參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化策略

坐標(biāo)系與參數(shù)方程作為選做題，是各個考生的必爭之題，而參數(shù)方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)化在其中扮演著重要角色，利用到轉(zhuǎn)化與化歸思想.在研究和解決曲線問題時我們根據(jù)具體情況，進行靈活的轉(zhuǎn)化，下面我就和同學(xué)們談?wù)剠?shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化策略.

一、參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程的策略

例1. 已知平面直角坐標(biāo)系xOy的原點與x軸正半軸分別與極坐標(biāo)系的極點和極軸重合，直線l的極坐標(biāo)方程為cos+sin+a=0，圓C的參數(shù)方程為：x=cos，y=-1+sin（為參數(shù)），直線l與圓C有且只有一個交點，那么實數(shù)a的值是 .

策略：先利用x=cos，y=sin把直線l的極坐標(biāo)方程cos+sin+a=0化為直角坐標(biāo)系方程，利用sin2+cos2=1把參數(shù)方程x=cos，y=-1+sin轉(zhuǎn)化為普通方程，然后再通過幾何法判斷曲線C與直線的位置關(guān)系來求實數(shù)a的值.

解析：直線l的極坐標(biāo)方程cos+sin+a=0化為直角坐標(biāo)系方程：x+y+a=0，圓C的參數(shù)方程x=cos，y=-1+sin化為普通方程得：x2+（y+1）2=1，因為圓與直線有且只有一個交點，即是圓與直線相切，由數(shù)形結(jié)合可知道，圓心到直線的距離等于圓的半徑，即d==1，解得：a=1-或1+.

例2 . 曲線x=（t+），y=（t-），（t為參數(shù)）的離心率e= .

策略：由參數(shù)方程x=（t+），y=（t-）的特點，可以考慮平方相減法消去參數(shù)t，然后得到普通方程，結(jié)合圓錐曲線的離心率e=求解.

解析：由x=（t+），y=（t-），得x=t+，y=t-.兩式平方相減得：-=1，因為a=3，c==，故e==.

例3. 曲線C極坐標(biāo)方程為-cos+sin=0，則曲線C所圍成的面積為 ．

策略：先利用x=cos，y=sin將極坐標(biāo)方程-cos+sin=0化為直角坐標(biāo)方程，再由相應(yīng)幾何圖形的面積公式求曲線C的面積.

解析：把方程-cos+sin=0兩邊同時乘以得：2-cos+sin=0，由x=cos，y=sin，可得直角坐標(biāo)方程為：x2+y2-x+y=0，即（x-）2+（y+）2=1，可見曲線C表示圓，其半徑r=1，故曲線C圍成的面積S=r2=12=.

感悟：參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程的策略是消元法.有三種方法：代入消元法，三角函數(shù)sin2+cos2=1消元法，加減消元法.

二、普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程的策略

例4. 已知點Ｐ在圓x2+（y-2）2=上移動，點Ｑ在曲線x2+4y2=4上移動，則PQ的最大值為．

策略：如果直接利用兩點間距離公式求PQ，變量多，運算量大，可以利用轉(zhuǎn)化思想，利用換元法將可將x2+4y2=4化為參數(shù)方程x=2cos，y=sin（參數(shù)∈［0，2］），則點Ｑ可設(shè)為Q（2cos，sin），再利用兩點間距離公式表示PQ.

解析：依題意可設(shè)圓心O′（0，2），Q（2cos，sin），則O′Q==≤.

此時sin=-，cos=±，其最大值為PQmax=+．

例5. 已知實數(shù)x，y滿足+=1，則z=x-2y的取值范圍是 .

策略：由“實數(shù)x，y滿足+=1”，可以考慮利用橢圓的參數(shù)方程表示x，y，再結(jié)合三角函數(shù)知識求z=x-2y的最大值和最小值.

解析：[-2，2]．因為實數(shù)x，y滿足+=1，設(shè)x=4cos，y=2sin，則z=x-2y=4cos-4sin=4×（cos-sin）=2（coscos-sinsin）=2cos（+），故2cos（+）的最小值為-2，最大值為2.從而z=x-2y的取值范圍是[-2，2].

例6. 圓的半徑為1，圓心的極坐標(biāo)為（1，0），則圓的極坐標(biāo)方程是 ．

策略：先求出圓的普通方程，再利用x=cos，y=sin，=，將普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．

解析：圓心的極坐標(biāo)為（1，0），利用x=cos，y=sin可以求得圓心的直角坐標(biāo)為（1cos0，1sin0），即為（1，0），又因為半徑為1，所以圓的普通方程為：（x-1）2+y2=1，展開得：x2-2x+1+y2=1，x2+y2-2x=0…（1），

因為x=cos，y=sin，=，所以（1）式可以化為2-2cos=0，即（-2cos）=0，故-2cos=0或=0，因為-2cos=0在=已經(jīng)包括=0，所以圓的極坐標(biāo)方程是＝2cos．

感悟：普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，一般是涉及以圓錐曲線（或圓）為背景，求最值或值域的時候，利用三角函數(shù)關(guān)系式x=acos，y=bsin（參數(shù)∈［0，2］）轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值或值域問題.

（第一作者單位：信宜市礪儒中學(xué)；第二作者單位：信宜中學(xué)）

責(zé)任編校徐國堅