考慮P－Δ效應的彈塑性反應譜歸一化

蔡志恒，童根樹

(浙江大學土木工程系，310058杭州，czh1984@139.com)

結構在遭遇達到設防烈度的地震作用下，能經受一定程度的塑性變形，對結構的安全并沒有不利的影響.因此，現有的抗震規范，都允許結構在遭受本地區抗震設防烈度的地震影響時進入塑性階段.但非線性分析較為復雜和耗時，此時，對簡化的彈塑性地震力計算便出現了2種研究方向:間接法和直接法.間接法是通過對彈性地震力折減來獲得彈塑性地震力;直接法是建立與彈性反應譜類似的彈塑性動力放大系數譜βμ譜，彈塑性地震力可以利用公式Fμ=kβμG直接獲得，其中k為地震區域系數，G為結構質量.已有研究［1－5］表明:震中距和震級對強度折減系數R影響較小，而場地條件、阻尼比、滯回模型對R存在著不可忽視的影響.文獻［6］首次用特征周期TgR對R譜進行歸一化處理，很好地保留了R譜的峰值特性.文獻［7－8］對特征周期作了進一步研究，分析了修正克拉夫模型和雙折線模型的R譜.在大震作用下，結構的塑性變形將比彈性極限變形大好幾倍，此時結構受重力二階效應的影響將變得尤為明顯，因此，折減系數R和彈塑性動力放大系數β都應考慮二階效應的影響.文獻［9］建議在設計中采用強度需求放大系數α=1/(1－μθ)，以考慮P－Δ效應的影響，并被1977年的墨西哥抗震規范采用;而我國的建筑工程抗震性態設計通則［10］給出的樓層剪力放大系數則為α= 1/(1－θ);二者存在巨大的差異.文獻［11－12］的研究也認為應該考慮P－Δ效應的影響.由于2個特征周期Tga(彈性動力放大系譜峰值對應周期)和TgR(R譜峰值對應周期)并不一致，本文基于EPP滯回模型，進一步研究2個周期標準化的R譜和β譜，同時考慮二階效應的影響.

1 分析方法

對單自由體系，由底部彎矩動力平衡得

式(1)等價為

式中:m為系統質量;x為系統相對位移;F(kt，x，˙x)為結構恢復力;c為系統阻尼;kt為切線剛度; K0為初始彈性剛度;ag為地震加速度;θ為二階效應系數，θ=P/hK0.

2 地震力折減系數

2.1 不考慮P－Δ效應的地震力折減系數

采用EPP滯回模型，各類場地條件下，ξ= 0.05時的R平均譜(即具有50%保證率的R譜)見圖1(a)、1(b).橫軸周期經過2個特征周期Tga與TgR的標準化后，很好地保留了R譜在Tga與TgR附近的峰值特性.而且，不同場地情況下的R譜形狀與數值都比較接近，主要是由于橫軸已經包含了與場地類別相關的特征周期.R變化規律也相仿:當T接近于0時，R都趨近于1;T＜Tga時，R基本隨T線性增加;Tga＜T＜TgR時，R大致先降后升;Tga＜T＜2TgR時，R逐漸下降;當T＞2TgR時，R趨近于μ，滿足等位移準則.

2.2 考慮P－Δ效應的地震力折減系數

二階效應系數θ=0.05時的地震力調整系數平均譜見圖1(c)、1(d)，考慮二階效應系數后，對比圖1(a)、1(b)可見:1)地震力調整系數下降.由于P－Δ效應，結構容易出現偏振現象，位移增大，意味著在相同調整系數情況下，延性需求增大，為了獲得與不考慮二階效應時相同的延性需求，必須減小調整系數，以減小位移;2)地震力調整系數依然在Tga與TgR處呈現峰值;3)整體的變化趨勢有略微的改變，隨周期延長和延性增大調整系數有增大現象.

3 動力失穩

圖1 周期標準化的R譜

考慮P－Δ效應后，當折減系數過大時，結構容易發生動力失穩，其本質在于位移過大，因此定義如下動力失穩參數:Δmax1為不考慮二階效應的彈塑性最大位移，μ1為延性開展系數;Δmax2為考慮二階效應時的彈塑性最大位移，μ2為延性開展系數.當Δmax2≤Δmax1/(1－μ1θ)=Δlim時，結構的振動反應是穩定的;當Δlim＜Δmax2≤2Δlim時，結構的振動反應是半穩定的;當Δmax2＞2Δlim時，結構容易發生動力失穩，是不穩定的.

4 動力放大系數

4.1 不考慮P－Δ效應時的動力放大系數譜

圖2為A類場地，θ=0、ξ=0.05時，不考慮P－Δ效應時的標準化的動力放大系數平均譜，可見，彈性狀態(μ=1)時在Tga與TgR附近，較好地保留了峰值特性，尤其是Tga處，峰值最為明顯，但隨著延性系數μ的增加，峰值越來越不明顯，也可以從這里解釋折減系數譜中峰值特性的來源:結構保持彈性狀態(μ=1)時，在2個特征周期處發生共振，反應劇烈，隨著延性增加，塑性耗能增大，共振反應趨于平緩，延性越大，耗能越大，動力放大系數譜越平緩，而折減系數 Rμ=Fe/Fu= βe/βμ，此時就可以保留彈性譜的峰值特性，延性越大，峰值特性越明顯.

圖2 周期標準化的β譜

4.2 考慮P－Δ效應時的動力放大系數譜

考慮P－Δ效應后的彈性動力放大系數平均譜見圖3(a)、3(b)，二階效應系數對其影響主要集中在T＜Tga時，二階效應系數越大，動力放大系數β越大;而當T＞Tga后，二階效應的影響開始變得不明顯，尤其是當T＞TgR時，幾乎沒有差異.但從圖3(c)、3(d)中可以發現，在延性系數μ=6時，無論是T＜Tga或是T＞Tga，動力反應平均譜受二階效應的影響都非常明顯，二階效應系數越大，動力放大系數β也越大，這是由于允許結構發生塑性變形后，其位移增大，那么二階效應的影響肯定增大.在彈性動力反應譜及μ=6的動力反應譜中，Tga附近的峰值特征都很明顯，只是延性增大后，TgR處的峰值特性逐漸消失.

圖3 不同二階效應系數時的β譜

4.3 動力放大系數擬合譜

由以上分析可知，不同二階效應系數及不同延性系數時的動力放大系數是不一樣的，兩者都對動力放大系數產生顯著影響，擬合關系為

1)平均譜參數的取值.T=Tga時，βTga=1 +2μθ);T = T時，β=gRTgR1+3(μ－1)θ］;κa在A、B、C、D類場地分別為0.62、0.62、0.59、0.59;κR在A、B、C、D類場地分別為 0.575、0.505、0.605、0.725;p= 0.12μ+0.67，q=0.28μ－0.97－1.6(μ－1)θ(A類場地);p=0.10μ+1.15，q=0.26μ－0.76－(μ－1)θ(B、C、D類場地);m=0.3(TgRT)/(TgR－Tga)+0.2－0.1μ.

2)90%保證率譜的取值.T=Tga時，βTga=(1 +2μθ);T = T時，β=gRTgR+3(μ－1)θ］;κa在A、B、C、D類場地分別為0.52、0.52、0.52、0.485;κR在A、B、C、D類場地分別為 1.07、0.80、0.98、1.03;p = 0.10μ+0.38，q=0.20μ－1.00－(μ－1)θ(A類場地);p=0.16μ+0.74，q=0.60μ－1.20－2(μ－1)θ(B、C、D類場地);m =0.3(TgRT)/(TgR－Tga)+0.2－0.1μ.

4.4 阻尼比對動力放大系數的影響

為了反映阻尼比對動力放大系數的影響，本文引入參數η=βξ≠0.05/β，因此獲得阻尼比ξ= 0.05的動力放大系數后，可以利用η對其調整來獲得不同阻尼比時的動力放大系數.圖4為不同場地類別、不同二階效應系數、不同阻尼比時的η值，從圖中可以得到:1)彈性狀態下的η較塑性時大，此時在Tga與TgR處也呈現峰值;2)彈性狀態時的η基本不受二階效應系數影響，而塑性時的η隨著二階效應系數增大而增大;3)場地類別對η影響不大.

圖4 不同條件的η譜

5 結論

1)對理想彈塑性(EPP)滯回模型的單自由度體系在4類場地，370條地震波下的地震響應進行分析，研究彈塑性地震力計算中所需的折減系數R和動力放大系數β，考慮了延性、阻尼比和二階效應的影響.結果表明:周期用Tga與TgR標準化的R譜能很好地保留Tga與TgR附近的峰值特征;P－Δ效應對R影響非常明顯，考慮P－Δ效應的R值要明顯小于不考慮P－Δ效應的R值，在抗震設計中不容忽視.

2)提出了判斷EPP彈塑性體系動力穩定、半穩定和動力不穩定的標準.用所建立彈塑性動力放大系數譜β譜來計算彈塑性地震力，要比采用R來對彈性地震力折減的結果更加理想.

3)給出了考慮二階效應的50%保證率和90%保證率β譜的擬合公式.從公式可以看出，P－Δ效應大致使地震力增大到1+2μθ倍，近似于1/(1－2μθ).

4)阻尼比對β的影響，與場地類別關系不大.對βe譜的影響與二階效應系數無關，隨阻尼比增大，βe值減小;對βμ的影響與延性無關，隨二階效應系數增大，影響增強.阻尼比對βe的影響要大于對βμ的影響，但隨著二階系數的增大，對兩者的影響趨近.

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