關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決的研究

《關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決思維結(jié)構(gòu)的探析》(孫淑娥、羅增儒，載《陜西師范大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)報(bào)》，2000年3月)

所謂思維模式或思維模式結(jié)構(gòu)是內(nèi)化于人腦中具有特定知識內(nèi)容的“思維框架”，它既是實(shí)踐形式結(jié)構(gòu)的內(nèi)化，又是對客體結(jié)構(gòu)的映射，而思維方式是數(shù)學(xué)知識與主體認(rèn)知長期相互作用的結(jié)果。因此，思維模式不同于思維方式，但二者又有相似之處。思維方式是一種比較明顯的、動態(tài)的表層結(jié)構(gòu)，思維模式則是比較隱蔽的、靜態(tài)的深層結(jié)構(gòu)。思維模式對某一具體問題而言不是絕對的，它依賴于主體建立的問題空間，而問題空間卻依賴于主體的思維方式，思維方式依托著主體的思維結(jié)構(gòu)。這說明了數(shù)學(xué)思維基本成分的作用才是構(gòu)成思維結(jié)構(gòu)動態(tài)系統(tǒng)的源泉。因此，思維基本成分整合的結(jié)果便產(chǎn)生了思維模式。

從個體認(rèn)知過程看。隨個體認(rèn)知結(jié)構(gòu)與問題結(jié)構(gòu)的反復(fù)不斷作用。使認(rèn)識得到深化的同時，數(shù)學(xué)思維成分在不斷完善和思維過程不斷深化中則能使認(rèn)知策略從較大范圍內(nèi)得到改善，從而使認(rèn)知水平得到提高。認(rèn)知策略與思維策略在一定范圍內(nèi)可以互相借用。本文中的思維策略也可說成是解題策略，而數(shù)學(xué)問題解決思維策略是數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化為解題操作的橋梁，它又是關(guān)于問題的一些基本考慮和總體把握。所以，處于比較高層次的解題策略是在比較高的思維水平或認(rèn)知水平上形成的，是對思維模式的綜合。也是對問題空間的搜索和本質(zhì)的概括，更是對問題結(jié)構(gòu)的總體把握。作者的統(tǒng)計(jì)調(diào)查分析表明了數(shù)學(xué)思維基本成分在思維策略構(gòu)建中與認(rèn)知結(jié)構(gòu)、問題表征和總體水平之間有著很強(qiáng)的相關(guān)性。

《數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)教學(xué)與問題解決》(黃光榮，載《大學(xué)數(shù)學(xué)》，2004年4月)

問題解決是以適應(yīng)客觀世界運(yùn)動變化之需要為目的的辨證的動態(tài)思維過程。把問題解決作為過程，有助于我們檢驗(yàn)對解決問題的方法和技巧的運(yùn)用和問題彼此間的相互聯(lián)系和辨證關(guān)系的認(rèn)識。有助于我們從系統(tǒng)整體的高度去發(fā)現(xiàn)，去設(shè)計(jì)，去創(chuàng)造，去完成。

正因?yàn)閱栴}解決是數(shù)學(xué)思維的過程和目的，它同樣也是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的基本方法之一。美國數(shù)學(xué)咨詢委員會(NACOME)認(rèn)為：問題解決是一種數(shù)學(xué)基本技能，并把問題解決能力列為十項(xiàng)基本技能之首，對如何評價和定義問題解決能力進(jìn)行了許多探索和研究。充分認(rèn)識和強(qiáng)調(diào)問題解決能力的重要性。當(dāng)問題解決被理解為數(shù)學(xué)思維的基本方法時，它遠(yuǎn)非一個單一的技巧，而是若干個技巧的有機(jī)組合，人們必須考慮問題的具體內(nèi)容，問題的形式以及構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)求解模型的方法等等。其焦點(diǎn)在于必須認(rèn)識問題解決的必要性、可行性和選擇問題及所應(yīng)用的技巧時的困難。

當(dāng)知識的傳授是通過問題解決方法來實(shí)現(xiàn)時，它就是關(guān)于知識應(yīng)用的知識，是解決實(shí)際問題的知識，運(yùn)用它可以達(dá)到推出新知識、廣泛遷移知識和靈活運(yùn)用知識的目的。在教學(xué)中，我們應(yīng)設(shè)法將靜止的知識講解為關(guān)于解決問題的活的知識。

當(dāng)知識的傳授是通過問題方法來實(shí)現(xiàn)時，能體現(xiàn)知識的實(shí)際意義。因?yàn)榘凑站S特根斯坦和杜威等人對知識涵義的理解，知識的意義是存在于對知識的用法之中的，知識是為解決問題服務(wù)的，知識的應(yīng)用無法通過抽象的規(guī)則、形式化體系和公理化方法來學(xué)會，必須通過一個一個實(shí)際問題或案例的解決過程及反思活動而逐漸掌握。應(yīng)用知識解決問題的能力，正是在問題解決過程中不斷形成和發(fā)展起來的。

《數(shù)學(xué)問題解決過程的教學(xué)策略》(沈丹丹，載《浙江師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》，2001年8月)

數(shù)學(xué)中的“問題解決”應(yīng)包括提出合適的問題和對問題進(jìn)行恰當(dāng)表達(dá)的智慧，從“雜亂無章”中理出頭緒的邏輯思維和富有想象力的直覺思維，對問題進(jìn)行反思和拓展的自我意識等。為此，數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要重視過程，即幫助學(xué)生了解可能遇到的障礙和掌握逾越的方法。而且要重視初始狀態(tài)的描述、數(shù)學(xué)模型的建立及目標(biāo)狀態(tài)的延拓上，即要把數(shù)學(xué)“問題解決”的整個過程展示給學(xué)生。

法國學(xué)者龐加萊強(qiáng)調(diào)了直覺與邏輯的對立性。他指出“邏輯不是充分的，證明的科學(xué)并非全部科學(xué)，直覺作為補(bǔ)充物必然保持它的作用”。按照龐加萊的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)直覺是對于抽象的數(shù)學(xué)對象的一種“非同尋常的洞察力”，它需要我們把想象和合理的思考結(jié)合起來。教學(xué)中通過對比兩組圖形的異同。通過預(yù)測復(fù)雜問題的結(jié)果以及對可能發(fā)生情形的猜想并反思自己的思維過程等方法可發(fā)展學(xué)生的直覺思維。

有時，“問題解決”的過程并非是常規(guī)或自動化的，而是需要不斷進(jìn)行自我反思，并隨時加以必要調(diào)整的動態(tài)過程。為此，需要寬領(lǐng)域地?cái)z取信息，并學(xué)會接受和處理不確定性信息。“數(shù)學(xué)地反思”是指在解決數(shù)學(xué)問題中的自我意識、自我評估和自我調(diào)整，亦即對自己所從事的“問題解決”的過程有清醒的自我意識。

《元認(rèn)知開發(fā)與數(shù)學(xué)問題解決》(李玉琪，載《教育研究》，1996年第1期)

元認(rèn)知理論表明，認(rèn)知策略是揭示解題變量與解題方法之間的關(guān)系的過程。在元認(rèn)知的作用下，利用內(nèi)化了的策略性知識的啟發(fā)作用。能夠保持或修改思考路線。調(diào)控解題方法。

元認(rèn)知體驗(yàn)通過修正目標(biāo)。改組元認(rèn)知知識和激活策略的方式，能很好地實(shí)現(xiàn)主體對問題解決創(chuàng)造心理活動的調(diào)節(jié)作用。元認(rèn)知體驗(yàn)還包括著道德感、理智感、美感等高級情操，它們在數(shù)學(xué)問題解決中也都起著重要的作用。

監(jiān)控作用是通過元認(rèn)知知識和元認(rèn)知體驗(yàn)的交互作用來實(shí)現(xiàn)的。在問題解決的整個過程中，解題者的“顯性”思維(抽象思維、邏輯思維)與“隱性”思維(形象思維、直覺思維、美感)的交織使用，都是圍繞著目標(biāo)來進(jìn)行的。記憶的探索及假設(shè)的提出也都是圍繞著目標(biāo)而展開的，因此，數(shù)學(xué)問題解決的心理活動總是由意識控制著。被目標(biāo)支配著，受實(shí)踐的目的性制導(dǎo)著的。

心理學(xué)研究表明，思維品質(zhì)與元認(rèn)知實(shí)質(zhì)上是同一事物的兩個方面：思維品質(zhì)是思維整體結(jié)構(gòu)功能的外在組織形式，代表的是表層結(jié)構(gòu)：而元認(rèn)知則是思維整體結(jié)構(gòu)功能的內(nèi)在組織形式，代表的是深層結(jié)構(gòu)。雖然，思維品質(zhì)是衡量人們智力、思維能力高低的主要指標(biāo)，但是，差異的原因應(yīng)從思維的深層結(jié)構(gòu)里去分析，外在思維品質(zhì)的差異根源在于思維整體結(jié)構(gòu)的內(nèi)在運(yùn)行機(jī)制的差異。因此，元認(rèn)知與思維品質(zhì)存在因果關(guān)系，元認(rèn)知的培養(yǎng)訓(xùn)練促進(jìn)了思維品質(zhì)的發(fā)展，是改善思維、智力水平的關(guān)鍵和突破口。人們在認(rèn)知活動中，根據(jù)活動的目的和要求，自覺地采取相應(yīng)的策略，并根據(jù)活動反饋信息，及時地調(diào)整策略，從而導(dǎo)致問題得到最快、最佳的解決。

《關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決策略的幾點(diǎn)思考》(潘小明，載《菏澤師專學(xué)報(bào)》，2002年11月)

問題解決的課程目標(biāo)應(yīng)建立在學(xué)生“學(xué)會知識”和“學(xué)會思維”有機(jī)辯證統(tǒng)一的基礎(chǔ)上，為了能達(dá)到這個目標(biāo)，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)努力為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境，通過不斷提示數(shù)學(xué)美的特征，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)問題及解的興趣，激活學(xué)生問題探索的內(nèi)驅(qū)力，啟發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷提出問題。培養(yǎng)學(xué)生反向思維的意識及習(xí)慣，使學(xué)生認(rèn)識到解決問題的途徑不是單一的，而是開放式的，即問題的答案可能是多樣的，甚至是無數(shù)的。但由于數(shù)學(xué)問題解決對象的抽象性，數(shù)學(xué)問題解決活動過程的探索性、嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)評議的特殊性，決定了正處于思維發(fā)展階段的中學(xué)生不可能一次性地直接把握問題活動的本質(zhì)，教師必須采取一系列有效的反思指導(dǎo)策略才能幫助認(rèn)知主體逐步形成反思意識和反思習(xí)慣，從而不斷洞察數(shù)學(xué)問題解決活動的本質(zhì)特征。

為此。教師應(yīng)通過多方面的工作把對學(xué)生的反思指導(dǎo)落到實(shí)處，比如，從學(xué)生問題解決經(jīng)驗(yàn)有效建構(gòu)的內(nèi)在條件角度來分析，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生反思自己以何種方式解決了何種問題。就具體的策略而言，筆者認(rèn)為應(yīng)通過滲透、總結(jié)、遷移等方法指導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化并靈活運(yùn)用如下12種具體的問題解決方法：(1)畫圖，引入符號，列表分析數(shù)據(jù)；(2)分類，分析特殊情況、一般化；(3)轉(zhuǎn)化；(4)類比，聯(lián)想；(5)建模；(6)討論，分頭工作；(7)證明，舉反例；(8)簡化以尋找規(guī)律(結(jié)論和方法)；(9)估計(jì)和猜測；(10)尋找不同的解法；(11)檢驗(yàn)；(12)推廣。數(shù)學(xué)問題解決中的反思指導(dǎo)應(yīng)超越波利亞的啟發(fā)法，不能停留于對個體反思性思維的啟發(fā)，而應(yīng)對群體(學(xué)習(xí)共同體)的反思性思維啟發(fā)作出積極的探索。事實(shí)上我們應(yīng)當(dāng)看到，具有不同社會文化背景學(xué)生個體的反思性數(shù)學(xué)思維在一定條件下可與數(shù)學(xué)問題解決環(huán)境中具體事物發(fā)生作用，所謂的反思指導(dǎo)不能完全歸結(jié)為學(xué)生內(nèi)在的信息加工過程，而是既要重視“調(diào)節(jié)”、“觀念”在數(shù)學(xué)問題解決中的作用，又要重視“環(huán)境認(rèn)知”、“分配認(rèn)知”在數(shù)學(xué)問題解決中的作用。