融通:讓梯形面積計算公式變成“萬能”

復習與總結，不是對原有的知識進行線性的重復，不是對原有的知識點重新講解一遍，而是要有所創新，要讓學生有新的領悟、新的收獲．正是基于此，在學生學習完小學階段平面圖形面積計算的時候，我們就可以來一個創新，來一次總結，來一次融通，讓學生的思維來個飛躍．

1. 與三角形面積相融通

如圖1，梯形的面積計算公式是：S＝（a＋b）·h÷2．當上底b＝0時，這時梯形就變成了三角形，面積計算公式也成了：S＝（a＋b）·h÷2＝（a＋0）·h÷2＝a·h÷2．這也就是三角形的面積計算公式，可見梯形面積計算公式與三角形面積計算公式是相融通的．

2. 與平行四邊形面積相融通

如圖2，梯形的面積計算公式是：S＝（a＋b）·h÷2．當上底與下底相等，即b＝a時，這時梯形就變成了平行四邊形，面積計算公式也成了：S＝（a＋b）·h÷2＝（a＋a）·h÷2＝2a·h÷2＝a·h．這不正是平行四邊形的面積計算公式嗎？從變換過程可知梯形面積與平行四邊形面積是相融通的．

3. 與圓面積相融通

如圖3，從圖形的漸變過程我們是否可以這樣去看：扇形（近似三角形）逐漸變大（圓心角變大），當變化到一定程度，就成了圓．我們試著用梯形面積計算公式進行推導，這里需要注意的就是，近似三角形（扇形）的底逐漸變成圓周的長度，即b＝0，a＝2πr，h＝r，于是有S＝（a＋b）·h÷2＝（2πr ＋0）·r÷2＝2πr·r÷2＝πr2．

從上面的推導過程來看，我們也可以用梯形面積的計算公式來推導圓面積的計算公式，并且，不見得就是晦澀難解，只要讓學生理解了圖3中的漸變過程，問題就迎刃而解了．

4. 與圓環面積相融通

如圖4，把環形沿環寬剪開，就得到一個近似的梯形，這一環節如果能夠讓學生自己動手操作一下，問題就更簡單了．

我們來看看，梯形的上底就是里面小圓的周長，梯形的下底就是外面大圓的周長，梯形的高就是環寬．圓環的面積＝“梯形的面積”＝（上底＋下底）×高÷2，即S＝（a＋b）·h÷2＝（2πr＋2πR）·（R－r）÷2＝2π（R＋r）·（R－r）÷2＝π（R2－r2）＝πR2－πr2．這就是圓環的面積計算公式．

可見，用梯形面積計算公式，也完全可以把圓環的面積推導出來，并且一點也不難理解，學生會覺得“豁然開朗”．另外，這里也讓學生明白了：如果已知一個圓環內外圓的周長以及環寬，要求圓環的面積，完全可以直接套用梯形面積計算公式進行計算．

也許，我們會覺得用梯形面積計算公式去推導三角形、平行四邊形的面積，犯了邏輯錯誤．其實這是一種誤解，從根本上說，梯形的面積計算公式與諸圖形之間的面積計算公式的互相推導，并不存在邏輯的矛盾關系，因為平面圖形的面積度量，都是用面積單位去量度的，只要測量出平面圖形包含幾個面積單位，則可以得出該平面圖形的面積是幾，因此它們之間并不存在什么邏輯必然的關系．因此，我們在教學中融匯這些幾何形體的面積計算公式是必要的，也是可行的，并不相悖，它能夠讓學生對這些計算公式有個新的認識，有個全面的把握，在理解上應該是更高的一個層次，同時也給學生滲透一種“融通”的數學思維，一種新的認知方式，讓學生的認識來個質的飛躍．相信經過這樣的“融會貫通”，經過這樣的“洗禮”，學生對一些幾何形體的面積計算公式一定會有“頓悟”之感．

本欄責任編輯羅峰