更新跳躍擴(kuò)散過程下的復(fù)合期權(quán)定價

摘 要 假設(shè)關(guān)于標(biāo)的股票的重大信息到達(dá)服從更新過程，并假設(shè)跳躍高度服從對數(shù)正態(tài)分布，利用期權(quán)定價的鞅方法，推導(dǎo)得到了股票價格服從更新跳躍-擴(kuò)散過程的歐式期權(quán)以及復(fù)合期權(quán)的定價公式.

關(guān)鍵詞 更新過程；期權(quán)定價；復(fù)合期權(quán)；更新跳-擴(kuò)散過程

中圖分類號 O211.6；F830.9 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A

Pricing of Compound Option Based on Renewal JumpDiffusion Stochastic Process

LIANG Hongfeng， TANG Canqin， Ren Yin

(Dalian Maritime University Dalian，Liaoning 116026，China)

Abstract This paper assumes thatthe great information coming is a renewal process， while the share price is still a continuous function of time between two pieces of information and the jump height follows lognormal distribution. By means of martingale method， we obtained the European option and compound option pricing formula on stocks with renewal jumpdiffusion process.

Key words renewal process; option pricing;compound option;renewal jumpdiffusion process

1 引 言期權(quán)定價是一直是金融數(shù)學(xué)研究的核心內(nèi)容之一，而期權(quán)定價的核心內(nèi)容則是標(biāo)的股票的價格過程.實際中，由于市場中重大信息的到達(dá)，如政治環(huán)境的變化甚至經(jīng)濟(jì)社會的某場自然災(zāi)害，都會引起股票價格的不連續(xù)的跳躍.另外，近年來隨著金融市場的發(fā)展，出現(xiàn)了許多新型期權(quán)，如復(fù)合期權(quán)，障礙期權(quán)，任選期權(quán)等，這些期權(quán)與標(biāo)準(zhǔn)的歐式期權(quán)在某些方面發(fā)生或多或少的變異，因此也稱為奇異期權(quán).本文所研究的復(fù)合期權(quán)在投資決策中的運(yùn)動現(xiàn)期是具有重大現(xiàn)實意義的研究課題.

本文假設(shè)關(guān)于標(biāo)的股票的重大信息到達(dá)服從更新過程，而兩次重大信息之間的時段標(biāo)的股票的運(yùn)動方程依然是時間的連續(xù)函數(shù)，并假設(shè)跳躍高度服從對數(shù)正態(tài)分布，利用測度變換的Girsanov定理，找到等價鞅測度，利用期權(quán)定價的鞅方法，用比較簡單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到股票價格服從更新跳躍擴(kuò)散過程的歐式期權(quán)以及復(fù)合期權(quán)的定價公式.

2 更新跳擴(kuò)散下的期權(quán)定價

模型的構(gòu)建與求解

考慮金融市場僅有兩種證券——一種無風(fēng)險資產(chǎn)即債券與一種風(fēng)險債券.設(shè)A(t)為無風(fēng)險金融債券在時刻t的價格，它所滿足的方程為：dA(t)=rA(t)dt，其中r為無風(fēng)險利率.設(shè)S(t)為t時刻股票的價格， 隨機(jī)變量Y表示由一次重大信息到達(dá)引起的股票增長的的相對高度，且EY=k，其中E為概率測度P下的期望算子，且ln(1+Y)服從正態(tài)分布N(ln(1+k)－12λ2，λ2).文獻(xiàn)［1］利用更新過程的更新定理推出S(t)滿足隨機(jī)微分方程：

dS(t)t=(μ－kθ)dt+σdB(t)+Ydq(t)，（1）

其中μ是風(fēng)險證券的預(yù)期收益率，σ是股票的價格沒有發(fā)生跳躍時的波動系數(shù)，q(t)為更新過程.令dω(t)=μ－rδdt+dB(t)，則由Girsanov定理［2］知： dω(t)=μ－rδdt+dB(t)是概率測度Q下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動.

對于dS(t)t=(r－kθ)dt+δdω+Ydq(t)，文獻(xiàn)［1］給出其解為：

S(t)=S(0)exp r－kθ－12δ2t+

δω(t)+∑q(t)i=0ln (1+Yi)，（2）

其中Yi是與Y獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量.

下面來推導(dǎo)更新跳擴(kuò)散過程下的歐式看漲期權(quán)的價格.設(shè)V(t，S(t)) 是以以上股票為標(biāo)的資產(chǎn)，執(zhí)行價格為C，到期日為T的歐式看漲期權(quán)在t時刻的價格，在到期日T，期權(quán)的價格為：

V(T，S(T))=(S(T)－C)+［3］.

現(xiàn)有定理：

定理1 設(shè)到期日為T，執(zhí)行價格為C的期權(quán)在t時刻的價格V(t，S(t)).則：

V(t，S(t))=∑

n=0［Fn(τ)－Fn+1(τ)］#8226;

S(t)(1+k)ne－kθτΦ(d1)－CeτΦ(d2)，（3）

其中

d1=ln S(t)(1+k)nC+(r－kθ+12δ2)τ+12nλ2nλ2+δ2τ，

d2=d1－nλ2+δ2τ，τ=T－t證 由前面的討論，歐式看漲期權(quán)的邊界條件為：

V(T，S(T))=(S(T)－C)+，

現(xiàn)由期權(quán)定價的鞅方法可得：

V(t，S(t))=e－r(T－t)EV(T，S(T))

=e－r(T－t)ES(T)－C+，（4）

其中E為概率測度Q下的期望算子.令τ=T－t，q(τ)=q(T)－q(t)，g=ω(T)－ω(t)τ，由文獻(xiàn)［1］知

S(T)=S(t)exp r－kθ－12δ2τ+

δτg+∑q(τ)i=0ln (1+Yi). （5）

從而，

V(t，S(t))=e－rτES(T)－C+

=e－rτE［S(t)exp r-kθ+12δ2τ+δτg+

∑q(τ)i=0ln(1+Yi)-C］+

=E［S(t)exp －kθ+12δ2τ+δτg+

∑q(τ)i=0ln(1+Yi)#8226;IS(T)≥C］#8226;

－Ce－rτE［IS(T)≥C］=Ⅰ-Ⅱ，

其中，

Ⅰ=E［S(t)exp －kθ+12δ2τ+δτg+

∑q(τ)i=0ln(1+Yi)#8226;IS(T)≥C］=∑

n=0P(q(τ)=n)#8226;

E［S(t)exp －kθ+12δ2τ+δτg+∑ni=0ln (1+

Yi)Iδτg+∑ni=0ln(1+Yi)≥ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)τ］

=∑

n=0P(q(τ)=n)S(t)e－kθ+12δ2τ#8226;

E［eδτg+∑ni=0ln(1+Yi)Iδτg+∑ni=0ln(1+Yi)≥ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)τ］

=∑

n=0P(q(τ)=n)S(t)e－kθ+12δ2τ#8226;

(1+k)ne12δ2τΦ(d1)

=∑

n=0P(q(τ)=n)S(t)(1+k)ne－kθτΦ(d1).

這里δτg+∑ni=0ln(1+Yi)～N(ln(1+k)n－12nλ2，nλ2+δ2τ)，且

Ⅱ=Ce－rτE［IS(T)≥C］=C∑

n=0P(q(τ)=n)erτ#8226;

E［Iδτg+∑ni=0ln(1+Yi)≥ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)τ］

=C∑

n=0P(q(τ)=n)erτΦ(d2).

因為P(q(τ)=n)=Fn(τ)－Fn+1(τ)，則

V(t，S(t))=∑

n=0［Fn(τ)－Fn+1(τ)］#8226;

S(t)(1+k)ne－kθτΦ(d1)－CerτΦ(d2) .

證畢.

注當(dāng)t=0，τ=T時，

V(0，S(0))=∑

n=0［Fn(T)－Fn+1(T)］#8226;

S(0)(1+k)ne－kθTΦ(d1)－CerTΦ(d2)，(6)

其中

d1=ln S(0)(1+k)nC+(r－kθ+12δ2)T+12nλ2nλ2+δ2T，

d2=d1－nλ2+δ2T .

令θ→

，此時為傳統(tǒng)的BlackScholes模型.其實q(T)=0以概率1成立則表明在［0，T］內(nèi)并無影響股價波動的重大信息的到來，很自然的符合傳統(tǒng)定價模型.此外，若重大信息到來的時間間隔服從參數(shù)為α的負(fù)指數(shù)分布，則式（3）為以泊松跳擴(kuò)散過程為基礎(chǔ)的期權(quán)價格［4］.

3 復(fù)合期權(quán)定價模型及求解

復(fù)合期權(quán)是基于期權(quán)的期權(quán)，即以某個期權(quán)做為標(biāo)的資產(chǎn)，主要有4種類型：基于某個看漲期權(quán)的看漲期權(quán)，基于某個看漲期權(quán)的看跌期權(quán)，基于某個看跌期權(quán)的看漲期權(quán)和基于某個看跌期權(quán)的看跌期權(quán).這里僅考慮基于歐式看漲期權(quán)的看漲期權(quán)的價格，考慮以以上期權(quán)為標(biāo)的資產(chǎn)的復(fù)合期權(quán)，其在t時刻的價格為V(t，S(t))，執(zhí)行價格為執(zhí)行價格為C1，其到期日為T1(T1＜T)，到期日此復(fù)合期權(quán)的價格為V'(T1，S(T1))=(V(T1，S(T1))－C1)+［5］.

定理2 執(zhí)行價格為C1，到期日為T1(T1

V'(t，S(t))=∑

n=0∑

m=0［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］#8226;

［Fm(τ2)－Fm+1(τ2)］S(t)e－kθτ(1+k)n+mN2(a1，b1，ρ)－

∑

n=0∑

m=0［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］［Fm(τ2)－

Fm+1(τ2)］Ce－r(T－t)N2(a2，b2，ρ)

－C1e－rτ1∑

n=0［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］#8226;Φ(a2)， （7）

其中

a2=ln S(t)(1+k)nS+(r－kθ－12δ2)τ1－12nλ2nλ2+δ2τ1，

a1=a2+δ2τ1+nλ2，

b2=ln S(t)(1+k)n+mC+(r－kθ－12δ2)τ－12(n+m)λ2(n+m)λ2+δ2τ，

b1=b2+δ2τ+(n+m)λ2，

ρ=δ2τ1+nλ2δ2τ+(n+m)λ2τ1=T1－t，τ2=T－T1.

S是方程V(T1，S(T1))=C1中S(T1)的唯一解，其中V(T1，S(T1))滿足式（3）.

證明 此復(fù)合期權(quán)的邊界條件為V'(T1，S(T1))=(V(T1，S(T1))－C1)+，由期權(quán)定價的鞅方法有：

V′(t，S(t))=e－r(T1－t)E［V(T1，S(T1))－C1］+.

令τ1=T1－t，g1=ω(T1)－ω(t)τ1，q(τ1)=q(T1)－q(t)，則

S(T1)=S(t)exp r－kθ－12δ2τ1+

δτ1g1+∑q(τ1)i=0ln(1+Yi).（8）

現(xiàn)對V'(t，S(t))求解.

V'(t，S(t))=e－r(T1－t)E［V(T1，S(T1))-C1］+

=E{e－r(T－t)E［S(T)－C］+#8226;IS(T1)≥S}-

C1e－r(T1－t)E［IS(T1)≥S］=Ⅰ-Ⅱ.

因為 X≡δτ1g1+∑ni=0ln(1+Yi)～N(ln (1+k)n－12nλ2，nλ2+δ2τ1)， 故

Ⅱ=C1e－r(T1－t)E［IS(T1)≥S］=C1e－rτ1#8226;

E［Iδτ1g1+∑q(τ1)i=0ln(1+Yi)≥ln SS(t)－(r－kθ－12δ2)τ1］

=C1e－rτ1∑

n=0P(q(τ1)=n)#8226;

E［Iδτ1g1+∑ni=0ln(1+Yi)≥ln SS(t)－(r－kθ－12δ2)τ1］

=C1e－rτ1∑

n=0P(q(τ1)=n)#8226;Φ(a2).

記

Ⅰ=Ee－r(T－t)E［S(T)－C］+IS(T1)≥S

=ES(t)exp －kθ+12δ2τ+

δτg+∑q(τ)i=0ln(1+Yi)IS(T)≥C，S(T1)≥S

－E［Ce－r(T－t)IS(T)≥C，S(T1)≥S］=Ⅰ1-Ⅰ2

由S(T)≥C可得：

δω(T)－ω(t)+∑q(T)－q(t)i=0ln(1+Yi)≥

ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)(T－t)，

即有：

δτ1g1+∑q(τ1)i=0ln(1+Yi)+δ(ω(T)－

ω(T1))+∑q(T)－q(T1)i=q(τ1)ln(1+Yi)≥

ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)(T－t).

令η=X+δ(ω(T)－ω(T1))+∑n+mi=n+1ln(1+Yi)=X+X′， τ2=T－T1，q(τ2)=q(T)－q(T1)

g2=ω(T)－ω(T1)T－T1，則有X′～N(ln (1+k)m－12mλ2，mλ2+δτ2).從而η～N(ln (1+k)n+m－12(n+m)λ2，(n+m)λ2+δτ).因此，

Ⅰ2=E［Ce－r(T－t)IS(T)≥C，S(T1)≥S］

=∑

n=0∑

m=0P(q(τ1)=n)P(q(τ2)=m)#8226;

Ce－r(T－t)E［Iη≥ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)τ，X≥ln SS(t)－(r－kθ－12δ2)τ1］

=∑

n=0∑

m=0P(q(τ1)=n)P(q(τ2)=m)#8226;

Ce－r(T－t)N2(a2，b2，ρ)，

且

Ⅰ1=ES(t)exp －kθ+12δ2τ+

δτg+∑q(τ)i=0ln(1+Yi)IS(T)≥C，S(T1)≥S

=S(t)e－kθ+12δ2τE［exp {δτg+

∑q(τ)i=0ln(1+Yi)}IS(T)≥C，S(T1)≥S］

=∑

n，m=0P(q(τ1)=n)P(q(τ2)=m)S(t)#8226;

e－kθ+12δ2τE［eηIη≥ln CS(t)－(r－kθ－12δ2)τ，X≥ln SS(t)－(r－kθ－12δ2)τ1］

=∑

n=0∑

m=0P(q(τ1)=n)P(q(τ2)=m)#8226;

S(t)e－kθτ(1+k)n+mN2(a1，b1，ρ).

而

P(q(τ1)=n)P(q(τ2)=m)

=［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］［Fm(τ2)－Fm+1(τ2)］

故綜上可得

V′(t，S(t))=∑

n=0∑

m=0［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］#8226;

［Fm(τ2)－Fm+1(τ2)］S(t)e－kθτ(1+k)n+m#8226;

N2(a1，b1，ρ)－∑

n=0∑

m=0［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］#8226;

［Fm(τ2)－Fm+1(τ2)］Ce－r(T－t)N2(a2，b2，ρ)

－C1e－rτ1∑

n=0［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］#8226;Φ(a2).

證畢.

注 若重大信息到來的時間間隔服從參數(shù)為α的負(fù)指數(shù)分布，則α=1θ，相應(yīng)的［Fn(τ1)－Fn+1(τ1)］=(ατ1)nn!e－ατ1，Fm(τ2)－Fm+1(τ2)=(ατ1)mm!e－ατ2，式（7）即為以泊松跳擴(kuò)散過程為基礎(chǔ)的期權(quán)價格［4］.

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文