命題與定理

■周家勝

命題與定理

■周家勝

所謂命題，就是判斷的語句形式。

由于人們的認識常受到各種條件的限制，難免發生錯誤，因而作出的判斷有符合客觀事實的，也有不符合客觀事實的。這樣，命題也就有真有假之分。這就是說，命題并不一定都具有真理性，它可以是錯誤的判斷。比如“連續函數必可導”這個判斷是錯誤的，但仍然可以作為一個命題看待，只不過是一個假命題罷了。因而命題最基本的特點就是可以談論它的正確與否。一個命題是正確的，我們就說它是真命題；要是不正確，我們就說它是假命題。不管是真命題還是假命題，都是命題。像“三輛卡車”、“在公園里散步”這一類話，不好說它正確不正確，就不是命題了。

在教學中，常在一些判斷語句之前冠以“定義”、“公理”、“定理”的字樣，它們都是一些特殊的命題。定義是揭示概念本質屬性的命題。公理是經過無數次實踐檢驗確認為真理而不需證明的命題。定理是經過邏輯推理證明后能確認為真理的命題。

在數學書籍或文章中，是否標明“定義”、“公理”、“定理”的字樣，只是形式而不是本質問題。

同一個內容的命題，在有些書籍或文章中標為定理，在另一些書籍或文章中則標為命題，這并無原則的區別，只是作者在其理論體系上的安排不同，因而這個命題在其理論體系上的作用或重要性稍有不同而已。有時作者為了證明某一個重要定理，需要引用某個或某些過渡性的命題作依據，以簡化證明過程，就把這個或這些命題標為“引理”。引理可看作是此時此地必須用到而別處則不常用到的定理。當然這只是“可看作”而已，并非一定的規矩。

在一個理論體系中，凡作為“定義”、“公理”、“定理”的命題必須是真命題，就是說其內容必須是客觀真理；否則，這個理論體系的科學性就無法保證。如此說來，我們的學生常有這樣的說法：“這個定理不成立”、“這個定理的逆定理不成立”，都是不恰當的，至少是有語病的。既然是定理，其內容必為客觀真理，怎么又不成立呢？這不是自相矛盾嗎？由于命題可真可假，如果將這些說法改為“這個命題不成立”，“這個定理的逆命題不成立”，或者改為“這個命題不真”，“這個定理的逆命題失真”，就恰當了。總之，我們不能把命題和定理混為一談。

武漢市交委教育培訓中心）

責任編輯 姚遠