數學探究性學習方法初探

■吳方武

數學探究性學習方法初探

■吳方武

課堂教學是數學教學和學生學習活動的重要場地，讓探究性學習走進課堂，使之和數學教學融為一體，是開展探究性學習的重要途徑。在本文中，筆者將以自己在初中中新課程數學第一冊幾何部分的習題課“線段的條數與規律探究”的教學實況為例，就如何在課堂教學中開展探究性學習作初步探討。

一、創設情境，激發學生探究熱情

教學中，教師應努力創設具有啟發性的問題情境，以問題情境來激發學生的求知欲望，激發學生主動探究、尋求解決問題方法的學習熱情。

【問題】某公交公司業務員小王對該公司某條公交線路進行一次調查，其中有一個課題是這樣的：“已知從始發站到終點站，客車要依次停靠10個小站，請問客車從始發站開到終點站一路上乘客總共可有多少種不同的乘車路線?假如你是小王，你能解決這個問題嗎?”

問題一提出，教室里一片嘩然，學生你一言我一語紛紛討論起來，教師伺機點撥。

教師：如果我們把行車路線畫成線段，每個車站都看成線段上的點，那么問題的實質是什么呢?

由此引出課題：“線段的條數與規律探究”。于是，教室里氣氛更加活躍，學生們開始畫圖，互相討論，紛紛投入到探究活動之中。

二、適當引導，組織學生積極探究

在落實探究活動過程中，教師應及時轉變自身角色，努力發揮“輔”和“導”的功能，科學能動地組織學生進行實踐和探索。

【問題】如圖1和圖2，請問兩圖中各有幾條線段?

圖1

圖2

學生：圖1中有AC、CB、AB共3條線段，圖2中有AC、CD、DB、AD、BC、AB共6條線段。

教師：從以上情況來看，你們發觀線段向條數有什么規律嗎？

學生甲：我認為，(1)線段由兩個端點和它們之間的連線共同組成，所以只要確定端點的位置，就可以知道具體線毆的條數；(2)將線段的兩個端點字母交換得到的線段與原來的線段是同一條線段，故數線段必須避免重復。

教師：說得很對!請大家再思考一下，數線段的條數的條數中還蘊含了其它什么規律?

學生乙：圖1中有較短線段2條，較長線段1條，所以共有2+1=3條線段；圖2中有較短線段3條，較長線段2條，最長線段1條，所以共有3+2+1=6條線段。其中兩式中的最大數2和3都恰比線段總端點個數小1，并且線段總數是一個逐一相加到1的連續自然數的和。

學生丙：我發現，在圖1中以A為左端點的線段共有2條(AC，AB)；以C為左端點共有1條(CB)，這樣共有2+1：3條線段；在圖2中以A為左端點的線段共有3條(AC、AD、AB)，以C為左端點共有2條(CD、CB)，以D為左端點共有1條(DB)，這樣共有3+2+1=6條線段。

教師鼓掌：太好了!同學們綜合以上三位同學的探索過程，我們發現，當線段上端點比較多時，不妨取定左端點從左到右依次數，這樣做既方便又不會遺漏。

三、學以致用，引導學生體驗成功

經過以上探索，學生的學習積極性得到調動，每個人都希望能夠將所學知識立即應用于實踐。此時，教師自然應該趁熱打鐵，給學生以成功的體驗。

教師：剛才小王的問題還沒有解決呢?請問哪位同學能幫助他?許多學生都能按上面數線段的方法進行演算：

11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66

故總共有66種不同的乘車路線。

適當點評以后，教師進一步提出如下問題。

【問題】勞動課上，老師從全班50位同學中挑選2人去抬水。請問這次任務中總共可有多少種不同的抬水組合?

學生們馬上寫下了這樣一個式子：49+48+47+……+3+2+1由于式子比較長，同學們都在想，要是有一個簡潔的方法把各個連續自然數的和求出來那該有多好呀!

教師又問：同學們，你們能解決這個問題嗎?

“一石激起千層浪”，又一輪新的探究在教師短短一語的啟發之下全面展開。教室里，氣氛再度活躍起來，學生們個個神情專注，興奮而又努力地進行探索。

四、深入探究，引導學生尋找規律

連續自然數的求和公式推導是本節習題課教學中的難點，教學中，教師可作如下啟發。

教師：有些同學已經想到了如下簡便的計算方法：

49+48+47+……+3+2+1

=(49+1)+(48+2)+(47+3)+……+ (26+24)+25

=24×50+25

=1225

這條思路很好，它告訴了我們一條很重要的信息，那就是盡可能多的把一些數字湊成同一個數，然后借助乘法算出來。按照這條思路，請同學們仔細探討一下上式還更加簡便的計算方法嗎?

學生：把1到49共49個數全部都湊成50。相加后得2450，再除以2即得1225。

教師引導學生列算式寫下來：

49+48+47+……+3+2+1

=1／2[(1+2+……+48+49)+(49+48+……+3+2+1)]

=1／2[(1+49)+(2+48)+……+(49+1)]

=1／2(50+50+……+50)

=1／2×49×50

=1225

教師再進一步提問：

【問題】若把49換成n-1，則

(n-1)+(n-2)+……+3+2+1，

學生能按照上述思路進行計算：

(n-1)+(n-2)+……+3+2+1

如何計算呢?

1/2[(1+2十3+……+(n-2)+(n-1)+ (n-2)+……+3+2+1]

1/2{[1+(n-1)]+[2+(n-2)]+……+[ (n-2)+2]+[(n-1)+1]

=1/2（n+n+n+……+n）

=n（n-1）/2

教師：很好！這就是說，若線段上共有n個端點，則不同的線段條數的計算公式為：

(n-1)+(n-2)+……+3+2+1=n(n-1)/2

有了這個公式，我們便可以快速計算出n個連續自然數的和。

五、自我評價，鼓勵學生嘗試創新

學習過程是一個不斷梳理知識、內化知識，進而形成個性化知識結構的過程。新課結束后，應讓學生自己總結、思考和研究再作鞏固練習。

(1)從同一點0出發的n條射線(最大夾角小于平角)，一共可以組成多少個角?

(2)在1，2，3…，n這n個不同的數中任選兩個求和，則不同的結果有多少種?

(答案為n(n-1)/2)

透過以上教學案例，可以發現，與傳統的教學方式相比較，探究式課堂教學更具科學性，更能夠為廣大學生所接受。它激發了學生的潛能，使學生從被動接受知識到主動探求知識，讓學生學會在復雜的環境中運用探究科學的態度去認識、發現、創造，以適應未來終身學習的需要，實現學習的可持續發展。本教學案例的設計力圖實現以下三個方面的轉變。

(1)教的轉變。教學中，教師應從知識的傳授者轉變為學生學習的組織者、引導者、合作者與共同者，變“滿堂灌”為“啟發式”，變教師“主宰”為教師“主導”，最大限度地激發學生研究問題的興趣。

(2)學的轉變。在課堂里，學生應從配角轉變成主角，使接受知識的過程從被動轉變成主動，從一味地模仿轉變成自覺的探索。

(3)教學目標的轉變。教學目標在本案例教學過程中從落實雙基、培養思維能力轉變為情感、意志、能力等全方位的培養提升，重在探究，貴在引導。在教學中，只要教師能堅持以學生為主體，精心設計，巧妙引導，探究性學習就會在學生頭腦中扎根，課堂教學就會變得生動活潑，富有情趣。

（作者單位：武漢市蔡甸區蓮花湖中學）

責任編輯 王愛民