淺談音樂與數學的關系

一、初識音樂中蘊涵的數學原理

在公元前六世紀，古希臘著名的哲學家、數學家畢達哥拉斯用比率將數學與音樂聯系起來，他認識到所撥琴弦產生的聲音與琴弦的長度有關，發現了和聲與整數之間的關系。于是，畢達哥拉斯音階(the pythagorean Scale)和調音理論誕生了。

二、音樂擁有了矯健的數學翅膀

1. 鋼琴的鍵盤與斐波那契數列

在鋼琴的鍵盤上，從一個C鍵到下一個C鍵就是音環中的一個八度音程，其中共包括13個鍵，有8個白鍵和5個黑鍵，而5個黑鍵分成2組，一組有2個黑鍵，一組有3個黑鍵。2、3、5、8、13恰好是斐波那契數列中的前幾個數。

2.音階與等比數列

在鋼琴的鍵盤上，1、2、3、4、5、6、7、i等音階就是利用等比數列規定的，顯然這個八度音程被黑鍵和白鍵分成了12個半音，并且我們知道下一個C鍵發出樂音的振動次數(即頻率)是第一個C鍵振動次數的2倍。

3.函數圖形中的平移與音樂中的反復

作曲者創作音樂的目的在于淋漓盡致地抒發自己內心的情感，可是內心情感的抒發是通過整個樂曲來表達，并在主題處得到升華的，音樂的主題正是以某種形式的反復出現的。

4.樂聲與正弦函數

19世紀的法國數學家約瑟夫·傅里葉(Joseph Fourier)，他證明了所有的樂聲，不管是器樂還是聲樂，都可以用數學式(周期正弦函數的和)來表達和描述。每一個聲音有三個性質，即音高、音量和音質，可以在圖形上清楚表示出來。音高與曲線的頻率有關，音量和音質分別與周期函數的振幅和形狀有關。

三、數學催生了音樂臺階式發展

世上眾多的樂曲、樂器、樂聲的合成與分離，計算機音樂創作的軟件，無一不是音樂與數學的結合，就連當今時常出現的假唱現象也離不開音樂與數學的融合。

1.蟋蟀夜鳴中的一次函數

每到夏去秋涼的時候，當白晝的太陽藏到了西山后，星星在高遠的天穹調皮地眨眼睛，廣闊的田野上，蟋蟀就正婉轉地演奏著秋日夜曲。殊不知蟋蟀鳴叫的頻率與氣溫有著很大的關系，可用一個一次函數來表示：c=4t-160。其中c代表蟋蟀每分鐘叫的次數， t代表溫度。按照這一公式，我們只要知道當時蟋蟀每分鐘叫的次數，不用溫度計就可以知道天氣的溫度是多少了!

2.三角函數中的樂曲

面對一段三角函數圖像，我們只要對它進行適當的分段，形成適當的小節，并在曲線上選取適當的點作為音符的位置所在，就可以作出一節節的樂曲。

3.商務曲線中的樂曲

20世紀20年代的哥倫比亞大學的數學和音樂教授約瑟大·希林格，把《紐約時報》的一條起伏不定的商務曲線描述在坐標紙上，再把該曲線的各個基本段按照適當的、和諧的比例和間隔轉變為樂曲，最后在樂器上進行演奏，結果發現這竟然是一首曲調優美、堪比巴赫作品的樂曲!他甚至認為，根據一套準則，所有的音樂杰作都可以轉變為數學公式。

4.數學作曲系統的誕生

約瑟夫·希林格的學生喬治·格什溫(George Gershwin)更是推陳出新，創建了一套用數學作曲的系統，據說著名歌劇《波古與貝絲》(Porgy and Bess)就是他使用這套系統創作的。

5.樂器的形構與指數函數

大型鋼琴為何制作成那種形狀?許多樂器的形狀和結構與指數函數y=kx有關。指數曲線由具有y＝kx形式的方程描述，式中k﹥0。一個例子是y=2x。不管是弦樂器還是由空氣柱發聲的管樂器，它們的結構都反映出一條指數曲線的形狀。

在信息技術飛速發展的今天，音樂和數學的聯系非常密切，在音樂理論、音樂作曲、音樂合成、電子音樂制作等方面都需要數學。有一些數學素養很好的音樂家為音樂的發展作出了重要的貢獻。這是不是很有趣，那些有志于音樂事業的同學們是不是應該重視并學好數學。(作者單位：山東省淄博市沂源縣第二中學〓山東省淄博市沂源縣南麻中心小學）

□責任編輯：周瑜芽