通向“兒童數(shù)學(xué)\"的途中

[摘要]“兒童數(shù)學(xué)”的現(xiàn)象學(xué)意蘊是以現(xiàn)象學(xué)的態(tài)度——“回到事物本身”來研究數(shù)學(xué)，追求“數(shù)學(xué)思想”的敞亮和兒童“數(shù)學(xué)之思”的顯發(fā)與弘揚。實踐中，通過兒童“生命·實踐”的數(shù)學(xué)化活動——兒童的生命實踐活動體驗、生命實踐活動建構(gòu)、生命實踐活動創(chuàng)造、生命實踐活動表達，達成“兒童數(shù)學(xué)”的現(xiàn)象學(xué)旨趣——“面向思的事情”。由此，現(xiàn)象學(xué)所帶給“兒童數(shù)學(xué)”的絕不僅僅是某種特定的教育實踐與研究方法，而是一種“兒童數(shù)學(xué)”的現(xiàn)象學(xué)精神——回歸兒童“生命·實踐”的路徑。

[關(guān)鍵詞]兒童數(shù)學(xué) 現(xiàn)象學(xué) 生命·實踐

基于現(xiàn)象學(xué)視野，兒童數(shù)學(xué)的核心信念是相遇哲學(xué)。相遇信念時刻提醒數(shù)學(xué)教師：兒童數(shù)學(xué)教學(xué)即是兒童、數(shù)學(xué)、教師之間的真實相遇，課堂即是他們相遇的場域。數(shù)學(xué)教學(xué)就是“兒童帶著數(shù)學(xué)走向教師”的過程。如果兒童、數(shù)學(xué)、教師只是共同在場而沒有相遇，本真意義上的兒童數(shù)學(xué)教學(xué)就沒有發(fā)生。換言之，兒童數(shù)學(xué)誕生于兒童、數(shù)學(xué)、教師間的真實相遇!

一、回到事物本身：“兒童數(shù)學(xué)”的現(xiàn)象學(xué)態(tài)度

1.兒童：一種新的可能性。

馬克斯·范梅南說：“何謂兒童?看待兒童其實是看待可能性，看待一個正在成長中的人。”教學(xué)中，經(jīng)過時間的累積，教師逐漸積淀了對孩子的某種“看法”——好學(xué)生、差生等，教師總是沿著那種特定的“看法”去看學(xué)生。

與兒童相遇首先意味著數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)象學(xué)態(tài)度：懸置。教師應(yīng)該而且必須回到每一次與孩子相遇的實事本身，而且，每一次相遇都要求教師從“陌生人”的視角來關(guān)照：將班上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“弱勢群體”看作新面孔，以探究、驚奇的眼光來對待。作為“陌生人”的教師，最能給每一個孩子以公平的機會，這是兒童數(shù)學(xué)教學(xué)公平的內(nèi)在訴求。

其次。兒童的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)不僅包括已有的“結(jié)構(gòu)性”知識，更重要的是包括大量的“非結(jié)構(gòu)性”經(jīng)驗背景，兒童數(shù)學(xué)是兒童“街頭數(shù)學(xué)”的繼續(xù)和延伸。兒童獨特的先天生理遺傳和不同的生活閱歷，尤其是在日常生活、游戲等活動中所積淀下的前數(shù)學(xué)“民俗經(jīng)驗”，使得每個兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)背景都是如此地豐富而獨特。兒童獨特的數(shù)學(xué)“前理解”主張：教師要直面兒童的數(shù)學(xué)經(jīng)驗方式、思維方式、認知傾向等等，要細膩地、科學(xué)地去剖析、研究兒童到底是怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的。

再次，由于數(shù)學(xué)教學(xué)活動建立在兒童的認知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，因此。教師要對每一個兒童的知識起點、能力起點、態(tài)度起點、年齡特征等做出準(zhǔn)確的解讀，以便為實現(xiàn)兒童的各種可能性敞開道路。

2.數(shù)學(xué)：一門動態(tài)成長的科學(xué)。

秉持數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)象學(xué)態(tài)度還必須追問數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)：數(shù)學(xué)是什么?“問題不在于教學(xué)的最好方式是什么。而在于數(shù)學(xué)到底是什么……如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便永遠解決不了教學(xué)上的爭議。”數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)、知識性質(zhì)規(guī)定著數(shù)學(xué)的教與學(xué)的方式。

按照英國數(shù)學(xué)家歐尼斯特的觀點，教師所具有的數(shù)學(xué)觀大致存在3種類型：工具主義數(shù)學(xué)觀(即把數(shù)學(xué)看作適用于不同場合的事實性結(jié)論、法則和技巧的匯集而構(gòu)成的一套工具)、靜態(tài)的絕對主義數(shù)學(xué)觀(即把數(shù)學(xué)看作一個靜態(tài)的、無可懷疑的真理的集合)和動態(tài)的可誤主義數(shù)學(xué)觀(即把數(shù)學(xué)看作是一個動態(tài)的、由問題推動而發(fā)展的學(xué)科)。盡管教師對自我的數(shù)學(xué)觀未必有清醒的意識。但數(shù)學(xué)觀作為一種“隱蔽觀念”卻時刻用“看不見的手”牽引著教師的數(shù)學(xué)教學(xué)。如果一位教師秉持工具主義或絕對主義的數(shù)學(xué)觀，那他(她)就會有意無意地把兒童的頭腦作為貯存知識的倉庫，不斷地往兒童的頭腦里增加定理的數(shù)目。讓兒童無條件地接受“數(shù)學(xué)真理”。而如果一位教師秉持可誤主義數(shù)學(xué)觀，承認數(shù)學(xué)知識的不確定性，那么，他(她)就會引領(lǐng)兒童去探究數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，讓兒童經(jīng)歷公理化、形式化、數(shù)學(xué)化的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)就會因此而展現(xiàn)智慧的光彩，兒童就能體驗到理智成長的愉悅。

3.活動：兒童智慧的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。

“活動是智慧的根源”(皮亞杰語)，也是兒童的經(jīng)驗建構(gòu)方式。“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)”(斯托利亞爾語)，是兒童根據(jù)自己的體驗，用自己的思維方式去“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué)知識的活動。數(shù)學(xué)活動不僅僅指外顯的“形動”(肢體活動)，更重要的是內(nèi)隱的“心動”、“思動”，誠如著名數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾所指出的，“數(shù)學(xué)知識的獲得，主要不是靠實物實驗，而是通過思想上的實驗，進行緊張的思維活動。”研究表明，兒童數(shù)學(xué)心智的發(fā)展正是兒童在主客體的交互作用中實現(xiàn)的。而活動正是主體身心參與的、主客體交互作用的過程，“是兒童與客觀世界(自然、社會、伙伴)的全面、廣泛、豐富的締結(jié)”(馬克思語)。數(shù)學(xué)活動的內(nèi)涵有三：其一，數(shù)學(xué)活動應(yīng)該是“數(shù)學(xué)的”，即活動要蘊含數(shù)學(xué)本質(zhì)，應(yīng)該與數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系、統(tǒng)計關(guān)系緊密相連：其二。“數(shù)學(xué)活動”應(yīng)該是“活動的”，這種活動不僅包括對數(shù)學(xué)材料的具體操作和形象探究，更重要的是讓兒童經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”。即數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實材料的過程；其三，“數(shù)學(xué)活動”應(yīng)該是“自主的”，教師應(yīng)該給兒童預(yù)留充分的探究時空。充分激發(fā)兒童的數(shù)學(xué)潛能。

二、回歸“生命·實踐”：“兒童數(shù)學(xué)”的現(xiàn)象學(xué)路徑

敞亮“兒童”與“數(shù)學(xué)”的現(xiàn)象學(xué)路徑是從教育的原點去思考的。數(shù)學(xué)教育。無論它處于什么層次。都應(yīng)致力于通過兒童的“生命·實踐”活動去豐盈兒童的精神生命與生活，這是“兒童數(shù)學(xué)”的應(yīng)有之義。“兒童數(shù)學(xué)”就是要實現(xiàn)書本知識與兒童的經(jīng)驗世界與生活世界的溝通，實現(xiàn)書本知識與數(shù)學(xué)整體的內(nèi)在知識結(jié)構(gòu)的溝通，實現(xiàn)書本知識與兒童發(fā)現(xiàn)問題、解決問題過程的溝通，由此豐富和拓展數(shù)學(xué)學(xué)科的育人資源。回歸兒童的“生命·實踐”是“兒童數(shù)學(xué)”的應(yīng)然選擇。

1.返回“生活世界”，豐盈兒童的生命實踐活動體驗。

“生活世界”是“數(shù)學(xué)世界”的根基，是數(shù)學(xué)的意義之源，也是兒童的經(jīng)驗之源。數(shù)學(xué)中的許多概念、原理都可以在“生活世界”中找到原型。返回“生活世界”，可以讓兒童獲得多重表征：操作性表征(兒童在做數(shù)學(xué)中的直接體驗)、映象性表征(兒童生活或活動中的視覺映象或其他映象)、符號性表征(兒童生活經(jīng)驗的抽象與概括)，這些表征能讓兒童獲得豐富的體驗，即完整的數(shù)學(xué)意義建構(gòu)。

例如，教學(xué)“角的認識”(蘇教版《數(shù)學(xué)》二年級下冊)時，我先讓學(xué)生到生活中去找尋“角”。第二天課堂上的匯報交流讓我既喜又驚。但學(xué)生對角的認識只是停留在具體物體上，如何將“生活角”提升為“數(shù)學(xué)角”呢?我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對“角”的認識有兩種情形：一種是認為角就是一個“點”，另一種是認為角是物體拐角的“一部分”。接著，我讓大家用最簡潔的方式將剛才指的“角”畫下來，結(jié)果沒有一位學(xué)生是只畫“點”的。學(xué)生知道，“角是需要一個點的，除了這個點還要有支撐這個點的東西。”

生1：只點一個點就叫角，那任何物體身上都有角，包括皮球上。

生2：角需要一個點，沒有這個點就不是角了……

于是我請學(xué)生思考：支撐這個點還要畫上什么?

根據(jù)他們的回答，我先是畫上黑板的面、桌子的面、門的面，逐步過渡到這些物體面的一部分。我把原先畫好的一個個面擦去兩條線，再請他們觀察，你看到的這個“角”由哪幾部分組成?至此，學(xué)生逐漸領(lǐng)悟到“角”的數(shù)學(xué)模型：角是從一點引出兩條射線組成的圖形。接著我又出示一個平角，它也符合角由一個頂點、兩條邊組成，但它的頂點不是尖的，沒有刺人的感覺。由此，學(xué)生彌補了經(jīng)驗中對角的不完全認識，科學(xué)完整地理解了“角”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。

生活的邊界就是學(xué)生的數(shù)學(xué)邊界。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有體驗開始，從直觀的和容易引起想象的問題出發(fā)，通過“數(shù)學(xué)化”。逐步地將“生活數(shù)學(xué)”提升為“科學(xué)數(shù)學(xué)”。進而實現(xiàn)對兒童生活經(jīng)驗的發(fā)展、改造，讓學(xué)生在經(jīng)歷中感悟，在體驗中成長。

2.探尋數(shù)學(xué)知識的本原，引領(lǐng)兒童的生命實踐活動建構(gòu)。

探尋數(shù)學(xué)知識的“本原”意味著：對兒童而言，要考慮什么是某個數(shù)學(xué)問題最為根本的、本質(zhì)的、基本的認知要素或構(gòu)成。其來源有二：一是教師在備課過程中精心設(shè)計的反映學(xué)科本性的問題：二是在課堂教學(xué)活動中由學(xué)生所提出的涉及數(shù)學(xué)內(nèi)容實質(zhì)的問題。前者要求教師把學(xué)科本質(zhì)問題“教學(xué)法化”：后者則意味著教師要善于在充滿不確定性的課堂中，從數(shù)學(xué)知識的生發(fā)處、生長處、生成處，捕捉到學(xué)生的某個樸素的數(shù)學(xué)想法并加以發(fā)展。數(shù)學(xué)教學(xué)中的本原問題不一定是推動數(shù)學(xué)史發(fā)展的“原初問題”，也不一定是數(shù)學(xué)家們邏輯建構(gòu)起來的“數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)現(xiàn)問題”，而是兒童在數(shù)學(xué)原創(chuàng)性生學(xué)習(xí)中自然誕生的問題。

例如，教學(xué)“平行四邊形面積”(蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級上冊)，多數(shù)老師從平行四邊形與長方形的關(guān)系人手，通過割補平移將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形。推導(dǎo)出平行四邊形面積公式，然后就是讓學(xué)生進行運用。這種形式化的邏輯演繹造成學(xué)生因為缺少面積度量的意義支撐而“知其然卻不知其所以然”。學(xué)生不知道平行四邊形的面積推導(dǎo)為什么一定要通過割補平移轉(zhuǎn)化成長方形。為此。筆者在教學(xué)中刻意弱化平行四邊形與長方形在對應(yīng)邊關(guān)系上的直接比較，而側(cè)重于從突出面積度量意義的視角引導(dǎo)學(xué)生自覺產(chǎn)生轉(zhuǎn)化的動機，獲取圖形轉(zhuǎn)化的直接經(jīng)驗和對平行四邊形面積計算本原意義的理解。讓學(xué)生明白：因為平行四邊形不可以直接用單位面積的小正方形去度量，所以只能轉(zhuǎn)化成長方形，而且轉(zhuǎn)化的前提是面積大小不能變化，與線段長度的變化無直接聯(lián)系。引導(dǎo)學(xué)生通過擺一擺單位面積、說一說算法、找一找底和高的度量意義等學(xué)習(xí)過程，從本原意義上來體驗這種轉(zhuǎn)化。在隨后的練習(xí)中，筆者也并不強調(diào)公式的提煉運用，而是讓學(xué)生基于各自的理解程度來表述面積計算的思考過程，能概括的用抽象的算法公式，不能概括的則用頭腦中的操作過程來描述。這樣讓面積公式在學(xué)生豐富的數(shù)學(xué)操作體驗中逐步運用并明晰，由此而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和數(shù)學(xué)抽象能力。

3.還原數(shù)學(xué)知識的“過程形態(tài)”，誘發(fā)兒童的生命實踐活動創(chuàng)造。

數(shù)學(xué)“客觀知識”是人類生命實踐活動的智慧結(jié)晶，是前人通過辨析比較大量材料、提煉抽取本質(zhì)屬性、歸納概括命名的活動過程而形成的。經(jīng)過簡約化提煉和符號化表達，數(shù)學(xué)知識凝結(jié)為一種符號化知識，它遮蔽了前人生命實踐活動過程中的真實復(fù)雜性和豐富生動性。兒童可能只是“占有”著這些數(shù)學(xué)符號，卻無法感受和獲得前人的生命實踐智慧。教學(xué)中，如果我們只關(guān)注到這些表面的符號化知識，我們就會僅僅注重數(shù)學(xué)知識的傳遞價值，學(xué)生就容易被“工具化”，數(shù)學(xué)對兒童來說也就會成為抽象的概念和遙遠的歷史。為此，必須讓數(shù)學(xué)知識恢復(fù)到其產(chǎn)生時的鮮活狀態(tài)，讓其成為一種“動姿化”的“過程形態(tài)”的知識。要引領(lǐng)兒童用自己的認知方式和思維方式去經(jīng)歷、去體驗、去復(fù)演人類創(chuàng)造知識的生動歷程，讓他們在數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造活動中與生產(chǎn)知識的人和歷史進行對話。由此，兒童把他人生命實踐活動的結(jié)果轉(zhuǎn)化為自己生動的“再創(chuàng)造”活動歷程，把他人生命實踐中的經(jīng)驗和智慧。轉(zhuǎn)化為自己生命成長的精神能量和重要資源。

例如，教學(xué)“乘法和加、減法的兩步混合運算”(蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級上冊)。如果按照教材上購物情境的兩個實際問題，結(jié)合數(shù)量關(guān)系分析，學(xué)生也可能直觀地、樸素地體會到運算順序的合理性，但卻無法真正理解“算理”。為此，教學(xué)中我們應(yīng)該追問運算順序的“人為規(guī)定”：到底為什么先算乘法?一位教師在教學(xué)中首先從“13＋8＋3”開始，然后把“3”變成“8”，得到“13＋8＋8”；再在此算式后面加上3個8。得到“13＋8＋8＋8＋8＋8”。連續(xù)兩次動態(tài)呈現(xiàn)。三道相關(guān)的算式構(gòu)筑了一個鮮活的變化情境。伴隨學(xué)生口算時簡便因素的不斷增大，其口算方法逐步由“從左往右”轉(zhuǎn)向“先用乘法算相同加數(shù)的和”。進而催生“簡便”體驗(先算乘法，后算加法)。通過這樣的數(shù)學(xué)化活動，學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)獨特的思考與創(chuàng)造模式，體驗了數(shù)學(xué)的價值。

4.賦予數(shù)學(xué)知識文化與心理意義。催生兒童的生命實踐活動表達。

兒童的數(shù)學(xué)化過程是兒童“自組織”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材的過程。也是兒童對客觀的“數(shù)學(xué)知識”進行主觀“意義賦予”的過程。所謂“意義賦予”是指兒童依據(jù)自身已有的知識經(jīng)驗(認知結(jié)構(gòu))、生活經(jīng)歷對數(shù)學(xué)知識所作的“非正規(guī)解釋”。這些“非正規(guī)解釋”承載了兒童思維中生動活潑的意念。展現(xiàn)了兒童對數(shù)學(xué)的“創(chuàng)造性理解”。灑滿了人性的光輝。

例如，一名學(xué)生通過計算得出結(jié)論“周長相等的平面圖形中圓的面積最大”(蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級下冊)后。這樣解釋：“同樣一些人手拉手圍成一個圈(即周長相等)，要使它盡可能大，每一個人都應(yīng)盡力向后退。如果每個人力量相同，這樣形成的圖形便是圓。而圍成其他圖形只需部分的人用勁。像正方形，可以看成是只有四個角的人在使勁后退。當(dāng)然是圓的面積最大了，‘團結(jié)力量大’嘛。”正是由于兒童豐富的“非正式數(shù)學(xué)經(jīng)驗”，由于兒童獨特的“數(shù)學(xué)視界”，使得兒童對數(shù)學(xué)知識進行了主觀的獨特闡釋，產(chǎn)生了如此個性化的表達。

值得注意的是，一方面。在教學(xué)中我們要尊重兒童對數(shù)學(xué)知識的“非正規(guī)解釋”，尊重兒童對數(shù)學(xué)知識所賦予的文化與心理意義。讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為兒童的生命實踐活動表達：另一方面，當(dāng)學(xué)生用富有個性的“兒童化語言”表達自己的生命實踐活動體驗時，教師應(yīng)發(fā)揮其引領(lǐng)作用，引領(lǐng)他們逐步用準(zhǔn)確、凝練、簡潔的“數(shù)學(xué)化語言”(文字術(shù)語、符號、圖形等)去表達自己的生命實踐，即“數(shù)學(xué)地說”與“數(shù)學(xué)地寫”。幫助學(xué)生逐步學(xué)會“數(shù)學(xué)地談?wù)摗薄ⅰ皵?shù)學(xué)地交流”。換言之，我們既要尊重兒童對數(shù)學(xué)的“非正規(guī)解釋”。又要維護數(shù)學(xué)的正式意義，要幫助兒童由原先的對數(shù)學(xué)的“非正式表達”逐步過渡到“數(shù)學(xué)式表達”。特別是，學(xué)會“數(shù)學(xué)地表達”可以看成是兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以提升的一個重要標(biāo)識，即由日常語言逐步轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)的符號語言，由對數(shù)學(xué)的“非正規(guī)解釋”逐步過渡到“正規(guī)解釋”，以及由較為初等的數(shù)學(xué)語言逐步過渡到較為高級的數(shù)學(xué)語言。

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