其中，C=M(θ)M(－1)M(θ－1)，λ=μ－ln M(θ－1)為年金an，a¨n所適用的利息力， M(t)=E(etε)為變量ε的矩母函數.

并且

Var［(PV)2n］=BCov(y，yT)BT.

其中，B=(1，2，…n，n，n－1，n－2，…，1)表示行向量，

y=(e－Δ1，e－Δ2，…e－Δ2n)T表示列向量

Cov(y，yT)=δ11δ12…δ1，2nδ21δ22…δ2，2nδ2n，1δ2n，2…δ2n，2n

為協方差矩陣，滿足

CovT(y，yT)=Cov(y，yT)，且

δrk=Cov(e－Δr，e－Δk)

=e－2kμ［M(2θ)Mk－1(2θ－2)M(－2)－M2(θ)M2k－2(θ－1)M2(－1)］，r=k，

e－(k+r)μ{［M(2θ)Mr－1(2θ－2)M(θ－2)Mk－r－1(θ－1)M(－1)］－M2(θ)Mk+r－2(θ－1)M2(－1)}，r

4 數值仿真

為了便于理解本文的研究成果，在這里進行數值模擬仿真.

某付款業務采用期末付虹式年金的形式，假設隨機干擾項服從標準正態分布εk～N(0，σ2)，則εk的矩母函數為M(t)=eσ22t2，在利息力基本假設下，由定理3可知期末付虹式年金現值的期望值為E［(PV)2n－1］=eθσ2ana¨n.根據定理3可知相應的利息力為λ=μ－0.5(θ－1)2σ2.

不失一般性，基礎數據假設為[9]:常數利息力μ=0.06，θ=0.5，付款期為59年，即 n=30年，隨機干擾項的方差為σ2=0.072，由基礎數據可得期末付虹式年金現值的期望值為E［(PV)2n－1］=196.522 6，而在常數利息力μ=0.06的條件下，期末付虹式年金的現值為(PV)2n－1=193.476 9.兩者相比，期末付虹式年金現值的期望值增加了1.57%.

4.1 參數θ，σ2對期末付虹式年金現值期望值的影響

固定μ=0.06，n=30，圖1給出了參數θ，σ2對期末付虹式年金現值的期望值的影響.由圖1，期末付虹式年金現值的期望值隨參數θ的變大而逐步

減小;期末付虹式年金現值的期望值隨參數σ2的增大而逐步增大.這是因為隨著θ的增大，折現因子將不斷減小，導致期末付虹式年金現值的期望值逐漸減小;σ2越大，隨機干擾項對利息力的影響越大，從而折現因子越大，期末付虹式年金現值的期望值隨之而逐漸增大. 此結論從側面說明，利率頻繁波動將對經濟，尤其是金融活動產生巨大的影響.因此，追求利率穩定是非常有必要的.

圖1參數θ，σ2與期末付虹式年金現值的

期望值的關系

4.2 參數θ，n對期末付虹式年金現值的期望值的影響

固定μ=0.06，σ2=0.072，由圖2可以看出，期末付虹式年金現值的期望值隨著付款期限的延長而逐步增大，且其速率逐步減小，當付款期限無限延長時，其速率逐步趨于零，即期末付虹式年金現值的期望值趨于某一常數.產生這種情況的原因在于，期末付虹式年金現值的期望值的大小是付款額和利息力折現因子共同作用的結果.在其他參數固定不變的情況下，隨著付款期限的延長，各期付款額現值的期望值之和將逐步增大，使得期末付虹式年金現值的期望值隨之而增大，但是折現因子(指數函數)的作用明顯大于付款額的作用，付款期限越長，折現因子越小，導致其增長速率越小，當付款期限無限延長時，折現因子將趨于零，從而期末付虹式年金現值的期望值將趨于某一常數.

4.3 參數θ，μ對期末付虹式年金現值的期望值的影響

固定n=30，σ2=0.072，由圖3可以看出，期末付虹式年金現值的期望值隨參數μ的增大而減小，其原因在于隨著常數利息力的不斷增大，折現因子將不斷減小.

5 結束語

對于隨機利率下年金現值或積累值的各階矩的研究，往往假定各期利率是相互獨立的.但事實上，受經濟、社會多種因素的影響，各期利率之間往往具有一定的相關性.因此，本文采用可逆MA(1)模型對隨機利率進行建模，在此基礎上，借助矩母函數以及矩陣相關理論，對期末付虹式年金以及期末付平頂虹式年金的時間價值進行了探討.文章首先給出了隨機利息力下按級數變化即期(延期)支付年金現值的期望公式，進而給出了期末付虹式年金以及期末付平頂虹式年金現值的期望和方差的計算公式，并通過數值仿真研究了相關參數對期末付虹式年金現值的期望值的影響，其結論對金融、保險、成本管理以及資本資產定價有一定的指導意義.

值得指出的是，本文的不足之處在于假設利息力的不確定性僅與過去緊鄰一年的利息力有關，通過可逆MA(1)模型對利息力進行了刻畫，而實際中利率可能受過去數年經濟因素和投資結構的影響，因此，為使模型更切合實際，可考慮將MA(1)模型推廣為MA(q)模型， 在此基礎上，可以進一步研究隨機利息力對各類年金現值的各階矩產生的影響.

參考文獻

［１］ John A BECKMAN， Clinton P FUELLING. Extra randomness in certain annuity models [J]. Insurance: Mathematics and Economics， 1991， 10(2): 275-287.

[2] 謝小良.未來現金流的矩研究[J].系統工程，2004，22(4):36-38.

[3] David PERRY， WolfgangSTADJE. Function space integration for annuities [J]. Insurance: Mathematics and Economics， 2001， 29(1): 73-82.

[4] 郭春增，王秀瑜.隨機利率下的壽險精算模型[J].統計與決策，2008，9(2):53-55.

[5] A ZAKS. Annuities under random rates of interest [J]. Insurance: Mathematics and Economics， 2001， 28(1):1-11.

[6] 王麗燕，楊德禮.一類隨機利率下的確定年金[J].數學的實踐與認識，2005，35(12):7-12.

[7] 劉凌晨.隨機利率下的一類特殊年金[J].數學的實踐與認識，2009，39(10):26-31.

[8] 潘紅宇.金融時間序列模型[M].北京:對外經濟貿易大學出版社，2008:58-60.

[9] E W FREES. Stochastic life contingencies with solvency considerations[J]. Transaction of Societies of Actuaries， 1990， 42(10):91-104.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文