縱橫荷載下單樁地基反力法的半解析解

張 磊，龔曉南，俞建霖

(1.浙江大學軟弱土與環境土工教育部重點實驗室，310058杭州，zh888lei@tom.com; 2.西安建筑科技大學土木工程學院，710055西安)

縱橫荷載作用下，不僅其水平荷載將使樁身產生較大的變形和內力，縱向荷載也將因樁身的側向變形而產生附加彎矩(即P－Δ效應)，而這一附加彎矩又將促使側向變形進一步增大，尤其當地基土質較差、荷載及地面以上樁長較大時，附加的彎矩和變形更為明顯.文獻［1－6］分別用實驗方法和有限元法進行了研究，并得到很多有益的結論.1977年，日本學者橫山幸滿［7］給出了縱橫向荷載下地基反力系數為常數時長單樁的解析解，并指出應力迭加原理不適用于縱橫荷載共同作用下的基樁計算分析.當地基反力系數沿深度線性增加時，趙明華［8］和王哲等［9］給出了冪級數解，李微哲等［10］給出了單、多層地基中考慮樁身初始微傾斜的冪級數解，Han等［11］用變分法分析了考慮樁身橫觀各向同性時樁的響應.但是，考慮到土的強度隨深度的增加而增大、土體變形的非線性、土的屈服以及樁身側向變形隨深度的增加而減小等特點［12］，簡單地假定地基反力系數沿深度不變或線性增加并不符合實際情況.另外，考慮到一些粘性土以及巖石在地表處也呈現出一定抗力的情況，地基反力系數在地表處可以不為零.許多學者據此針對水平荷載作用提出了地基反力系數的一般形式［13－15］，并指出地表處土反力和地基反力系數沿深度的分布形式對樁的響應影響很大.然而，目前既考慮P－Δ效應又考慮地基反力系數一般形式的研究未見報道.

本文在研究縱橫荷載下基樁變形和內力時引入地基反力系數的一般形式，推導出地面以下樁身的撓曲線微分方程并求得半解析解，結合自由段樁身的冪級數解［9－10］，采用Fortran語言編制了計算程序.通過與冪級數解［9－10］的計算結果進行對比以證明其可靠性，并分析了荷載、地表處土反力和地基反力系數沿深度的分布形式等因素對樁身響應的影響.

1 控制方程及解

1.1 方程的建立

如圖1所示，一根樁上半段露出地面，下半段垂直沉入土中，其長度分別為H1和H2.為求解方便，地面以下樁身在C點分成兩段，上段(OC段)和下段(CD段)的長度分別為l1和l2，l1+l2= H2.在各段上建立坐標系.樁頂作用水平力Qp、力矩Mp和縱向力Np.假定自由段分布荷載滿足線性關系:

式中:k0和k1為與荷載分布有關的系數.

自由段、OC段和CD段的樁身軸力分別為

式中:f1和f2分別為自由段和地面以下樁段的軸力增長系數.f1可取為樁身重度與樁橫截面積的乘積;數值模擬結果［6］顯示地面以下樁身主要側向變形段上的軸力沿樁身近似成線性分布，即f2可假定為常數，其取值方法參閱文獻［9，14］.OC段和CD段地基反力系數的一般形式［13－15］分別為

式中:m和k分別為比例系數和指數，均可通過實測或經驗確定;z0為地表處的當量深度.當k=0時，可化為文獻［7］的情況;當z0=0且k=1時，可化為文獻［8－9］的情況.因此文獻［7－9］的研究可視為本文的特例.

圖1 縱橫荷載樁示意圖

在推導方程時假定:位移以向右為正，轉角以向左傾斜為正，彎矩以樁身右側受壓為正，剪力以繞研究對象順時針轉為正.文獻［9－10］給出了自由段樁身的撓曲線微分方程為

式中:u'為樁身位移.

對于OC段，基于梁在軸、橫向荷載作用下的彎曲理論，可得

式(2)不能求得解析解或冪級數解，為求得半解析解需進行以下處理，如圖2(a)所示，把OC段分成n1個等長的小段.從中任取一段(如第i段)并在其上建立坐標系，如圖2(b)所示.假定第i段上樁身軸力和地基反力系數為常數，可分別取為

將以上兩式代入式(2)并對縱坐標求一次導數，得第i段樁身的撓曲微分線方程為

式中:ui″為樁身位移.

同理把CD段分成n2個等長的小段，并在第j段上建立坐標系，如圖2(c)所示.第j段樁身的撓曲線微分方程為

式中:uj為樁身位移，N3j=Np+f1H1+f2l1+1，2，…，n2.

圖2 地面以下樁身和樁段示意圖

1.2 半解析解

自由段樁身變形和內力的冪級數解為

式中:U'(z')=［u'(z')，φ'(z')，M'(z')，Q'(z')］T，φ'、M'和Q'分別為z'處樁的轉角、彎矩和剪切力;U'p=［up，φp，Mp，Qp］T，表示樁頂的變形和內力.矩陣Q和矩陣W具體的表達式已由文獻［8－10］給出.

OC段上第i段樁身變形和內力的解為

CD段上第j段樁身變形和內力的解為

式(5)～(7)即為初參數方程，樁頂未知的邊界值可通過樁頂和樁底已知的邊界值，由樁的變形和內力在各分界點處的連續性，采用迭代法求得.而對于樁身任意點處的變形和內力，也可根據樁頂的邊界值由式(5)～(7)迭代求得.在編程計算時，可適當增加n1和n2的值以獲得滿意的精度.可以預見:當n1和n2都趨近無窮大時，本文解趨向于精確解.另外，樁的最大位移和最大彎矩是設計縱橫荷載樁基礎時工程師最為關心的2個參數.樁的最大位移即為已求得的樁頂位移.在求解最大彎矩時需首先采用二分法自樁頂向下求得第1個彎矩微分為零的點，然后比較該點和樁頂的彎矩以得到最大值.

2 算例分析

基于以上解，采用Fortran語言編制了計算程序.為驗證解和程序的可靠性，假定z0=0、k=1以與冪級數解［8－10］的計算結果進行比較.本算例中某橋梁樁基自由段長度H1=15 m，地面以下長度H2=30 m，樁的計算寬度b=1.8 m，抗彎剛度EI=9.275×106kN·m2，比例系數 m=6× 103kN/m4，軸力增長系數f1=62.345 kN/m，水平力Qp=300 kN，力矩Mp=200 kN·m，縱向荷載Np=10 000 kN，自由段無分布荷載;樁頂和樁底的邊界條件均為自由.另外為方便計算，假定樁身軸力自地面至樁底線性減小到零.本文解及已有解計算出的位移和彎矩沿樁身的分布如圖3所示.

由圖3可見，2種解計算出的樁身響應吻合的很好，故本文解和程序是可靠的.

利用編制的計算程序，進一步分析水平荷載、縱向荷載以及參數z0和k對樁的最大位移和最大彎矩的影響.圖4為樁身響應與縱向荷載關系曲線，圖4中有:z0=0.5 m、k=0.8;圖5為不同z0值時樁身響應與參數k關系曲線，圖5中有:Qp= 400 kN、Mp=100 kN·m、Np=10 MN.樁和土其他的參數均保持不變.

圖4表明，當縱向荷載不變時，隨著水平力和力矩的增加，最大位移和最大彎矩都將大幅度增大.當水平荷載不變時，隨著縱向荷載的增加，最大位移和最大彎矩都增大，且當縱向荷載較小時，增加的幅度不大;隨著縱向荷載的增加，最大位移和最大彎矩增加的幅度越來越明顯，從圖中曲線的后半段可以看出，最大位移和最大彎矩隨縱向荷載的增加而急劇增大，此時樁基已經失穩，這與文獻［11］的研究成果是一致的.因此當縱向荷載和自由段樁長較大時，P－Δ效應不容忽略.另外還可以看出，當水平力和力矩較大時，縱向荷載的影響也較大，說明水平位移越大，P－Δ效應越明顯.圖5(a)表明當k＞0且保持不變時，最大位移隨z0值的增加而減小，這是由于土抵抗側向變形的能力隨z0值的增加而提高所造成的.圖5(b)表明最大彎矩隨z0值的增加而減小.如圖5所示，最大位移和最大彎矩與參數k的關系受z0值的影響很大.

圖3 樁身響應分布圖

圖4 樁身響應與縱向荷載關系曲線

圖5 不同z0值時樁身響應與參數k關系曲線

3 結論

1)隨著水平荷載的增加，樁的變形和內力均大幅增大.對于無縫梁的橋臺樁基，由于伸縮縫的取消，混凝土熱脹冷縮引起的水平荷載將大大增加，其影響在設計中需充分考慮.

2)當水平荷載和縱向荷載均較小時，縱向荷載引起的附加變形和附加彎矩很小.但隨著水平荷載和縱向荷載的增加，縱向荷載的影響越來越大，甚至會引起樁基失穩.

3)最大位移和最大彎矩隨z0值的增加而減小.最大位移和最大彎矩與參數k的關系受z0值的影響很大.

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