提高學生數學“類比推理”能力的探索

每一個重要數學事實的發現，除演繹推理外還要大量地依賴于合情推理，如哥德巴赫猜想、費爾馬大定理、四色問題等，甚至其它學科的一些重大發現也是科學家通過合情推理、提出猜想、假說、假設，再經過演繹推理或實驗手段得以證實的．合情推理的重要內容之一是類比推理．

一、“類比推理”能力的培養途徑

新知識的學習需要建立在學生已有的知識結構上，需要與舊知識進行類比，這樣才能使新知識的學習更加牢固，又有支撐點，使新知識納入已有的知識結構中形成新的認知結構．新授課中，在各個環節都能滲透“類比推理”的內容．

1． 在概念的形成過程中培養類比推理能力

雖然我們不可能把教學概念的形成過程照搬給學生，但若能擇其要領，濃縮精華地將數學家的發現過程暴露給學生，則無疑是教學生學會“數學地思考”以及培養合情推理能力的重要途徑．如二面角的平面角概念的形成， 可先類比平面幾何中的角的概念， 從而形成二面角的概念，再聯想立體幾何中學過的異面直線所成角、斜線與平面所成角的概念， 進而猜想“用頂點在二面角的棱上， 兩邊分別在兩個半平面內的角”表示二面角的大小，從而形成“二面角的平面角”這一概念．

2． 在定理、公式的發現過程中培養類比推理能力

數學公式和定理的發現過程，是數學家智慧的集中體現，也是合情推理的精典之作，所以自然是進行合情推理能力培養的典型材料．如果只教給學生結論，實在是一大損失．如在學習了等差數列后再學習等比數列，對等比數列的一些性質可通過類比等差數列得出，然后，通過類比等差數列的方法進行證明．如對于“等比數列{an}的性質：若p+q=m=n(p，q，m，n均為正整數)，則apaq=aman”的教學可以進行如下設計：

（1）在等差數列{an}中，若p+q=m+n(p，q，m，n均為正整數)，則ap+aq=am+an，這一性質在解決不少問題時發揮著巨大作用，請同學們思考，在等比數列中有沒有類似的結論？（引發猜想）

（2）搜集學生中的各種猜想：

猜想1：在等比數列{an}中，若pq=mn(p，q，m，n均為正整數)，則apaq=aman．

猜想2：在等比數列{an}中，若p+q=m+n(p，q，m，n均為正整數)，則apaq=aman．

猜想3：在等比數列{an}中，若p+q=m+n(p，q，m，n均為正整數)，則ap+aq=am+an．

猜想4：在等比數列{an}中，pq=mn(p，q，m，n均為正整數)，則ap+aq=am+an．

（3）引導討論，驗證各種猜想是否成立．

分析：等差數列中的對稱性的證明是如何進行的？能否移植到等比數列中？

根據等差數列相應性質的證明思路，利用通項公式來證明．不難得出，猜想1將等差數列的性質中的“和”簡單變成“積”，但利用通項公式，或舉反例說明，如取若等比數列的前6項分別為1，2，4，8，16，32，取p=1，q=6，m=2，n=3，有pq=mn，但apaq=32，aman=8，因此apaq=aman不成立．

引導學生用同樣的方法分析判斷猜想3、猜想4均不成立，即只有猜想2成立，利用通項公式即可證明．

apaq=a21Qp+q-2（Q為等比數列的公比），aman=a21Qm+n-2，由于p+q=m+n，因此apaq=aman．

以上過程，既突出了類比的思想，又體現演繹推理的嚴謹．通過類比結論的真假判定，提高了學生的演繹推理能力．

3． 在解題思路的探索中培養類比推理能力

每一個數學題的解題思路的產生都是一個合情推理的過程， 從條件要達到結論的彼岸， 如何選擇入口?如何實現過渡？這是觀察、歸納、類比、猜想、聯想、直覺、靈感等合情推理手段的綜合運用．每一個解題過程就是一個小的“數學發現”，為培養學生合情推理能力提供了取之不盡的素材．

例1設f（x）是定義在R上的函數，且f（x）的圖像關于直線x=a和直線x=b對稱（a>b），問f（x）是不是周期函數，為什么？

分析：從函數有兩條對稱軸的情況來看，可以與函數y=sinx進行類比，它有兩條對稱軸x=，x=-，周期為2，恰好是-（-）的兩倍. 從而提出猜想：函數f（x）是周期函數，且周期為2（a-b）．有了猜想后，尚需進一步的驗證．由于函數f（x）關于x=a對稱，則f（x）=f（2a-x），由于函數f（x）關于x=b，則f（x）=f（2b-x），即f（2a-x）=f[2b-（2a-x）]=

f（2b-2a+x），所以有f（x）=f（2b-x）=f（2b-2a+x），故f（x）是以2a-2b=2（a-b）周期的周期函數．

例2在四面體P—ABC中，S1、S2、S3、S分別表示△PAB、△PBC、△PAC、△ABC的面積，、、分別表示平面PAB、平面PBC、平面PAC與底面ABC所成的二面角的大小，則有S＝S1cos+S2cos+S3cos.

由該題的結構容易聯想到平面三角中的射影定理：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，a=bcosC+ccosB.

它們的結構相似，能否借鑒平面的方法得到啟示？為此，先研究平面射影定理的證明方法．

解:如圖，設點A在直線BC上的射影為O，若點O在線段BC上，則在Rt△ABO和Rt△ACO中，BO=AB×cosB，CO=AC×cosC，因此，CB=OC+OB = AC×cosC+ AB×cosB，即a=bcosC+ccosB，若點O在線段BC外，同樣可以證明．

類比解決上述問題的方法證明可證明例2．

設點P在平面ABC上的射影為O，過點O作OD⊥AB于D，連接PD，則可以證明PD⊥AB，即∠PDO為二面角P—AB—C的平面角，若點O在△ABC的內部，則==cos，即S△AOB=S1cos，同理S△COB=S2cos，S△AOC=S3cos，而S=S△AOB+S△COB+S△AOC，故S=S1cos+S2cos+S3cos.

若點O在ABC的邊上或ABC外部時，用同樣方法可以證明．

可見，類比不僅可以發現新結論，而且在解題方法上也可通過類比而獲得．

二、克服類比推理的負遷移效應

由于類比推理的結論具有或然性，所得的結論不一定正確，因此，在教學中，要防止學生根據形式類似，進行類比造成的錯誤．如由a（b+c）=ab+bc類比sin（+）＝sin+sin；由平面內垂直于同一直線的兩直線平行類比出空間垂直于同一平面的兩平面平行等錯誤．警惕類比的負遷移作用，才能促使問題解決獲得“圓滿成功”.為此，教師在進行數學“類比推理”教學時要注意以下問題．

1. 既教猜想又教證明

在進行“類比推理”的教學中，教師要將“猜想”與“證明”同時進行，即類比得出的結論若判斷證明則需要給予證明，若判斷是錯誤的要舉反例加以說明．在發展合情推理的同時發展邏輯推理思維能力，使學生形成一種良好的思維習慣，既善于通過類比發現新問題和新解法，又要對新問題、新結論給予證明，對問題的新解法進行提煉，總結出一般規律．

2. 既重類比規律又重特殊性

類比推理有規律可循，我們要努力尋求從低維到高維、平面到空間、從具體到抽象，從特殊到一般，從數到形等方面的類比的規律，同時，要研究其特殊性．真正使學生明白，類比是有規律的，是可以探究的，但又不是一成不變的，有其自身的特性．同時也要使學生清醒地認識到：“類比”也會犯錯誤，也會將人的思維搞亂，要注意分析類比帶來的負面影響．

例3（1）在橢圓x2+8y2=8上找一點P，使點P到直線l：x-y+4=0的距離最小；（2）求橢圓x2+4y2=4上的點到點（0，5）的最大距離．

分析：第（1）問把點與直線的距離轉移為兩平行線之間的距離．

設l與平行且與橢圓相切的直線為y=x+m，聯立得9x2+16mx+8m2-8，通過△=0，結合圖像得m=3，從而得到最短距離和切點坐標（即為P點）．

學生用類比的思想解決第（2）問，想到以（0，5）為圓心作圓，設方程為x2+（y-5）2=r2，利用圓和橢圓的方程聯立得：3y2+10y-29+r2=0，通過△=0，求出r2=，即最大距離為．

可以看出學生類比其中相切的思想方法，求出了最大距離，感覺一氣呵成．但細細一想，當r2=時，方程3y2+10y-29+r2=0的解為y=-，由于橢圓x2+4y2=4中-1≤y≤1，則r2=時，橢圓x2+4y2=4與圓x2+（y-5）2=r2沒有交點，因此，所求最大距離出現了問題．

分析原因：由于在圓錐曲線中x和y有了范圍，所以相切只要求聯立后的方程只有一解，一個符合范圍的解，而不一定△=0，所以此處的類比因范圍不同而不具類比性，從而出現了問題．

直線與圓錐曲線相切，只要將它們的方程聯立后消去未知數x（或y）而得到一個關于y（或x）的一元二次方程，則該方程的△=0可以求出一個y（或x），再代入直線方程得到一個x（或y）都只有一解．

但將此結論類比到二次曲線與二次曲線相切，將它們的方程聯立后消去一個未知數（或而得到一個關于x（或y）的一元二次方程，該方程有相等實根，則△=0，只能說明聯立后的方程只有一個y（或x），還要將它代入原方程求出x（或y），此時，不一定有解，因此，類比的結論是錯誤的．

那么，是不是它們完全沒有類比性呢？

第（1）問，通過橢圓參數方程轉化為求函數的最大值問題．則第（2）問可以用此方法計算：設橢圓x2+4y2=4上任一點為（2cos，sin），它與點（0，5）的距離為

=

顯然，當sin=-1時，其最大值為6，即所求的最大距離為6．

責任編輯羅峰

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