美國國債市場與石油期貨市場尾部相關性分析
——基于Copula函數的視角

劉湘云，高明瑞

（廣東商學院金融學院，廣州 510320）

美國國債市場與石油期貨市場尾部相關性分析
——基于Copula函數的視角

劉湘云，高明瑞

（廣東商學院金融學院，廣州 510320）

分別利用單參數和雙參數的阿基米德族Copula函數對美國國債市場與紐約石油期貨市場之間的尾部相關性進行分析，并與美國股票市場與石油期貨市場之間的尾部相關性進行比較。實證分析結果表明，在描述美國國債市場、股票市場與石油期貨市場之間的尾部相關性方面，雙參數的阿基米德族Copula函數具有更好的擬合效果;美國國債市場與石油期貨市場之間具有非對稱的尾部相關性，上尾相關性雖然很小，但比下尾相關性大，下尾相關系數幾乎為零。

尾部相關性;Copula函數;國債市場;股票市場;石油期貨市場;標準普爾500指數;美國

美元作為石油交易的計價貨幣，其價值的高低必然會影響石油的價格。美國政府每年發行的巨額國債，同樣也受到美元價值的影響。兩者之間存在什么樣的關系以及在什么情況下兩者關系會加強，已成為現在投資者所關心的問題。一般認為，美國政府由于財政赤字壓力發行巨額國債，在一定程度上導致美元貶值，國債收益率升高。在外匯市場上，由于美元疲軟導致石油價格上升，而以其他貨幣購買時則表現為價格下降、收益率上升。美元升值使得其他國家購買美國國債的價格上升、收益率下降;同樣，由于美元的升值，使得其他國家購買石油時價格上升、收益率下降。因此，研究美國國債市場與石油期貨市場之間的尾部相關性對投資者有重要的參考意義。

一、文獻綜述

隨著現代金融的快速發展，金融市場之間的關系日益復雜，為了發現其中的相關結構，國內外學者對此領域進行了廣泛研究。尾部相關性研究是為了考察一個市場暴漲（暴跌）時，是否會引起另一個市場暴漲（暴跌）。與兩個市場在正常時期的相關性相比，在市場急劇上漲或下跌的過程中，兩個市場之間的相關結構可能會出現一定的變化，而這種相關結構通常會表現為非對稱的尾部相關性。在這次的次貸危機下，一些流行的模型比如VaR的局限性被凸顯出來［1］，在這種情形下，在描述隨機變量之間相關結構方面具有更大優勢的Copula函數成為了研究熱點。

在描述金融市場之間的尾部相關性方面，近年來國內外很多學者都進行了研究。根據國內外學者的研究方法，可以把對尾部相關性的研究分為以下幾個方面:

（1）利用秩的極大似然方法進行研究的文獻:任仙玲、張世英（2008）利用基于秩的極大似然法估計雙參數非對稱BBX-Copula函數，對民生銀行和浦發銀行這兩只股票的尾部相關性進行實證分析，得出股票市場在低迷時期的尾部相關性高于活躍時期的尾部相關性的結論［2］。王曉芳、謝金靜（2009）利用基于秩的極大似然估計法分別采用靜態和動態Copula函數對比研究了上證綜指和新加坡海峽時報指數收益序列的尾部相關關系，結果發現時變Copula函數兩市股指收益序列的尾部相關關系不對稱，存在顯著的下尾相關，而上尾相關不明顯，而且上證綜指和海峽時報指數收益序列的下尾相關系數是不斷變化的，呈現出日益上升的趨勢［3］。

（2）在利用非參數方法進行研究方面:李悅、程希駿（2006）采用非參數估計方法估計Gumbel Copula函數并對上證指數和恒生指數的尾部相關性進行研究，結果表明兩者存在上尾相關性［4］。Matthias Fischer和Marco D?orflinger（2006）利用特殊的回歸過程和混合Copula函數提出了新的對尾部相關性進行研究的非參數估計方法［5］。

（3）在利用兩步法構建 Copula函數方面: Helder和Luiz（2006）利用條件Copula函數動態地研究了金融資產間的相關結構［6］。韋艷華、張世英（2005）通過構建具有尾部變結構的RS-Copula-GARCH模型，對我國滬深兩市非對稱尾部相關性進行了研究，并得出兩市在上尾部和下尾部的相關關系趨向于增強，并且在下尾部的相關性比上尾部更大的結論［7］。LeoMichelis和CathyNing（2008）利用Copula函數描述了加拿大股票市場和美元兌加拿大元匯率之間的相關結構問題，結果表明兩者之間的左尾相關性大于右尾相關性，同時發現它們的尾部相關性呈現動態變化的特征［8］。

（4）在利用半參數估計Copula函數進行研究方面:Claudia Kluppelberg和Gabriel Kuhn（2008）利用半參數的估計方法對多元尾部相關性進行了研究，并發現半參數估計方法比經驗尾部相關性估計方法在理論和實踐兩個方面都要有優勢［9］。Cyril Caillault和Dominique Guegan（2003）采用非參數和半參數估計方法，利用Copula函數對亞洲股票市場尾部相關性進行了研究，發現泰國和馬來西亞股票市場之間具有對稱的尾部相關性，而泰國和印度尼西亞及馬來西亞和印度尼西亞股票市場之間存在非對稱的尾部相關性，并在最后提出了選取最優 Copula函數進行研究的兩種方法［10］。ZsoltTulassay（2008）利用行為模式和經驗擬合的途徑研究了金融資產利益回報之間的尾部相關性，提出了一個研究資產收益之間尾部相關性的新方向［11］。

從上述文獻中可以發現，對Copula函數的參數估計方法主要有半參數估計法、非參數估計法以及極大似然估計法等。上述文獻在選用模型的時候，主要是根據模型的特性或者金融市場的特性選取一個合適的模型，或者比較所選擇模型的優劣，然后選取最優的一個。根據前人對Copula函數特性的研究可以發現，阿基米德族Copula函數對尾部相關性的描述具有最優性，而前文在選取阿基米德族函數的時候只是簡單地選擇了單參數或者雙參數的Copula函數。因此，本文分別選取了單參數和雙參數的阿基米德族Copula函數，利用基于秩的極大似然估計法估計模型的參數來研究美國國債市場和石油期貨市場之間的尾部相關性，并與美國股市和石油期貨市場之間的尾部相關性進行比較。

雖然Copula函數在刻畫金融市場相關結構方面具有重要作用，但是選擇合適的Copula函數是其中的關鍵。因此，正確刻畫金融市場之間的相關結構首先要解決的問題有以下兩點:

（1）Copula函數的選擇問題。不同的Copula函數對相同數據的擬合結果往往存在很大的差異，因此很多學者在對金融市場進行研究的時候采用的模型會不同，但大多數都是根據Copula函數的特性進行選擇，也有些是對不同的函數進行數據擬合，然后選擇擬合優度最好的Copula函數。

（2）Copula函數的參數估計問題。現在國外很多論文利用非參數、半參數等方法對Copula函數的參數進行擬合，但是利用極大似然估計法和邊緣分布推斷法這兩種方法最為廣泛。我國學者的著作中還是以極大似然法和邊緣分布推斷法為主要的參數估計方法。本文利用基于秩的極大似然估計法對Copula函數的參數進行估計，并用經驗分布函數與擬合的Copula函數對比，以選擇最優的Copula函數。

二、二元Copula函數及基于Copula函數的尾部相關系數

1.二元Copula函數的定義

二元Copula函數是指具有以下性質的函數C（·，·）:

（1）C（·，·）的定義域為I2，即［0，1］2;

（2）C（·，·）有零基面且是二維遞增的;

（3）對任意變量u，v∈［0，1］，滿足C（u，1）= u和C（1，v）=v。

假定F（x），G（y）是連續的一元分布函數，令u=F（x），v=G（y），則u，v均服從［0，1］均勻分布，即C（u，v）是一個邊緣分布服從［0，1］均勻分布的二元分布函數，且對于定義域內的任意一點（u，v）均有0≤C（u，v）≤1。

Gumbel、Clayton和FrankCopula函數是3類較為常用的二元單參數阿基米德族Copula函數。GumbelCopula函數對變量分布在上尾部的變化十分敏感，能夠快速捕捉到上尾的變化。而對于ClaytonCopula函數來說，它與GumbelCopula函數一樣，密度函數也具有非對稱性，但是它對變量分布在下尾部而不是上尾部的變化十分敏感，能夠快速捕捉到下尾相關的變化。GumbelCopula和ClaytonCopula函數只能描述變量間的非負相關關系，而FrankCopula函數還可以描述變量間的負相關關系。由于FrankCopula函數的密度分布成“U”字形，具有對稱性，因此無法捕捉到隨機變量間非對稱的相關關系。而對于阿基米德族雙參數Copula函數來說，它彌補了大多數單參數阿基米德族Copula函數不能同時刻畫上尾和下尾相關性的缺陷。因此，本文同時利用上面3種常用單參數阿基米德族Copula函數和雙參數阿基米德族BB7Copula函數進行實證分析。

2.尾部相關系數

尾部相關系數是一個廣泛應用于極值理論的測度，用來表示當一個觀測量的實現值為極值時，另一個變量也出現極值的概率。令隨機變量X和Y的分布函數分別為F（x），G（x），相應的Copula函數為C（u，v），其中u=F（x）;v=G（y）;u，v∈［0，1］，則

由于當x→∞時u，v→1，因此可以通過分析u，v→1時的條件概率P［U＞u|V＞v］來討論隨機變量X與Y的尾部相關性。其中上尾相關系數為

若λup（或λlo）存在且在區間（0，1］內，則隨機變量X，Y上尾（或下尾）相關;若λup（或λlo）等于零，則隨機變量X，Y獨立。

3.Copula函數的估計方法

一般使用的極大似然估計法和邊緣分布推斷法都屬于參數估計法，其不足之處在于Copula函數的參數受到邊緣分布函數的影響。由于兩個隨機變量的相關結構只與它們的相關函數Copula有關而與邊緣分布沒有關系，因此可以直接利用樣本估計Copula函數的參數，這樣會更加接近變量間的真實結構。因此，本文采用基于秩的極大似然估計法來估計隨機變量之間的Copula函數。

三、實證分析

1.數據描述

本文選取紐約商品交易所石油期貨價格指數作為石油期貨價格的代表，國債指數選取美國30年、10年國債指數，股票市場指數選取標準普爾500指數，樣本區間為1990年10月1日至2009年6月29日。剔除不匹配數據后共有4652個日數據，其中國債指數和標準普爾500指數日收益率來自銳思數據，石油期貨指數來自美國能源署（見表1）。

表1 美國國債指數、標準普爾500指數和石油期貨指數日收益率情況

從表1可以看出，美國國債指數、標準普爾指數和石油期貨指數日收益率均呈現偏峰、厚尾現象，說明美國國債指數日收益率、標準普爾指數日收益率和石油期貨指數日收益率均不服從標準正態分布。在收益率均值中，10年和30年國債指數均為負值，雖然標普500指數和石油期貨指數收益率為正值卻也很小。

2.Copula函數選擇及參數估計

對美國30年國債指數日收益率和石油期貨指數日收益率的擬合檢驗結果如表2和圖1所示。從表2可以看出，在給出的Copula函數中，BB7函數的對數似然估計值為42.7843、AIC值為-81.5685，而對下尾描述更加精確的Clayton Copula函數、適宜描述上尾相關性的GumbelCopula函數和適宜描述對稱結構變量之間相關關系的FrankCopula函數的擬合結果均差于BB7函數，說明BB7函數對美國30年國債指數日收益率和石油期貨指數日收益率的擬合是最好的。同時，在圖1給出的經驗擬合與BB7函數的累積分布擬合比較中，也可以得出相同的結論。

表2 美國30年國債指數日收益率和石油期貨指數日收益率模型擬合檢驗

圖1 美國30年國債指數日收益率和石油期貨指數日收益率BB7函數與經驗分布函數的擬合優度比較

BB7函數的相關系數如表3所示，由表3可知，BB7函數的Kendall秩相關系數為0.0699，Spearman秩相關系數為0.1041，兩個隨機變量之間的上尾系數為0.097，下尾系數為0.00001。這表明，美國30年國債日收益率和石油期貨指數日收益率之間存在非對稱的尾部相關性，上尾相關性比下尾相關性要大，在兩個市場同時出現上漲的概率為0.097，同時下跌的概率幾乎為零。

表3 美國30年國債指數日收益率和石油期貨指數日收益率BB7函數的相關系數

對美國10年國債指數日收益率和石油期貨指數日收益率的擬合結果如表4和圖2所示。

表4 美國10年國債指數日收益率和石油期貨指數日收益率模型擬合檢驗

從表4可以看出，在給出的Copula函數中，BB7函數的對數似然估計值為38.5066，AIC值為-73.0134，而對下尾描述更加精確的Clayton Copula函數、適宜描述上尾相關性的Gumbel Copula函數和適宜描述對稱結構變量之間相關關系的Frank Copula函數的擬合結果均差于 BB7函數，說明BB7函數對美國10年國債指數日收益率和石油期貨指數日收益率的擬合是最好的。同時，在圖2給出的經驗擬合與BB7函數的累積分布擬合比較中，也可以得出相同的結論。

圖2 美國10年國債指數日收益率和石油期貨指數日收益率BB7函數與經驗分布函數的擬合優度比較

BB7函數的相關系數如表5所示，其中Kendall秩相關系數為0.0654，Spearman秩相關系數為0.0976，兩個隨機變量之間的上尾相關系數為0.085，下尾相關系數為0.00001。這表明，美國10年國債日收益率和石油期貨指數日收益率之間存在非對稱的尾部相關性，上尾相關性要比下尾相關性大得多，在兩個市場同時出現上漲的概率為0.085，同時下跌的概率幾乎為零。

表5 美國10年國債指數日收益率和石油期貨指數日收益率BB7函數的相關系數

對美國標準普爾500指數日收益率和石油期貨指數日收益率的擬合結果如表6和圖3所示。

從表6可以看出，在給出的Copula函數中，BB7函數的對數似然估計值為23.8171，AIC值為-43.6342，而對下尾描述更加精確的Clayton Copula函數、適宜描述上尾相關性的GumbelCopula函數和適宜描述對稱結構變量之間相關關系的FrankCopula函數的擬合結果均差于BB7函數，說明BB7函數對美國標準普爾500指數日收益率和石油期貨指數日收益率的擬合是最好的。同時，在圖3給出的經驗分布函數與BB7函數的累積分布擬合比較中，也可以得出相同的結論。

表6 美國標普500指數日收益率和石油期貨指數日收益率模型擬合檢驗

圖3 美國標普500指數日收益率和石油期貨指數日收益率BB7函數與經驗分布函數的擬合優度比較

美國標普500指數日收益率和石油期貨指數日收益率BB7函數的相關系數如表7所示，其中Kendall秩相關系數為0.0483，Spearman秩相關系數為0.0721，兩個隨機變量之間的上尾相關系數為0.0445，下尾相關系數為0.00001。這表明，美國標準普爾500指數日收益率和石油期貨指數日收益率之間存在非對稱的尾部相關性，上尾相關性要比下尾相關性大得多，在兩個市場同時出現上漲的概率為0.0445，同時下跌的概率幾乎為零。

表7 美國標普500指數日收益率和石油期貨指數日收益率BB7函數的相關系數

四、結 論

金融市場之間的線性相關并不能說明它們之間復雜的關系，本文運用可以描述金融市場之間非線性關系的Copula函數對美國國債市場、股票市場與紐約石油期貨市場收益率之間的尾部相關性進行了實證分析。在給出的單參數和雙參數Copula函數中，可以發現雙參數的Copula函數與本文開始提及的Gumbel、Clayton函數相比，在對數據之間的尾部相關性描述方面具有更好的效果。同時，根據尾部相關系數，可以得出美國國債市場與紐約石油期貨市場之間具有微弱的非對稱尾部相關性，其中下尾相關系數幾乎為零，上尾相關系數不到0.1。作為對比，美國股票市場與紐約石油期貨市場之間的尾部相關性也呈現出非對稱的相關性，表現為上尾相關性明顯高于下尾相關性。以上研究只是表明美國國債市場與石油期貨市場之間具有非對稱的尾部相關性，在進一步的研究中，新興市場的國債市場與石油期貨市場以及其他發達市場的國債市場與石油期貨市場之間的尾部相關性將是研究的重點。

［1］李裕豐，羅丹程，王赫.基于VaR方法的金融風險度量模型及其應用［J］.沈陽工業大學學報:社會科學版，2009（4）:335-339.

［2］任仙嶺，張世英.基于Copula函數的金融市場尾部相關性分析［J］.統計與信息論壇，2008（6）:66-71.

［3］王曉芳，謝金靜.基于多種Copula函數的滬新股市尾部相關性比較分析［J］.統計與信息論壇，2009，24（6）:27-32.

［4］李悅，程希駿.上證指數和恒生指數Copula尾部相關性分析［J］.系統工程，2006，24（5）:88-92.

［5］Matthias F，Marco D. A note on a non-parametric tail correlation estimator ［R］. Nuremberg，Germany:Department of Statistics and Econometrics，Friedrich Alexander University of Erlangen-Nuremberg，2006: 1 -4.

［6］Helder P P，Luiz K H. Using conditional copula to estimate value at risk ［J］. Joumal of Data Science，2006，4(1) : 93-115.

［7］韋艷華，張世英.金融市場非對稱尾部相關結構的研究［J］.管理學報，2005，2（5）:601-605.

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［10］Statistics，2008，35(4) : 701 -718.［10］Cyril C，Dominique M G. Empirical estimation of tail correlation using copulas: application to Asian markets［J］. Quantitative Finance，2005，5(5) : 489 - 501.

［11］］Zsolt T. Tail dependence of financial returns: empirical investigation and a behavioral model ［R］. Budapest，Hungary: CAMEF Budapest workshop，2008: 1-24.

Analysis on tail correlation between governmental bond market and oil futures market in the United States of America:from perspective of Copula function

LIU Xiang-yun，GAO Ming-rui
（School of Finance，Guangdong University of Business Studies，Guangzhou 510320，China）

One and bivariate parameter Archimedean Copula functions are used to analyze the tail correlation between the US governmental bond market and the New York oil futures market.The results are compared with the tail correlation between the US stock market and oil futures market.When the tail correlation is estimated between bond market，stock market，and oil futures market，the bivariate Archimedean Copula function has better fitting result.There is asymmetrical tail correlation between US governmental bond market and oil futures market，though the upper tail correlation is small，but it is stronger than lower tail correlation，while the lower tail correlation is almost zero.

tail correlation;Copula function;governmental bond market;stock market;oil futures market; Standard＆Poor’s 500 index;United States of America

C812;F831.5

A

1674-0823（2011）01-0032-06

2010-04-16

中國博士后科學基金項目（20090450627）;廣東省自然科學基金項目（8151032001000006）。

劉湘云（1972-），男，湖南衡陽人，教授，博士后，主要從事金融風險管理和金融工程等方面的研究。

（責任編輯:吉海濤）