糾錯(cuò)固根 探究致遠(yuǎn)

在高三復(fù)習(xí)過(guò)程中，對(duì)于考生解答錯(cuò)誤的試題，教師若既能引導(dǎo)考生找出解錯(cuò)的根源，又能引領(lǐng)考生多角度揣摩、聯(lián)想，這樣才可以糾錯(cuò)固根，探究致遠(yuǎn)．為提高復(fù)習(xí)效果，尋找更有效的復(fù)習(xí)途徑，下面對(duì)一道解析幾何題的解法及同學(xué)們的錯(cuò)解進(jìn)行剖析．

一、試題回放

已知點(diǎn)F(0，1)，直線l：y=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且Q#8226;=#8226;．

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）已知圓M過(guò)定點(diǎn)D(0，2)，圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)DA=l1，DB=l2，求+的最大值（2010年廣州一模理科第20題）．

二、解題思路分析

試題兩問(wèn)由淺入深，第（1）問(wèn)相對(duì)基礎(chǔ)，而第（2）問(wèn)須在第（1）問(wèn)正確解答的前提下，進(jìn)行適度的運(yùn)算才能完整解答出來(lái)．

在第（1）問(wèn)中，由求軌跡方程的一般步驟應(yīng)先假設(shè)好點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，再結(jié)合已知條件寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，-1)，由、、、代入已知條件化簡(jiǎn)檢驗(yàn)即可求出軌跡的方程；或由表達(dá)式#8226;=#8226;正確變形得出=，再由拋物線定義得出軌跡C的方程．

在第（2）問(wèn)中，由于圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)圓M與x軸的交點(diǎn)A、B也在運(yùn)動(dòng)，需要引入變量（一個(gè)為好）把l1、l2、+表達(dá)出來(lái)，從而求其最大值．

三、解答主要方法與過(guò)程

（1）『解法一』設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則由已知條件可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，-1)，從而=(0，y+1)、=(-x，2)、=(x，y-1)、=(x，-2)，

代入#8226;=#8226;后得出軌跡C的方程為x2=4y．

『解法二』由#8226;=#8226;得#8226;-=#8226;-，即=，所以=，由拋物線定義可知，軌跡C的方程為x2=4y．

『評(píng)析』求軌跡方程可歸納為：建系設(shè)點(diǎn)列方程，化簡(jiǎn)檢驗(yàn)出方程．若能用定義法，則求解更顯簡(jiǎn)捷．

（2）『解法一』設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為M(a，b)，則a2=4b……①

圓M的半徑為MD=． 圓M的方程為(x-a)2+(y-b)2=a2+(b-2)2．令y=0，則(x-a)2+b2=a2+(b-2)2，整理得x2-2ax+4b-4=0……②

由①②解得x=a±2．不妨設(shè)A(a-2，0)，B(a+2，0)，∴l(xiāng)1=，l2=．

∴ +===2

=2……③

當(dāng)時(shí)a≠0，由③得+=2≤2=2． 當(dāng)且僅當(dāng)a=±2時(shí)，等號(hào)成立．當(dāng)a=0時(shí)，由③得+=2． 故當(dāng)a=±2時(shí)，+的最大值為2．

『解法二』 因點(diǎn)M在C上，故可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為M(2t，t2)，t∈R．作MH⊥AB，垂足為H，則MH=t2，圓M的半徑為MD=MA=．AB=2AH=2=2=4，由此可知AB為定值，故三角形ABD的面積為S△ABD=ABOD=4．設(shè)∠ADB=θ（0＜θ＜），則S△ABD=l1l2sinθ=4，即l1l2=.又由余弦定理得：16=l12+l22-2l1l2cosθ，即l12+l22=16+2l1l2cosθ.

∴+===2(sinθ+cosθ)=2sin(θ+)≤2．

當(dāng)且僅當(dāng)θ=（即t=±）時(shí)，等號(hào)成立．當(dāng)θ=（即t=0）時(shí)，+=2．

故當(dāng)θ=（即t=±）時(shí)，+的最大值為2．

『評(píng)析』方法一難點(diǎn)在于+=2的變形過(guò)程，為了能用基本不等式，沒(méi)條件創(chuàng)造條件；方法二適當(dāng)引入變量，綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)靈活解得．

四、糾錯(cuò)固根

第（1）問(wèn)主要考察求軌跡方程的一般方法，同學(xué)們答題錯(cuò)誤表現(xiàn)為：

【糾錯(cuò)一】沒(méi)有假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，從而無(wú)法寫(xiě)出Q的坐標(biāo)(x，-1)．

【固根】求曲線方程是解幾中的一大任務(wù)，當(dāng)定義法特征不明顯時(shí)，先假設(shè)好動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，形成條件反射．

【糾錯(cuò)二】在求、、、向量時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，或算對(duì)了、、、而代入后計(jì)算出錯(cuò)．

【固根】需加強(qiáng)向量運(yùn)算的準(zhǔn)確性．牢記：①若=(x1，y1)，=(x2，y2)，則#8226;=x1x2+y1y2；②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1)，并熟練掌握．

【糾錯(cuò)三】由#8226;=#8226;約去錯(cuò)誤得到=-．

【固根】需理解向量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)的乘積運(yùn)算的區(qū)別，若混淆了即有以上的錯(cuò)誤運(yùn)算．注意：有些實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)如：①若ab=0，則a=0或b=0；②若ab=ac，則b=c，不能推廣到向量運(yùn)算中的！在這點(diǎn)上需給一部分同學(xué)們培土固根．

【糾錯(cuò)四】在對(duì)表達(dá)式#8226;=#8226;作變換時(shí)的其它錯(cuò)誤．

【固根】對(duì)向量的運(yùn)算不熟練，應(yīng)作針對(duì)性的訓(xùn)練．

在正確求出軌跡的方程后，第（2）問(wèn)同學(xué)們解答錯(cuò)誤表現(xiàn)為：

【糾錯(cuò)五】+≥2．

【固根】審題不清，隨意使用基本不等式，忘記題目是求最大值．平時(shí)應(yīng)養(yǎng)成“仔細(xì)審題，有的放矢”的好習(xí)慣．

【糾錯(cuò)六】設(shè)圓心M的坐標(biāo)為M(a，b)后卻無(wú)法寫(xiě)出+的表達(dá)式．

【固根】原因有以下幾種：①得出錯(cuò)誤的動(dòng)圓M的方程；②求不出圓M與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；③算出l1、l2后想到+的運(yùn)算繁瑣而放棄．平時(shí)應(yīng)牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，自覺(jué)保持一定數(shù)量的練習(xí)．

【糾錯(cuò)七】算出+==，望而止步．

【固根】能到達(dá)這一步應(yīng)算是數(shù)學(xué)能力算不錯(cuò)的了． 后面要利用消元思想，通過(guò)等價(jià)變形得出2這一表達(dá)式．為使用基本不等式，沒(méi)條件創(chuàng)造條件上．只有平時(shí)用心思考與練習(xí)，不畏艱險(xiǎn)，才能達(dá)到了光輝的頂點(diǎn)．

五、探究致遠(yuǎn)

（一）結(jié)論的探究

本題原來(lái)求+的最大值，下面再試試其它形式．

〖探究1〗 l1+l2的最小值是多少？求 l1+l2取得最小值時(shí)圓的方程．

『解析』設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為M(a，b)，由前面可知：l1=，l2=．

∴l(xiāng)1+l2=+，從幾何意義可理解為：動(dòng)點(diǎn)N(a，0)到定點(diǎn)R(2，2)、S(-2，2) 的距離的和的最小值，如圖．當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N活動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí)，(l1+l2)min=4．

此時(shí)，圓心坐標(biāo)為M(0，0)，半徑為2，故圓的方程為x2+y2=4．

〖探究2〗l1-l2的取值范圍是多少？

『解析』由AB=4為定值可知0≤l1-l2＜4．或l1-l2=-

=8

=8→4，亦知0≤l1-l2＜4．

〖探究3〗l1l2的最小值是多少？求l1l2取得最小值時(shí)圓的方程．

『解析』由l1l2=≥8，此時(shí)a=0，圓的方程為x2+y2=4．

〖探究4〗若圓心在第一象限，那么的最小值是多少？求取得最小值時(shí)圓的方程．

『解析』===≥-1，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào)．此時(shí)圓的方程為(x-2)2+(y-2)2=8．

（二）條件的探究

圓心M的橫坐標(biāo)n為正整數(shù)引出的數(shù)列問(wèn)題．

〖探究1〗若圓心M的橫坐標(biāo)為n(n∈N*)，圓M與y軸交于另一點(diǎn)G，記線段DG=an，試求an的通項(xiàng)公式，并計(jì)算an的最小值．

『解析』由已知得：圓心M的坐標(biāo)為M(n，n2)(n∈N*)．作MH′⊥DG，垂足為H′，則MH′=n，圓M的半徑為MD=．DG=2DH′=2=2=2n2-2=4-n2，n=1，2n2-4. n≥3

經(jīng)過(guò)比較n=2，3時(shí)an的值可知，(an)min=．

〖探究2〗若圓心M的橫坐標(biāo)為n(n∈N*)，圓面積為Sn，試證：數(shù)列為等差數(shù)列．

『解析』同上，圓心M的坐標(biāo)為M(n，n2)(n∈N*)． 圓M的半徑為MD==．

所以，圓面積為Sn=π（n4+4）．

故=，易知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．

常對(duì)解錯(cuò)的試題進(jìn)行分析，既能糾錯(cuò)固根，又能探究致遠(yuǎn)，更能提高教學(xué)效果，我們何樂(lè)而不為！

（作者單位：江門(mén)市新會(huì)華僑中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)