錯解\\正解\\簡解面面觀

2010年高考全國卷文科第20題如下：

設F1，F２分別是橢圓E：x２+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦點，過F1的直線l與E相交于A、B兩點，且AF２，AB，BF２成等差數列.

（Ⅰ）求AB；

（Ⅱ）若直線l的斜率為1，求b的值.

解析 ：本題第（Ⅰ）求AB比較簡單，屬于送分題：AF２+BF２=2AB，３AB＝４a，AB＝ .

下面著重對（Ⅱ）問進行分析：

一、錯解

設A（x1，y1），B（x2，y2），

第一步：根據斜率為1，=1……（1）

第二步：用“點差法”：x12+=1，x22+=1，兩式相減，（x12－x22）＋＝０，（x1－x2）（x1＋x2）＝－（y1－y2）（y1＋y2），將（1）代入得到：x1＋x2=－（y1+y2）……（2）

第三步：從上式想到韋達定理，設直線AB的方程：y=x+m，代入橢圓方程化簡得：（b2+1）x2+2mx+m2-b2=0，由韋達定理得：x1＋x2=-，y1＋y2=- +2m… （3），將（3）代入（2），希望能把參數m消去解出b.-=-（- +2m），兩邊約去m，化簡得b2＝b2，無法解出b.

錯誤分析：本題解的過程沒有錯，為什么最后會得到一個恒等式b2＝b2？這是因為（2）和（3）式都用了同一個條件k=1，即(2)：x1＋x2=-（y1＋y2）已經消化了k=1這個條件，直線AB的方程：y=x+m也只包含k=1，代進去就沒有價值了，所以只會得到b2＝b2（如果計算錯誤，則會解出一個錯誤的b的值）.即錯誤的根源在于同一條件k=1重復使用，在解析幾何大題的解答中，一定要避免出現上述錯誤，造成寶貴時間的浪費.并注意將斜率和“點差法”結合運用，一般用于解決與中點等相關問題.而本題中求弦長，“點差法”顯似乎無能為力.

二、正解

如圖2，運用平面幾何知識，直線AB的斜率為1，所以△AHB是等腰直角三角形，AB=x2-x1， x2-x1=…（4）. x2-x1與韋達定理有關，所以運用錯解第三步得出（3）式后，再求（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1x2=（-）2-，代入（4）：（-）2 -=…（5），m無法消去，由于m是直線AB的截距，所以寫出直線AB的方程：y=x+m，將F1的坐標（-，0）代入，得出m=，代入（5），化簡后算出b2=，b=±.

小結：本題從平面幾何知識出發，運用韋達定理解題，計算量很大，特別是將m=代入（5）式后化簡，考驗我們對式子的變形處理能力，這也是高考解析幾何要考查的重點.韋達定理普遍運用于解析幾何中，特別是于弦長有關的問題，明確這一點才能準確把握解析幾何解題的基本方向，而熟練運用韋達定理進行化簡變形，又是解析幾何的基本功，需下大力氣加以突破.

三、簡解

用橢圓性質解比較簡單，解法如下：AF1=e（+x1），BF2=e（+x2），AF1+BF2=e（+x1+x2）…（6），下面同錯解的第三步得出（3）式并代入（6）式，=（ -），去括號：=1-m…（7）.下面再運用正解的最后一步得出：m=，代入（7）式，很容易解出b=±.

小結與啟示：與正解比較，本解的計算量少很多，特別是對比正解的（5）式和簡解的（7）就顯而易見. 并且，正解運用了平面幾何知識，得出AB=x2-x1，但很多同學不一定能從平面幾何的角度去發現這個結論，于是造成解題失敗（平面幾何與解析幾何的綜合是解析幾何解題的基本策略之一，要加強訓練）；而簡解從圓錐曲線的第二定義出發，比較自然.兩種解法的共同點，都是想辦法得出x1-x2或x1+x2，從而能與韋達定理掛勾，這應該是解直線與圓錐曲線問題的基本思路.

簡解還告訴我們，雖然新課標不要求掌握橢圓的準線方程、第二定義，但是這些知識在解析幾何中的地位十分重要，與解析幾何的“血緣關系”是無法割舍的，掌握好它們，解題就多了一些方法和選擇，所以對解析幾何部分的學習，我們建議學有余力的同學，在掌握課標要求的知識的基礎上，能拓寬一些知識面，把原課程中與解析幾何有關的重要知識都進行了解和學習（很多老師都會補充），對突破解析幾何的難題，十分有益.（作者單位：廣州市花都區實驗中學）

責任編校徐國堅