轉(zhuǎn)換與化歸思想的應(yīng)用

轉(zhuǎn)換與化歸思想是指在研究和解決問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而使問題得到解決的一種解題策略．一般情況下，總是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將較難的問題轉(zhuǎn)化為較容易求解的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題．

轉(zhuǎn)換與化歸思想是解決問題時常用的基本數(shù)學(xué)思想方法，它的主要特點是靈活性與多樣性，因此應(yīng)用變換的方法去解決數(shù)學(xué)問題時，就沒有一個統(tǒng)一的模式可以遵循，為此需要我們依據(jù)問題本身所提供的信息，利用動態(tài)思維去尋找有利于問題解決的轉(zhuǎn)換途徑和方法，并從中進行選擇．常用的轉(zhuǎn)換策略有：數(shù)學(xué)命題的等價與非等價轉(zhuǎn)化，一般與特殊的轉(zhuǎn)換，數(shù)與形的轉(zhuǎn)換，正與反的轉(zhuǎn)換，空間與平面的轉(zhuǎn)換，通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換等．下面就通過具體的實例，探討如何有效地、靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)換與化歸思想解決數(shù)學(xué)問題．

一、數(shù)學(xué)命題的轉(zhuǎn)換

轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化．等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果．非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對結(jié)論進行必要的修正．因此在應(yīng)用轉(zhuǎn)換化歸時一定要注意轉(zhuǎn)化的等價性與非等價性的不同要求，若實施等價轉(zhuǎn)化時確保其等價性，保證邏輯上的正確．

高考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)求參變量的允許值取值范圍與有關(guān)函數(shù)不等式的證明等問題，前者通常需要實施等價轉(zhuǎn)換，而后者可以是非等價轉(zhuǎn)換．

例1已知函數(shù)f（x）＝在區(qū)間[-1，１]上是增函數(shù)．

（1）求實數(shù)a的值組成的集合Ａ；

（2）設(shè)x１，x２是關(guān)于x的方程f（x）＝的兩個相異實根，若對任意x∈Ａ及t∈[-1，１]，不等式m2+tm+1≥｜x１-x２｜恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

分析 第（1）問，需將問題轉(zhuǎn)化為f ′（x）在[-1，１]上恒不小于零且不恒為零的問題；第（2）問，應(yīng)先求｜x１-x２｜max，再求關(guān)于t的函數(shù)（含參數(shù)m）的最值，進而列出不等式（組），通過解不等式（組）求出參數(shù)m的取值范圍．

解析 （1）由f ′（x）≥0恒成立，知g（x）=x2-ax-

2≤0（x∈[-1，１]）恒成立．

于是g（1）=-a-1≤0，g（-1）=a-1≤0-1≤a≤1，故所求的集合為A=[-1，１]．

（2）由已知易求｜x１-x２｜==，a∈A，所以｜x１-x２｜｜max=3．

于此有（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2）≥0（t∈[-1，１]）恒成立，即（1）≥0，（-1）≥0.解得m的取值范圍是（-∞，-2）∪[2，+∞）．

點評 函數(shù)、方程、不等式的知識關(guān)系密切，解決這類問題時，有時需要將命題進行轉(zhuǎn)換．如函數(shù)的單調(diào)性、值域、最值等問題常轉(zhuǎn)化為不等式的問題求解，方程的根的分布問題往往可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)的零點問題，不等式有解或恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題等等．如：x∈[a，b]，f（x）≥0f（x）min≥0；x∈[a，b]，f（x）≥0f（x）｜max≥0．解答這類問題時，注意轉(zhuǎn)化的等價性．

例2 函數(shù)y=f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．若f（1）≥1，求證：f（）＞0（n∈N *）．

分析 由于不等式的右邊為零，與n無關(guān)，不好直接證明，故可以考慮由特殊到一般，得到下面的結(jié)論：f（）＞，從而轉(zhuǎn)化為證明原命題的一個加強命題．

證明 因為f（1）≥1，所以f（1）=2f（）+2××≥1f（）≥＞0．

假設(shè)n=k（k∈N *）時命題成立，即f（）≥＞0，則f（）=2f（）+2××≥f（）≥．綜上知，則f（）＞0（n∈N *）．

點評 本題難在找到解決問題的“入口”，即通過特殊到一般的探究得出其加強命題，從而使原問題得到解決．解這類問題，可以實施不等價轉(zhuǎn)換．

二、一般與特殊的轉(zhuǎn)換

大多數(shù)數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)往往從特殊開始，通過總結(jié)歸納得出一般結(jié)論，證明后，又使用它們解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題．在數(shù)學(xué)推理與證明中經(jīng)常使用的歸納法、演繹法就是特殊與一般思想方法的集中體現(xiàn)．

在高考中，會有意設(shè)計一些能集中體現(xiàn)特殊與一般思想的試題．如有時在選擇題中，設(shè)計考查特殊化方法的試題；在填空題中，設(shè)計利用歸納法進行猜想或由平面到立體，由特殊到特殊進行類比猜想的試題；在解答題中，通過構(gòu)造特殊函數(shù)，特殊數(shù)列，尋找特殊點，確定特殊位置，利用特殊值，特殊方法等，研究一般問題、抽象問題、運動變化的問題、不確定問題等等．

例3 （1）已知函數(shù)f（x）滿足： f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），則f（2010）=____________．

（2）已知正三角形的內(nèi)切圓的半徑是正三角形的高的，把這個結(jié)論用類比的方法推廣到空間正四面體，則得到的結(jié)論是．

分析 （1）這是一個抽象函數(shù)的求值問題，直接由已知求出f（2010）很困難，可考慮由一般到特殊．通過賦值求得f（2）f（3）f（4），…得出“該函數(shù)是以6為周期的函數(shù)”的結(jié)論，進而求得的f（2010）值．

（2）抓住解決問題的本質(zhì)，即平面內(nèi)運用面積法求內(nèi)切圓半徑，類比到空間用體積法求內(nèi)切球的半徑，從而得出結(jié)論．

答案 （1）；（2）正四面體的內(nèi)切球的半徑是正四面體的高的．

點評 一般性與特殊性既相互依存，又可以相互轉(zhuǎn)化，一般性寓于特殊性中，特殊性又離不開一般性，因此在解決某些數(shù)學(xué)問題時，我們可以從特殊入手，去探究問題的一般性，當(dāng)然我們也可用特殊化思想，即一般到特殊解答某些選擇題或填空題．

例4 已知C1na1+C2na2+…+Cnnan=n#8226;2n-1（n∈N *）是否存在等差數(shù)列{an}對一切正整數(shù)n滿足上述等式？

分析 直接從已知條件求an比較困難，可以考慮n取特殊值1，2，3，…時，分別求出a1，a2，a3，…，再猜an并證明．

解析 令n=1，2，3，可求得a1=1，a2=2，a3=3，猜想an=n．

因為kckn=nCk-1k-1．所以C1n+C2n#8226;2+…+Cnn#8226;n=n（C0n-1+

C1n-1+…+Cn-1n-1）=n#8226;2n-1，故存在符合條件的等差數(shù)列{an}，且an=n．

點評 本題體現(xiàn)了特殊到一般的思想方法，它的主要思維程序是“實驗—歸納—猜想—證明，”這也是數(shù)學(xué)研究和發(fā)展中的重要方法．

三、數(shù)與形的轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個方面，兩者之間并非是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合可將代數(shù)與幾何問題相互轉(zhuǎn)化．

在高考中，常以小題的形式，考查考生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形來解決的意識，而在解答題中對數(shù)形結(jié)合的考查以由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化為主．

例5 （1）已知0＜x＜1，0＜y＜1則函數(shù)f（x）=+的最小值是（）

A．0 B．1 C．D．2

（2）已知函數(shù)f（x）滿足：①定義域為R；②x∈R，f（x+2）=2f（x）；③當(dāng)x∈[-1，１]時，f(x)=-｜x｜+1．則f(x)=log4｜x｜在區(qū)間[-10，10]內(nèi)的個數(shù)是（）

A． 20B． 12C． 11D． 10

分析 （1）從數(shù)式的結(jié)構(gòu)來看和它與兩點間的距離公式同構(gòu)，故可視為兩點間的距離的和，由此找到解題入口．（2）直接解方程不可能，因此需轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的圖像求解．

解析 （1） ∵0＜x＜1，0＜y＜1， f（x，y）=+可視為平面內(nèi)點P（x，y）到坐標原點O

（0，0）和點A（1，1）的距離之和，易求出其最小值為．

注：①此題也可直接利用三角形不等式求解；②變式：若0＜x＜1，0＜y＜1，則f（x，y）=+++的最小值是．

（讀者自己解決，答案為2）

（2）在同一直角坐標內(nèi)作出函數(shù)f（x）和y=log4｜x｜的圖像，如圖1．由圖易知，y=f（x）與y=log4｜x｜的圖像在[-10，0]有兩個交點，在[0，10]內(nèi)有9個交點，故方程f（x） =log4x在區(qū)間[-10，10]內(nèi)共有11個解，故選C．

點評 某些數(shù)式的最值問題和方程的根的個數(shù)，通常可通過對其結(jié)構(gòu)與形式特征進行觀察、類比、聯(lián)想，即由數(shù)想形，將問題實施轉(zhuǎn)化，從而達到有效解決問題的目的．

四、空間與平面的轉(zhuǎn)換

研究立體幾何的線面位置關(guān)系時，常利用線線平行（垂直），線面平行（垂直），面面平行（垂直）的性質(zhì)定理和判定定理進行相互轉(zhuǎn)換；求空間角與距離，特別是與截面有關(guān)的問題，常把它轉(zhuǎn)化為平面問題求解

例6 如圖2，ABCD-A′B′C′D′為正方體，任作平面與對角線AC′ 垂直，使得與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l，則（）

A． S與l均為定值

B． S與l均不為定值

C． S為定值，l不為定值

D． S不為定值，l為定值

分析由于平面的任意性，因此得到的截面多邊形的形狀是變化的，其面積與周長不好計算，故可以考慮沿棱A′B′展開此立體圖形，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解．

解析 將正方體切去兩個正三棱錐A－A′BD與C′－D′B′C后，得到一個以平行平面A′BD與D′B′C為上、下底面的幾何體V，V的每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側(cè)面沿棱A′B ′剪開，展開在一張平面上，得到一個A′B′B1A1，如圖3．而四多邊形W的周界展開后便成為一條與A′A1平行的線段（如圖3中E′E1），顯然E′E=A′A1，故l為定值．

當(dāng)E′位于A′B′中點時，多邊形W為正六邊形，而當(dāng)E′ 移至A′ 處時，W為正三角形，易知正六邊形與正三角形面積分別為l2與l2，故S不為定值，故選D．

點評 本題不僅要有較強的空間想象能力，還要能夠靈活地將空間問題轉(zhuǎn)換為平面問題．

五、正與反的轉(zhuǎn)換

解題時我們一般從正面入手，習(xí)慣于正向思維，但當(dāng)正面處理感到困難時，不妨從反面考慮，逆向思維．

例7已知0＜x＜，求證sinx，cosx，tanx，cotx不可能成等差數(shù)列．（注：cotx=）

分析 由于本題結(jié)論是否定性命題，可考慮用反證法．

解析假設(shè)存在0＜x＜，使得sinx，cosx，tanx，cotx為等差數(shù)列，則cosx-sinx=cotx-tanx=，則cosx-sinx=0或者=1．若cosx-sinx=0，有x=．而此時，，1，1不成等差數(shù)列；若=1，有（sinxcosx）2=1+2sinxcosx．解得sinxcosx=1±．而sinxcosx=sinx2x∈（0，]，矛盾，故原命題成立．

點評 有的數(shù)學(xué)問題直接考慮比較困難，而“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡單，更具體，或結(jié)論涉及到無限多限多種情形，或“結(jié)論”本身是否定型這樣的命題，通常考慮其反面問題．

六、通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換

有的數(shù)學(xué)問題無論從正、反兩個方面考慮，求解都比較困難，但通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決了的問題或容易求解的問題．

例8 已知i，m，n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n，證明 (1+ m)n＞(1+ n)m．

分析法一：利用排列數(shù)公式及分式的性質(zhì)放縮即可得證（證明略），但這種方法計算繁復(fù)，對代數(shù)式的變形能力要求很高，大多數(shù)考生將會半途而廢．

法二：原不等式＞… ①，由①的結(jié)構(gòu)特征可聯(lián)想到構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x＞2），于是問題轉(zhuǎn)化為證f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減（證明略）．

注：此題可以用基本不等式證（讀者自己解決）．

點評通過構(gòu)造函數(shù)模型，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是證明不等式的一種重要方法，也是目前高考中的一個熱點與難點，值得關(guān)注．

例9 方程x+y+z=2010滿足x≤y≤z的正整數(shù)解（x，y，z）的個數(shù)是．

分析這是2010年全國高中聯(lián)賽題．若直接求方程x+y+z=2010… ①的正整數(shù)解（x，y，z）的個數(shù)，不知從哪里下手，為此可構(gòu)造如下的組合模型，即“把2010個相同的小球分給三個人，每個人至少一個球”，其中每一種分法對應(yīng)方程①的一組正整數(shù)解（x，y，z）．因而方程①共有C22009個正整數(shù)解（插板法），然后再考慮其中x≤y≤z的解的個數(shù)．

解析由上面的分析易知，方程x+y+z=2010的正整數(shù)解的個數(shù)為 C22009=2009×1004.

下面把x+y+z=2010滿足x≤y≤z的正整數(shù)解分為三類：

（1）x，y，z均相等的正整數(shù)解的個數(shù)顯然為1；

（2）x，y，z中有且僅有2個相等的正整數(shù)解的個數(shù)，易知為1003；

（3）設(shè)x，y，z兩兩均不相等的正整數(shù)解為k.易知1+3×1003+6k=2009×1004，6k=2009×1004-3×1003-1=2006×1005-2009+3×2-1=2006×1005-2004，k=1003×335-334=335671.故滿足x≤y≤z的正整數(shù)解的個數(shù)為：1+1003+335671=336675.

點評 （1）構(gòu)造組合模型，將求不定方程的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求組合數(shù)的問題，這種方法構(gòu)思精巧，賞心悅目，同時可以充分展現(xiàn)考生思維的靈活性，培養(yǎng)考生的的創(chuàng)新意識．

（2）一般地，方程x1+x1+…+xm=n（m，n∈N *，n＞m）的正整數(shù)解共有Cm-1n-1個，方程x1+x2+…+xm=n（m，n∈N *，n＞m）的非負整數(shù)解的個數(shù)為Cm-1n+m-1（提示：先將非零整數(shù)解的問題轉(zhuǎn)化為正整數(shù)解的問題，即令x1i=xi+1，i=1，2，…，m）．

“解題要想快，轉(zhuǎn)化要先行”，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵首先是要對問題中的各個條件分析，比較和判斷，迅速找到轉(zhuǎn)化的“入口”，其次通過挖掘題目的各種顯性和隱性條件，聯(lián)想知識之間的縱橫聯(lián)系，確定轉(zhuǎn)化過程中的“節(jié)點”，并搭建好“入口”與“節(jié)點”的“通道”，從而最終實現(xiàn)化歸．

總之，轉(zhuǎn)換與化歸思想的應(yīng)用是數(shù)學(xué)高考中一個永恒的話題，轉(zhuǎn)換與化歸盡管方法多樣，手段多變，但轉(zhuǎn)換和化歸的過程必須始終遵循簡易化，有效化、和諧化的原則，即化繁為簡，化難為易，化抽象為直觀等手段達到解決問題的目標．

（作者單位：湖南省長沙一中）

責(zé)任編校 徐國堅