妙算還從學生來

高三數學復習，有很多試卷需要評講，如何有效地評講好試卷是一個值得重視的問題。不久前的一節講評課讓我覺得有必要作總結與反思。課堂上遇到這樣一個問題：

已知函數

（1）若函數 在區間（0，1] 上恒為單調函數，求實數a的取值范圍；

（2）當 時，不等式

恒成立，求實數a的取值范圍。

1.難想到的“標準”答案

參考答案提供的解法技巧性太強，思維跨度太大，在備課中我認為這種解法不適合給學生講評分析。其第（2）問解答過程如下：

由 得

化簡得

因為 時，有

所以

故 ……①

構造函數

求導得

則可知 在 時取得極大值，也是最大值故 ，從而 在 時恒成立，故：

……②

當 時恒成立，而 時②式取等號，故：

……③

當 時恒成立，因此由②③可知實數a的取值范圍為 。

上述參考答案采用分離法求參數范圍確實是處理恒成立問題的常用方法，但如果此解法講給學生聽存在很大的問題，問題在于如何求①式右端的最小值？但是怎么想到構造

的呢？它與需證式的這種內在關系是如何發現的呢？

說實話這些問題很難向學生作出解釋。作為課堂教學，我一貫的原則是：無法給學生道理的技巧性很強的思維應盡量避免，于是我著手探究新的思路。

2.教師探究新思路

由于分離參數后所需構造的函數很復雜，考慮是否不分離參數而直接構造帶參函數。

設

又 ，問題轉化為

對任意 時恒成立。

因

……④

當 時， ，

（1）當 時 恒成立，于是 恒成立；

（2）當 時，方程

有三個實根：

當 時

此時當 時，

又 ，與已知矛盾，當

時，

此時 當恒成立。

綜上，a 的取值范圍是 。

這是我第一次備課時想到的解法，有了較理想的替代解法我就沒有再深入分析下去了，就帶著它上這節講評課去了。

3.課堂上起波瀾

我感覺這種解法思路自然，分類依據充分，過程也清晰，較參考答案應該更易被學生接受，正當我把這種解法分析給學生聽而自以為得意的之時，一個學生說“老師，我的想法比你的簡單！”，讓我感到有些吃驚，看來我課前的備課有問題，于是我請該同學講解他的解法：

學生甲：構造的函數與你一樣的，因 ，要使 ，在 上恒成立，只要：

于是只要

在 上恒成立，注意到二次函數對稱軸為 ，于是只要

即 。

初看此解題過程，似乎簡捷明了，無懈可擊，備課中我還真沒意識到學生會這樣想，還好這個錯誤比較明顯，仔細分析，不難發現其中有破綻，“因為 ，要使 在

上恒成立，只要 ”此推理有問題，我給他舉了個反例。

如圖所示，函數 在

上恒成立，但不一定非要

。正當該同學領會他的解法漏洞之時，又有一學生舉手示意有話要說。

學生乙：老師你剛才的分析是對的，但我覺得在這個問題中要使函數

在 恒成立，非得要

不可。我們都疑惑了，什么道理呢？此時下課鈴已響，這個問題只能下節課抽時間補講了，于是要求同學們一起課后探究這位同學提出的看法，下節課再來聽他的道理。

4.重回課堂探真知

課后我認真分析這位同學所下的結論的可能性，也把這個問題提出來讓備課組的老師一起討論，發現那位同學提出的解答是可行的。第二天，我仍讓那位同學分析他的解法。

學生乙：因為

在 時為增函數，而 ，所以要使

在 上恒成立，必須要

否則必存在 ，使得

時， ，即 ，則 ，矛盾。而要 ，只要 ，于是得 。

師：這位同學在得到④式后，注意到問題的關鍵在 ，通過對這個函數性質的分析得到了更為簡捷的解法，很值得我們學習。

之后，另一位同學也提出自己的想法。

學生丙：老師，我在昨天的課后的探究中得到了一個更簡單的解法：

由， 得

整理為：

恒成立，而

故函數

在 上應為增函數，即

在 上恒成立，即得 。

漂亮無比的構造，簡捷明了的過程，有非凡的觀察力呀！這正是：“妙算還從學生來，千樹萬事梨花開”，給學生思考的時間和空間，方顯學生的“智”和自己的“呆”。

5.課后思考

這節課自我感覺上的比較開心，回顧近一階段眾多的試卷講評課，在備課這一最重要的環節中我感覺有些問題真值得我好好地進行反思。

（1）學生的興趣是什么？

學生的興趣主要體現在其一：核對答案。講評不同于練習，學生最想知道的不是解題思路、解題方法，而是正確答案。其二：錯因分析。有了正確答案，學生最想知道的是怎樣才是正確的解題思路和是否有更合理或更快的解題方法。

（2）講評課要注意什么？

老師的講評應考慮學生的要求，從學生方面來說，要充分發揮學生的主體作用。試卷講評時老師的作用在于組織、引導、點撥，促進學生的主動思考、積極探究、大膽假設猜測、提出問題，培養學生的創新意和敢想、敢說、敢于標新立異的思想意識，使學生真正成為講評課的主人。

（3）講評課要講什么呢？

講評課不能面面俱到，要有重點，試卷最突出的問題、考查的重點和學生最想知道的內容都可以成為重點；但只講重點是不夠的，分析“為什么學生會在這道題上出錯？”的原因也是很有必要的。

（4）上講評課前應準備什么？

從教師方面來說，在備課中應重視四個方面：①確定哪些問題要講評，為什么要選講這些問題，以使不同類型的選題在課堂講評中實現其目標；②弄清每個選講題思維的切入點，明確如何分析、如何展開、如何減縮思維過程；③注意積累學生所犯錯誤，了解學生思維錯誤的原因，同時重視分析還可以出現的其他錯誤理解；④重視強調本問題相關的專題知識的鏈接，讓問題去印證專題的思想與方法，以實現與前面專題復習的前后呼應，提高復習效率。

（作者單位：安徽省和縣第一中學）