先猜后證,發現之魂

推理與證明在數學學習與發現中具有重要的地位與價值，推理包括歸納推理和類比推理這兩種主要的合情推理以及演繹推理等，證明包括綜合法、分析法、反證法、數學歸納法等證明方法.其中，合情推理都是對結論進行猜測，所得結論不一定正確，從而需要進行證明. 正是由于這種“先猜后證”的模式，成為了科學發現之魂，自然科學和數學研究中許多結論，都有先猜后證的影子，下面結合數學中的四例問題來仔細體會.

一、數列問題

例1 數列{an}中，已知a1=，an=an-1+（n≥2，n∈N*）.

（1）計算a2，a3，a4的值，并歸納猜想出數列{an}的通項公式；

（2）利用公式=-證明你的猜想.

解析 （1）當n=2時，a2=a1+=+=；

當n=3時，a3=a2+=+=；

當n=4時，a4=a3+=+=.

由，，，，猜想：an=.

（2）易知

an=+++…+

＝（１-）+（-）+（-）+…+（-）

=1-=.

另證 也可以用數學歸納法證明如下：

當n=1時，易知猜測成立.

假設當n=k（k∈N*）時猜測成立，即ak=.

當n=k+1時，

ak+1=ak+=+

====.

即n=k+1時猜測成立.

綜上所述，可知猜測對任何n∈N*都成立.

點評 由數列中的遞推關系，寫出若干項，觀察這些項的規律，猜測出其通項公式. 要探討猜測是否正確，必須通過證明的歷程. 這種先猜后證的模式，在解決數列的遞推問題中十分典型.

二、幾何問題

例2 我們知道三角形有性質：過△ABC的底邊 AB上任一點O分別作OA1∥AC，OB1∥BC，分別交BC、AC于A1、B1，則+為定值1.那么能類比此結論，猜想四面體中所具有的性質嗎？試證明你的猜想是否正確.

解析 猜想的結論為：過四面體V-ABC的底面ABC上任一點O分別作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1、B1、C1分別是所作直線與側面交點．則++為定值1.下面證明如下：

如圖，設平面OA1 VA∩BC＝M，平面OB1 VB∩AC＝N，平面OC1 VC∩AB=L，則有：

△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1 ∽△ LCV．

得++=++.

在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一點O，用面積法易證得++=1.所以++為定值1.

點評 從三角形到四面體，存在著許多類比結論，如面積與體積等. 此題利用相似三角形性質，容易得到此例中三角形的性質：過A、O分別作BC垂線，過B、O分別作AC垂線，則用面積法也不難證明性質的定值為1. 通過類比，得到四面體的猜想，同時在證法上也體現了類比，利用了三角形的相似及面積法研究定值.

三、三角問題

例3 已知下列三個等式：

sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，

sin220°+cos250°+sin20°cos50°=，

sin215°+cos245°+sin15°cos45°=.

觀察上述等式的規律，請你寫出一般性的結論，并對你的結論進行證明.

解析 一般性結論為：sin2+cos2（+30°）+sin#8226;cos（+30°）=.

證明過程如下：

左邊=++sin#8226;（cos-sin）

=+＋sin2－）

=.

∴原式得證.

點評 此類由一組三角恒等式來觀察發現其規律的問題較為經典，一般化就是根據一組已知式子，發現出存在一般規律，然后進行證明，這是數學中一種科學發現的手段，即通過類比、歸納、猜想、證明等過程得到新的數學結論. 我們要善于從解題中發現出新的問題，從身邊的世界中發現出存在的科學規律.

四、解析幾何

例4 已知動點P到定點F（1，0）的距離比它到直線x＋2＝0的距離小1，若記動點P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程.

（2）若直線L與曲線C相交于A、B兩點，且OA⊥OB. 求證：直線L過定點，并求出該定點的坐標.

（3）試將（2）小題的結論進行推廣，并證明你所推廣的結論.

解析 （1）動點P到定點F（1，0）的距離比它到直線x＋2＝0的距離小1，

所以動點P到定點F（1，0）的距離與它到直線x＋1＝0的距離相等.

由拋物線定義得：點P在以F（1，0）為焦點直線x＋1＝0為準線的拋物線上，

設拋物線方程為y2=2px（p>0），則=1，解得p=2.

所以拋物線方程為y2=4x.

（2）設直線L與拋物線交于點（x1，y1），（x2，y2）.

若直線L的斜率存在，設L：y=kx+b，則y=kx+b，y2=4x，消x得ky2-4y+4b=0.因此k≠0，16-16kb≥0，且y1y2=.

又y12=4x1，y22=4x2，得x1x2==.

由OA⊥OB，得#8226;=-1，即=-1，b=-4k，直線為y=k（x-4），所以直線L過定點（4，0）.

若直線L的斜率不存在，即直線L與x軸垂直，則直線OA（或直線OB）斜率為1，

則y=x，y2=4x，解得x=4.所以直線L過定點（4，0）.

（3）推廣的結論為：直線L與y2=2px（p>0）相交于A、B兩點，且OA⊥OB， 則直線L恒過定點（2p，0）.

證明過程如下：

設A（，y1），B（，y2），AB與x軸的交點為C（m，0）.

∵ OA⊥OB，∴#8226;＋y1#8226;y2=0，即y1y2=-4p2.

直線AB的方程為=，化簡即=.

當y=0時，=，解得x===2p，

∴ 直線AB過定點（2p，0）.

點評 直線與拋物線相交的問題，常用方程組思想，消元得到一個一元二次方程，結合根與系數的關系進行研究，這在第2問的解答中充分體現了這種思路. 第3問則將第2問的定值規律進一步一般化，需要我們具有較強的思維推理及運算能力. 在圓錐曲線的研究中，存在著許多類似的定值問題，這些定值規律的探索，都必須經歷由特例來猜測，然后通過運算來進行證明猜測是否成立.

小結語 “先猜后證”，反映了人們的認識規律，也蘊含了“悟”的自然過程；“猜”是探索結論的感性認識基礎，是“證”的前提與對象，而“證”則是“猜”的必然邏輯發展，是“猜”的歸宿和證實，是對規律的領悟和理解，即“悟”的生動過程. 先猜后證，是數學發現之魂，我們一定要融會貫通這種精髓.

（作者單位：中山市東升鎮高級中學）

責任編校徐國堅