２００８年全國高中數學聯合競賽

一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）

1． 函數f（x）＝在（－∞，2）上的最小值是（）

A． 0 B． 1C． 2 D． 3

解析：選C．

2． 設A＝［－2，4），B＝｛x

x2－ax－4≤0｝，若B#8838;A，則實數a的取值范圍為（）

A． ［－1，2）B． ［－1，2］

C． ［0，3］ D． ［0，3）

解析：選D．

3．甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止． 設甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數ξ的期望Eξ為（）

A. B.

C. D.

解析：選B．

4． 若三個棱長均為整數（單位：cm）的正方體的表面積之和為564 cm2，則這三個正方體的體積之和為（）

A. 764 cm3或586 cm3

B. 764 cm3

C. 586 cm3或564 cm3

D. 586 cm3

解析：設這三個正方體的棱長分別為a，b，c，則有6（a2＋b2＋c2）＝564，a2＋b2＋c2＝94，不妨設1≤a≤b≤c＜10，從而3c2≥a2＋b2＋c2＝94，c2＞31． 故6≤c＜10． c只能取9，8，7，6，依次對c進行討論得兩組解a＝2，

b＝3，

c＝9或a＝3，

b＝6，

c＝7.選A．

5． 方程組x＋y＋z＝0，

xyz＋z＝0，

xy＋yz＋xz＋y＝0的有理數解（x，y，z）的個數為（）

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：以xyz＋z＝0為突破口，取z＝0，z≠0分別進行討論，共有兩組有理數解x＝0，

y＝0，

z＝0或x＝－1，

y＝1，

z＝0.選B．

6． 設△ABC的內角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數列，則的取值范圍是（）

A. （0，＋∞）

B. （0，）

C. （，）

D. （，＋∞）

解析：設a，b，c的公比為q，則b＝aq，c＝aq2，而＝＝＝q． a，b，c要構成三角形的三邊，必需且只需a＋b＞c且b＋c＞a，即a＋aq＞aq2，aq＋aq2＞a，解得＜q＜． 選C．

二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）

7． 設f（x）＝ax＋b，其中a，b為實數， f1（x）＝f（x）， fn＋1（x）＝f（fn（x）），n＝1，2，3，…，若f7（x）＝128x＋381，則a＋b＝_________.

解析：5．

8． 設f（x）＝cos2x－2a（1＋cosx）的最小值為－，則a＝＿＿＿＿＿＿＿＿．

解析：a＝－2＋．

9．將24個志愿者名額分配給3個學校，則每校至少有一個名額且各校名額互不相同的分配方法共有______種．

解析：用4條棍子間的空隙代表3個學校，而用#8727;表示名額． 如

｜#8727;#8727;#8727;#8727;｜#8727;…#8727;｜#8727;#8727;｜

表示第一、二、三個學校分別有4，18，2個名額．

“每校至少有一個名額的分法”相當于在24個“#8727;”之間的23個空隙中選出2個空隙插入“｜”，故有C＝253種． 又在“每校至少有一個名額的分法”中“至少有兩個學校的名額數相同”的分配方法有31種． 綜上知，共有222種．

10． 設數列｛an｝的前n項和Sn滿足：Sn＋an＝，n＝1，2，…，則通項an＝＿＿＿＿＿＿＿．

解析：an＋1＝Sn＋1－Sn＝－an＋1－＋an，即2an＋1＝－＋＋an＝＋an＋，由此得 2an＋1＋

＝an＋，進而得an＝－．

11． 設f（x）是定義在R上的函數，若f（0）＝2008，且對任意x∈R，滿足f（x＋2）－f（x）≤3·2x， f（x＋6）－f（x）≥63·2x，則f（2008）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

解析：由題設條件知f（x＋2）－f（x）＝－（f（x＋4）－f（x＋2））－（f（x＋6）－f（x＋4））＋（f（x＋6）－f（x））≥3·2x，因此有f（x＋2）－ f（x）＝3·2x，故f（2008）＝f（2008）－ f（2006）＋f（2006）－f（2004）＋…＋f（2）－ f（0）＋f（0）＝22008＋2007．

12． 一個半徑為1的小球在一個內壁棱長為4的正四面體容器內可向各個方向自由運動，則該小球永遠不可能接觸到的容器內壁的面積是＿＿＿＿＿＿＿＿．

解析：如圖1，考慮小球擠在一個角時的情況，記小球半徑為r，作平面A1B1C1∥平面ABC，與小球相切于點D，則小球球心O為正四面體P－A1B1C1的中心．

[B][C][O][D][P][A1][C1][B1][P1][A]

圖1

由V＝4·V得PD＝4OD＝4r，從而PO＝3r． 記此時小球與面PAB的切點為P1，PP1＝2r．

考慮小球與正四面體的一個面（不妨取為PAB）相切時的情況，易知小球在面PAB上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為P1EF，如圖2，則小球與面PAB不能接觸到的部分的面積為（圖2中陰影部分）

[P][M][E][F][A][B][P1]

圖2

S△PAB－S＝18． 故小球不能接觸到的面積共為72．

三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）

13． 已知函數f（x）＝｜sinx｜的圖象與直線y＝kx（k＞0）有且僅有三個交點，交點的橫坐標的最大值為α，求證：

＝．

證明： f（x）的圖象與直線y＝kx（k＞0）的三個交點如圖3所示，且在π，

內相切，其切點為A（α，－sinα），α∈π，

[y＝kx][y＝｜sinx｜][x][y][O][α][π][2π][A]

由于f ′（x）＝－cosx，x∈π，

，所以－cosα＝－，即α＝tanα，此時易證原等式．

14． 解不等式log2（x12＋3x10＋5x8＋3x6＋1）＜1＋log2（x4＋1）．

解析：由1＋log2（x4＋1）＝log2（2x4＋2），且log2y在（0，＋∞）上為增函數，原不等式等價于x12＋3x10＋5x8＋3x6＋1＜2x4＋2． 即＋＞x6＋3x4＋3x2＋1＋2x2＋2＝（x2＋1）3＋2（x2＋1），

＋2

＞（x2＋1）3＋2（x2＋1），令g（t）＝t3＋2t，則不等式為g

＞g（x2＋1），顯然g（t）＝t3＋2t在R上為增函數，由此上面不等式等價于＞x2＋1，解得－＜x＜．

15． 如圖4，P是拋物線y2＝2x上的動點，點B，C在y軸上，圓（x－1）2＋y2＝1內切于△PBC，求△PBC面積的最小值．

[y][P][x][B][O][C]

圖4

解析：設P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），不妨設b＞c． 直線PB的方程:（y0－b）x－x0y＋x0b＝0． 又圓心（1，0）到PB的距離為1，即＝1，易知x0＞2，化簡得（x0－2）b2＋2y0b－x0＝0，同理有（x0－2）. c2＋2y0c－x0＝0．

所以（b－c）2＝＝，所以S△PBC＝（b－c）·x0≥8．

當x0＝4，y0＝±2時，S△PBC取最小值，最小值為8．