基于Clayton Copula函數的二維Gumbel模型及其在海洋平臺設計中的應用＊

董 勝，周 沖，陶山山，薛東升

（1.中國海洋大學工程學院，山東青島266100；2.海洋石油工程股份有限公司工程項目管理中心，天津300452）

基于Clayton Copula函數的二維Gumbel模型及其在海洋平臺設計中的應用＊

董 勝1，周 沖1，陶山山1，薛東升2

（1.中國海洋大學工程學院，山東青島266100；2.海洋石油工程股份有限公司工程項目管理中心，天津300452）

根據Gumbel分布和Clayton Copula函數構造出二維Gumbel Clayton Copula分布，根據渤海海域某觀測站測得的1970—1993年年最大波高及風速，具體介紹該二維Gumbel模型在海洋工程設計中的使用方法。通過導管架平臺基底剪力計算表明，使用該二維Gumbel模型所得的50 a一遇剪力值降低了37%，對于邊際油田，可以降低荷載設計標準，從而減少海洋工程的投資費用。

Clayton Copula函數；二維Gumbel分布；聯合概率；海洋平臺

近年來，多元分布理論在海洋工程結構可靠度，環境條件設計標準和失效概率計算中得到了越來越廣泛的應用［1－5］。越來越多的實例也表明聯合概率分布推求的參數滿足海洋工程的設計要求，并且可以合理地降低海洋工程的建造成本［2－5］。

在構造多元極值分布時，Skar指出，可以將1個k維聯合分布分解為k個邊緣分布和1個Copula函數，這個Copula函數描述了變量間的相關性［6］。所以可以說Copula函數是把各邊緣分布聯系在一起的連接函數。文中考慮二維復合分布，因為它連接2個元素，現階段使用得也比較成熟［6－7］。Gumbel分布具有充分的理論根據，在水文極值統計中應用極廣［8］。而常用的二元阿基米德Copula函數有Gumbel，Clayton和Frank Copula函數［7］。其中Clayton Copula函數在三者之中結構最簡單，最容易實現，在和Gumbel分布結合時容易構造二維分布。所以本文根據Clayton Copula函數和Gumbel分布構造出了二維Gumbel Clayton Copula分布，并且以渤海海域某觀測站測得的1970—1993年年最大波高及最大風速為例，通過對導管架平臺基底剪力的計算，探討了二維Gumbel Clayton Copula分布一些性質。結果表明，使用二維Gumbel Clayton Copula分布所得的幾十年一遇剪力值在一定程度上得到降低，可以降低荷載設計標準，減小海洋工程的投資建設費用，從而達到降低成本的目的。

1 二維Gumbel Clayton Copula分布

Clayton Copula函數是1類常用的二元阿基米德Copula函數。本文使用的Clayton Copula函數，其分布函數是：

密度函數是：

其中，θ∈（0，∞），為相關參數。當θ→0時，隨機變量u，v趨向于完全獨立，即當時，隨機變量u，v趨向于完全相關，且min（u，v）＝C＋，即當θ→∞時，Clayton Copula函數趨向于Fréchet上界C＋［6］。而θ與變量u，v的Kendall的秩相關系數τ的關系為：

Gumbel分布又稱極值I型分布，由Fisher首先導出，Gumbel于1941年首次把它用在洪水分析計算中。由于該分布具有充分的理論根據，美國和日本等國也將其用于重現期波高的計算［7］。其分布函數為：

式中，α和β為尺度和位置參數。該分布函數的概率值p與重現期T有如下關系：

則結合式（4）有：

可對已知數據按照式（6）進行變換，對變換后的數據進行線性擬合就可以求出參數α和β的值。

結合Gumbel分布和二維Clayton Copula函數，可以得到二維Gumbel Clayton Copula模型。其分布函數為：

則邊緣分布密度函數為

則二維Gumbel Clayton Copula模型的密度函數可表示如下：

若年極值序列X，Y分別服從式（8）中的Gx（x）和Gy（y）分布，對于式（7）和（10）中的θ可先求出變量X，Y的Kendall的秩相關系數τ，然后通過本文上面的（3）式求得；再根據年極值序列X按照式（6）求出α1，β1的值，根據年極值序列Y按照式（6）求出α2，β2的值。

2 二維Gumbel Clayton Copula分布在海洋平臺設計中的應用

本文選取渤海海域某觀測站測得1970—1993年年最大波高及相應的最大風速進行討論。其中，風速值統一換算為海面上10 m高處10 min的平均風速。

2.1 邊緣分布

對上述2極值序列分別進行Gumbel分布的擬合，經過K－S統計檢驗，極值波高和風速在顯著性水平0.05時，皆符合Gumbel分布（見圖1，2）。波高和風速不同重現期的值（見表1）。

圖1 波高的Gumbel分布擬合Fig.1 Wave height fitting curve with Gumbel distribution

圖2 風速的Gumbel分布擬合Fig.2 Wind speed fitting curve with Gumbel distribution

表1 波高和風速的聯合概率Table 1 Joint probabilities of extreme H and W

2.2 聯合概率

由二維Gumbel Clayton Copula分布得到的聯合概率等值線（見圖3）。

在圖3中，圖上標注0.01，0.02，0.05等字樣的曲線分別是用聯合概率算出的百年一遇，50 a一遇，20 a一遇的波高和風速對應的曲線。彎曲的虛線表示下面2.3中的多年一遇重現期剪力對應的波高和風速曲線。具體計算數據見表2。其中H和W分別表示極值波高和極值風速。從表1中可以看到傳統方法算出的百年一遇波高和風速共同發生的概率僅為0.02%，為5 000 a一遇。傳統方法算出的50 a一遇的波高和風速共同發生的概率為1 429 a一遇。就連10 a一遇的波高和風速共同發生的概率都是60 a一遇。可以看到使用聯合概率極大的降低了海洋工程的設計標準。并且這種參數的降低是有理論依據的。

圖3 聯合概率等值線Fig.3 Joint probability contour

2.3 風浪組合在海洋平臺設計中的應用

所在的海區的導管架平臺基底剪力Q可以按照下式計算：

式中，H和W分別表示波高和風速，C1和C2對具體的導管架平臺近似為常數，此處分別取20.18和0.44［9］。將上式計算所得基底剪力曲線見圖3中的虛線，每條重現期的剪力對應著相應的波高和風速。切點表示該重現期條件下，導管架基底剪力最大時的波高和風速組合。計算結果（見表2）。從圖中可以看到百年一遇的剪力值對應的波高和風速分別是5.43 m，13.56 m·s－1。傳統方法算出的百年一遇的波高和風速分別減小1%和51%才是聯合概率算出的百年一遇的波高和風速值。

表2 相同聯合重現期時基底最大剪力Table 2 Maximum base shears

能夠看到重現期100 a的剪力通過本文中的聯合概率計算降低了28.5%，50 a一遇的剪力降低了37%。這些降低的幅度很大，但是卻又有著可靠的理論依據，這正是聯合概率的優勢所在。

3 結論

根據Clayton Copula函數，本文構造出了二維Gumbel Clayton Copula分布。并以渤海海域某觀測站24a的年極值波高和風速為例，探討了二維Gumbel Clayton Copula分布的一些性質。通過計算得到以下結論：

（1）二維Gumbel Clayton Copula分布適用于邊緣分布為Gumbel分布的年極值有效波高和風速的聯合概率計算。結果表明，該分布中的未知參數易于通過邊緣分布和變量間的相關參數進行估算，易于實現；

（2）與傳統的頻率計算分析法相比，二維Gumbel Clayton Copula分布能夠有效合理地降低基底剪力設計值，從而減小海洋平臺的投資規模。

由于資料有限，該模型還需要更豐富的資料加以驗證，使之在深海油氣資源開發的平臺設計中發揮更大的作用。

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Bivariate Gumbel Distribution Based on Clayton Copula and Its Application in Offshore Platform Design

DONG Sheng1，ZHOU Chong1，TAO Shan－Shan1，XUE Dong－Sheng2
（1.College of Engineering，Ocean University of China，Qingdao 266100，China；2.Project Management Center，Offshore Oil Engineering Co.Ltd，Tianjin 300452，China）

This paper introduces bivariate Gumbel Clayton Copula distribution based on Clayton Copula function.This bivariate Gumbel Clayton Copula distribution is discussed according to a 24 a observed data.The data is measured by an oceanographic station in the Bohai area from 1970 to 1993，which contains annual extreme wave height and wind speed.Design parameters combinations are presented for the computation of the jacket platform base shear.The results reveal that the loads design criterion can be reasonably lowered by the joint probability distribution method comparing with traditional method.The whole engineering investment can be reduced in the construction of marine structures.

Clayton Copula function；bivariate Gumbel distribution；joint probability；ocean platform

TE951

A

1672－5174（2011）10－117－04

國家自然科學基金項目（50879085）；新世紀優秀人才資助計劃項目（NCET－07－0778）資助

2011－03－24；

2011－04－28

董 勝（1968－），男，博士，教授。E－mail：dongsh＠ouc.edu.cn

責任編輯 陳呈超